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        函數(shù)巧同構(gòu) 導(dǎo)數(shù)妙應(yīng)用

        2022-04-16 17:28:04東營市第一中學(xué)張琳琳
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年19期
        關(guān)鍵詞:變形數(shù)學(xué)

        ?東營市第一中學(xué) 張琳琳

        1 引言

        同構(gòu)意識(shí)是破解一些相關(guān)數(shù)學(xué)問題比較常用的一類解題意識(shí)與技巧.特別在解決一些函數(shù)與方程、不等式等相關(guān)問題時(shí),結(jié)合相關(guān)關(guān)系式進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化或變形,提取出其中相同或相似的結(jié)構(gòu),尋找結(jié)構(gòu)的同型或共性,進(jìn)而合理同構(gòu)相應(yīng)的函數(shù)模型,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用來解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.

        2 導(dǎo)數(shù)妙用

        2.1 巧求范圍

        分析:結(jié)合條件中不等式的恒等變形與轉(zhuǎn)化,使不等號(hào)兩邊的結(jié)構(gòu)均衡、同型,從而合理同構(gòu)函數(shù),通過求導(dǎo),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與最值的應(yīng)用來確定對(duì)應(yīng)的參數(shù)的取值范圍.

        所以ex+lna+x+lna>x+2+ln(x+2),即ex+ln a+x+lna>eln(x+2)+ln(x+2).

        由于函數(shù)y=ex+x在R上單調(diào)遞增,則有x+lna>ln(x+2),即lna>ln(x+2)-x.

        當(dāng)x∈(-2,-1)時(shí),g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(-1,+∞)時(shí),g′(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.

        故lna>gmax(x)=g(-1)=1,即a>e.

        所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(e,+∞).

        故填答案:(e,+∞).

        點(diǎn)評(píng):在解決一些相關(guān)含參不等式恒成立問題時(shí),往往可以考慮從函數(shù)自身出發(fā),巧妙恒等變形,合理同構(gòu)相應(yīng)的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性去分析與解題,簡潔自然.

        2.2 妙判大小

        例2(2022屆江蘇省南師附中、淮陰中學(xué)、天一中學(xué)、海門中學(xué)四校高三年級(jí)12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷·8)已知a=5,b=15(ln 4-ln 3),c=16(ln 5-ln 4),則( ).

        A.a

        C.b

        分析:結(jié)合三個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的關(guān)系式的合理恒等變形,先結(jié)合重要不等式性質(zhì)確定a與b的大?。辉偻ㄟ^同構(gòu)函數(shù),結(jié)合求導(dǎo)處理與轉(zhuǎn)化,利用函數(shù)的單調(diào)性來確定b與c的大小.

        綜上可得,a>b>c.故選擇答案:B.

        點(diǎn)評(píng):在判斷一些比較復(fù)雜的代數(shù)式的大小關(guān)系問題時(shí),可以考慮從對(duì)應(yīng)代數(shù)式的共同特征入手,合理同構(gòu)函數(shù),借助同構(gòu)函數(shù)來構(gòu)造相應(yīng)的新函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性等基本性質(zhì)來巧妙轉(zhuǎn)化,進(jìn)而判斷大小,從而將原問題中所蘊(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律外顯化,揭示問題豐富的背景和內(nèi)涵,展示同構(gòu)函數(shù)的巨大魅力.

        2.3 巧定最值

        例3[2022屆江蘇省G4(蘇州中學(xué)、常州中學(xué)、鹽城中學(xué)、揚(yáng)州中學(xué))高三年級(jí)12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷·8改編]若不等式2ex-2>-aln(x+1)+(a+2)x對(duì)x∈(0,+∞)恒成立,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則實(shí)數(shù)a的最大值為______.

        分析:根據(jù)題目條件中的不等式加以移項(xiàng)變形,合理同構(gòu)函數(shù),結(jié)合重要不等式性質(zhì)確定自變量的大小關(guān)系,進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合求導(dǎo)處理,利用導(dǎo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的不等式恒成立來構(gòu)建不等式,進(jìn)而確定參數(shù)的最大值.

        解析:由2ex-2>-aln(x+1)+(a+2)x,移項(xiàng)可得2ex-ax>-aln(x+1)+2(x+1),整理可得

        2ex-ax>2eln(x+1)-aln(x+1).

