?河南省周口市淮陽紅旗中學(xué) 余良濤

1 引言

眾所周知，全國(guó)卷因覆蓋面廣、重基礎(chǔ)、重能力而精彩，近幾年它又注重對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查，使之更具有探究性和挑戰(zhàn)性，集中體現(xiàn)出了“活”的特點(diǎn).高考命題始終堅(jiān)持“源于課本，高于課本，不拘泥于課本”的命題導(dǎo)向.筆者在閑暇之余，意外發(fā)現(xiàn)了2022年一道高考試題在課本上的“影子”，現(xiàn)結(jié)合案例進(jìn)行解讀，以饗讀者.

2 高考真題呈現(xiàn)

(2022年全國(guó)甲卷文科第14題) 設(shè)點(diǎn)M在直線2x+y-1=0上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在⊙M上，則⊙M的方程為________.

3 真題解析

分析：設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在⊙M上，求出圓心及半徑，即可得圓的方程.

解析：因?yàn)辄c(diǎn)M在直線2x+y-1=0上，所以不妨設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(a,1-2a).

又點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在⊙M上，則點(diǎn)M到點(diǎn)(3,0)和(0,1)的距離相等且為半徑r.

整理，得a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2.

解得a=1.

因此，⊙M的方程為(x-1)2+(y+1)2=5.

4 考題出處

筆者通過認(rèn)真比對(duì)，驚奇地發(fā)現(xiàn)它的“影子”.它是源自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(必修)《數(shù)學(xué)2(A版)》(人民教育出版社，2007年2月第3版)第120頁的例3.題目如下：

已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)和B(2,-2)，且圓心C在直線l：x-y+1=0上.求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

分析：本題采用2022年全國(guó)甲卷的解法肯定是可行的，而教材的解法是采用幾何性質(zhì)法，即利用“圓中任意弦的垂直平分線必過圓心”“圓內(nèi)的任意兩條弦的垂直平分線的交點(diǎn)一定是圓心”，然后再利用兩點(diǎn)間的距離公式求出半徑r即可.筆者在這里就不再詳細(xì)解答了，具體過程讀者可參考課本例題的解答.

通過以上分析，我們不難發(fā)現(xiàn)，2022年全國(guó)甲卷這道高考試題是教材例3的“影子”.當(dāng)然，2022年全國(guó)甲卷這道高考題也可采用教材例3的解法求解.筆者在這里真誠(chéng)地希望讀者要重視“影子”類問題，而教師也更應(yīng)該重視“影子”類問題的教學(xué).

5 變式探究

這種類型問題除了上述分析中提到的兩種解法外，不妨試想一下它還有沒有其他的解法？因此，我們可以放開手大膽探究一下.下面結(jié)合教材中的例3進(jìn)行解讀.

教材例3體現(xiàn)了是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的靈活應(yīng)用，特別是要強(qiáng)調(diào)圖形在分析問題中的輔助作用.我們知道確定一個(gè)圓的要素主要是圓心位置和半徑長(zhǎng).借助圖形再結(jié)合題設(shè)條件，發(fā)現(xiàn)這類問題的關(guān)鍵是找出圓心位置，圓心位置一旦確定，就可以利用距離公式求出半徑r，從而再求解.

需要指出的是，在求線段AB的垂直平分線的方程時(shí)也可以不求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)與直線l′的斜率，而是根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等”這一結(jié)論得到(x-1)2+(y-1)2=(x-2)2+(y+2)2，然后再經(jīng)過化簡(jiǎn)整理可得直線l′的方程為x-3y-3=0.

請(qǐng)讀者記住上述方法，以后我們?cè)偾髨A的方程就可以采用以上三種方法解答，同時(shí)還要密切關(guān)注解法的靈活性.

6 自我提升

例題已知圓心C在直線x-2y-3=0上，且過點(diǎn)A(2,-3)和B(-2,-5)，求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解法1：待定系數(shù)法.

設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.

由題設(shè)條件,可得

①

②

③

聯(lián)立方程①②③，解得

a=-1,b=-2,r2=10.

故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+2)2=10.

解法2：幾何性質(zhì)法.

由圓心C在直線x-2y-3=0上，可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2t+3,t).

因?yàn)樵搱A經(jīng)過A,B兩點(diǎn)，所以|CA|=|CB|,即

解得t=-2.

故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+2)2=10.

解法3：幾何性質(zhì)法.

所以，弦AB的垂直平分線的方程為y+4=-2x，即2x+y+4=0.

又圓心C是直線2x+y+4=0與x-2y-3=0的交點(diǎn)，易解得交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-2).

所以，圓心C坐標(biāo)為(-1,-2).

故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+2)2=10.

點(diǎn)評(píng)：此題是“一題多解”類問題，通過求解后發(fā)現(xiàn)，“待定系數(shù)法”思維簡(jiǎn)單，運(yùn)算量較大，但此法易于理解掌握.而“幾何性質(zhì)法”略顯抽象，掌握起來有一定難度，此法需結(jié)合圓的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行考慮，如垂徑定理等.但這兩種解法備受命題人青睞，請(qǐng)讀者一定要掌握.

你真的掌握了嗎？下面兩個(gè)題目讀者不妨嘗試一下.

(1)(2001年全國(guó)高考題改編)過點(diǎn)A(1,-1)，B(-1,1)且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程是.

分析：對(duì)于求解圓的方程問題，我們首先要善于挖掘題設(shè)條件中隱含的幾何要素，即圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)，但圓心坐標(biāo)的確定是難點(diǎn)，通常確定圓心位置在弦的垂直平分線上、直徑的中點(diǎn)上或中心對(duì)稱點(diǎn)上等等，再利用兩點(diǎn)間距離公式求半徑長(zhǎng)即可.

(2)(2019年甘肅酒泉中學(xué)二模)已知圓M與直線x-y=0及x-y+4=0都相切，且圓心在直線y=-x+2上，則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

分析：根據(jù)題設(shè)條件很容易想到設(shè)出圓心M的坐標(biāo)，然后利用圓心M到兩直線距離相等，建立等量關(guān)系式，求出圓心M的坐標(biāo)，從而解出圓M的半徑即可.

上述兩個(gè)題目，請(qǐng)讀者自行完成.可以結(jié)合本文所述的內(nèi)容，做好解題反思，因?yàn)樗鼈兌季邆湟欢ǖ摹澳Ｐ突焙汀疤茁坊钡奶攸c(diǎn)，所以以后要注意“影子”類問題，深刻理解，靈活把握，從而達(dá)到“舉一反三”的效果.

7 解讀啟示

通過以上解讀，我們知道數(shù)學(xué)因“問題”而生，探究因“問題”而明，課堂因“問題”而精彩.筆者建議教師要做到：課前帶著“問題”精備，課上帶著“問題”精講，課后帶著“問題”精練，促使“問題”式探究教學(xué)法貫穿教學(xué)始終，有效穿插“一題多解”“一題多變”“一題多問”“一題多聯(lián)”等多種解題方法的靈活運(yùn)用，穩(wěn)步提高教學(xué)效果.