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        例談目標(biāo)函數(shù)法解答圓錐曲線最值問題的策略

        2022-04-16 17:28:04安徽省靈璧中學(xué)高宗杰
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年19期
        關(guān)鍵詞:所求分式最值

        ?安徽省靈璧中學(xué) 高宗杰

        與圓錐曲線相關(guān)的最值問題是高中數(shù)學(xué)常見的綜合性問題,構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)求解圓錐曲線最值問題,是常見的解題方法之一,也是學(xué)生應(yīng)該掌握的解題策略.筆者從不同例題的不同目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建形式入手分析,分別闡述圓錐曲線最值問題求解的策略.

        1 構(gòu)建分式函數(shù)

        解:①當(dāng)矩形的一邊與坐標(biāo)軸平行時(shí),可知矩形面積S=8.

        ②當(dāng)矩形的一邊不與坐標(biāo)軸平行時(shí),由矩形和橢圓的對稱性,設(shè)其中一邊所在直線的方程為y=kx+m,則其對邊直線方程為y=kx-m.

        綜上所述,矩形面積的最大值為10,最小值為8.

        2 構(gòu)建二次函數(shù)

        推廣已知P為拋物線y2=4x上的一點(diǎn),Q為圓(x-6)2+y2=1上的一點(diǎn),則|PQ|的最小值為______.

        3 構(gòu)建三角函數(shù)

        當(dāng)假設(shè)變量為角度時(shí),構(gòu)建的目標(biāo)函數(shù)為三角函數(shù),根據(jù)三角函數(shù)的有界性找到所求最值即可.解題時(shí),首先找到需要假設(shè)的角度,其次表達(dá)所求問題,根據(jù)輔助角公式轉(zhuǎn)化為Asin(ωx+φ)+B的形式,從而求得最值.具體解題步驟和思路如例3所示.

        圖1

        解:設(shè)橢圓的另一焦點(diǎn)為F′,連接AF′,BF′,BF,如圖1所示.四邊形AFBF′為矩形,可得|AB|=|FF′|=2c,|FA|=2c·cosα,|FB|=2c·sinα.

        由橢圓定義,可得

        |FA|+|AF′|=|FA|+|FB|=2a.

        所以2c·cosα+2c·sinα=2a.

        因此,離心率

        點(diǎn)評:當(dāng)問題中未提及角度變量時(shí),可以根據(jù)已知條件特征假設(shè)相關(guān)角θ,也可以用sinθ或cosθ表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而用sinθ或cosθ表示所求的值,從而通過角θ的范圍,求得最解.如以下推廣例題,構(gòu)建三角函數(shù)求問題的最值.

        分析:圓(x-1)2+y2=1的圓心C(1,0),半徑r為1.如圖2所示,連接QC,交AB于點(diǎn)H,可得H是線段AB的中點(diǎn),且AB⊥QC.

        圖2

        通過上述不同解題策略的介紹,不難發(fā)現(xiàn)構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)求圓錐曲線的最值問題大致分為三種思路,其中三角函數(shù)、二次函數(shù)以及分式函數(shù)的構(gòu)建都能夠有效求解問題.通過對這些解題思路的分析探究,啟示學(xué)生應(yīng)該善于從試題中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、總結(jié)解法,只有養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,才能收獲更多的積累.

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