        同構(gòu)函數(shù)f(x)=2ex-ax,則有

        f(x)>f(ln(x+1)).

        而結(jié)合重要不等式性質(zhì)“對(duì)于x>0恒有l(wèi)nx≤x-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立”,可得x>ln(x+1)>0,則知函數(shù)f(x)=2ex-ax在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

        求導(dǎo)可得f′(x)=2ex-a,則只需f′(x)=2ex-a≥0在(0,+∞)上恒成立,所以2-a≥0,解得a≤2.

        故實(shí)數(shù)a的最大值為2.故填答案:2.

        點(diǎn)評(píng):在確定一些參數(shù)的最值時(shí),關(guān)鍵是利用不等式的巧妙變形與轉(zhuǎn)化,合理同構(gòu)函數(shù),借助函數(shù)的圖象與性質(zhì),合理構(gòu)建相應(yīng)代數(shù)式的大小關(guān)系,為進(jìn)一步求解代數(shù)關(guān)系式或參數(shù)的最值提供條件.在解決此類問題時(shí),對(duì)于等式、不等式不同視角的變形,不同的同型形式往往可以同構(gòu)不同的函數(shù).

        2.4 妙證不等式

        例4(2021年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第22題)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

        (1)討論f(x)的單調(diào)性;

        分析:第(1)問首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)取值符號(hào)即可確定函數(shù)的單調(diào)性;第(2)問利用同構(gòu)關(guān)系將原問題中不等式的證明轉(zhuǎn)化為極值點(diǎn)偏移的問題,結(jié)合變形的關(guān)系式的特征同構(gòu)相應(yīng)的函數(shù),結(jié)合求導(dǎo)處理,利用函數(shù)的單調(diào)性與極值問題來證明對(duì)應(yīng)的不等式.

        解析:(1)由函數(shù)的解析式可得f′(x)=-lnx.

        則當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.

        所以,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

        由(1)可知函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以fmax(x)=f(1)=1,且f(e)=0.

        先證22-x1>1,即證f(x2)=f(x1)

        令函數(shù)h(x)=f(x)-f(2-x),x∈(0,1).

        求導(dǎo)可得h′(x)=f′(x)+f′(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[x(2-x)],則h′(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.

        所以h′(x)>h′(1)=0,即函數(shù)h(x)在(0,1)單調(diào)遞增.所以h(x1)

        再證x1+x2

        同理,根據(jù)(1)中函數(shù)f(x)的單調(diào)性,可知即證f(x2)=f(x1)>f(e-x1).

        同構(gòu)函數(shù)φ(x)=f(x)-f(e-x),x∈(0,1).

        求導(dǎo)可得φ′(x)=-ln[x(e-x)].令φ′(x0)=0.則當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),φ′(x)>0,φ(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(x0,1)時(shí),φ′(x)<0,φ(x)單調(diào)遞減.

        又00;x>e時(shí),f(x)<0,且f(e)=0.

        故x→0,φ(0)>0,φ(1)=f(1)-f(e-1)>0.

        所以φ(x)>0恒成立,即x1+x2

        點(diǎn)評(píng):在證明一些不等式時(shí),經(jīng)常借助所要證明的不等式的結(jié)構(gòu)特征,合理同構(gòu)對(duì)應(yīng)的函數(shù),結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,利用相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值,進(jìn)而合理轉(zhuǎn)化巧妙證明相應(yīng)的不等式.

        3 結(jié)語

        在破解一些函數(shù)與方程、不等式等相關(guān)問題時(shí),需要借助我們的慧眼去識(shí)別問題中代數(shù)式等的結(jié)構(gòu)特征,尋找同型,巧妙同構(gòu),證實(shí)共點(diǎn),妙用共性,合理同構(gòu)相應(yīng)的函數(shù)模型,結(jié)合導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用來巧妙解決,從而實(shí)現(xiàn)應(yīng)用共性解題,增強(qiáng)化歸思想、創(chuàng)新意識(shí)、同構(gòu)意識(shí),合理進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)交匯,讓數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)品質(zhì)得以飛躍,形成數(shù)學(xué)能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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