?合肥市第四中學(xué) 鄭 良
2022年高考,全國乙卷被河南、安徽、江西、山西、陜西、吉林、黑龍江、寧夏、甘肅、青海、新疆、內(nèi)蒙古等省區(qū)采用,是今年高考使用范圍最為廣泛的一份試卷.考試后部分學(xué)生反映“老師講的(內(nèi)容)試卷沒考,試卷考的(內(nèi)容)老師沒講”,試卷總體難度較大,學(xué)生無法適應(yīng);部分教師反饋復(fù)習(xí)備考做了大量的無用功,不知道以后如何教.以上省區(qū)中的多數(shù)2023年高考仍將采用老高考模式(由于使用了新教材,考試內(nèi)容會作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整,如刪除選考題等).筆者以2022年高考數(shù)學(xué)全國乙卷(以下簡稱全國乙卷)為例,窺探高考命題趨勢,為師生的教與學(xué)提供參考.
2022年全國乙卷的使用省區(qū)與2021年相同,地域較廣,考慮到學(xué)生水平的差異,試卷穩(wěn)中求變,變中求新,即總體結(jié)構(gòu)不變,局部稍作調(diào)整[1].
為保持文科試卷的難度平穩(wěn),增強(qiáng)理科試卷的區(qū)分功能,同時為文理合卷做足鋪墊,2022年全國乙卷文理科相同試題的比例提高了,只是在文理科試卷中題序位置可能有所不同.文理同題(括號前為理科試題題號,括號內(nèi)為文科試題題號,下同)有第5(6),6(7),7(9),8(10),9(12),13(14),14(15),19(19),20(21),22(22),23(23)題等.局部相同的試題有理科第17題第1問與文科第17題第2問,理科第18題第1問與文科第18題第1問.姊妹題有第1(1),2(2),3(3),12(16),21(20)題等.它們考查的知識點(diǎn)相近,形式略有不同,解題思路方法相同,難度略有差異.
基礎(chǔ)題理科有第1,2,3,4,5,6,13,14,17,18題等,文科有第1,2,3,4,5,6,7,13,14,15,17,18題等,均考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識.這些試題起點(diǎn)低、入口寬,思維能力決定著解題的效率.如理科第4題解法1可通過特殊數(shù)列{an}(如an=1)排除選項(xiàng);解法2以選項(xiàng)為標(biāo)準(zhǔn),對各個選項(xiàng)中兩項(xiàng)進(jìn)行差異分析;解法3從{bn}的結(jié)構(gòu)出發(fā),探究{bn}的基本性質(zhì):b2k-1>b2k,b2k-1>b2k+1,b2k 學(xué)習(xí)即生活,我們要在學(xué)習(xí)中提升思維能力,養(yǎng)成良好的生活習(xí)慣.如,第9(12)題如何實(shí)現(xiàn)四棱錐體積最大?可先保持頂點(diǎn)O到底面ABCD的距離h不變,需要四邊形ABCD的面積最大,只有當(dāng)四邊形ABCD為正方形時才能滿足,此時才能構(gòu)建四棱錐O-ABCD的體積關(guān)于某自變量的函數(shù),而自變量是選ABCD的邊長a還是四棱錐的高h(yuǎn)?后續(xù)求最值的繁簡程度不同.又如第17題理科第1問(文科第2問)的背景是正弦的平方差公式sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β,但二級結(jié)論不宜直接用于解答題的解答或證明,而應(yīng)對其先行證明或直接用正弦定理和余弦定理規(guī)范解答. 高考的核心功能是立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué),構(gòu)建德智體美勞全面培養(yǎng)的教育體系是新時代教育和高考的重要任務(wù)[2].全國乙卷理科第4題以嫦娥二號衛(wèi)星成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造衛(wèi)星為背景,有利于激發(fā)學(xué)生的愛國熱情,強(qiáng)化德育教育;又如第13(14)題為社區(qū)服務(wù)問題,考查學(xué)生對基本知識的掌握程度及運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力,試題的情境具有時代性,體現(xiàn)志愿精神,具有積極的教育意義.每個試題均體現(xiàn)理性思維,考查學(xué)生的智育.理科第10題以棋類比賽為背景,可以激發(fā)學(xué)生參加體育運(yùn)動的興趣.理科第4,9,23題滲透著結(jié)構(gòu)形式的對稱美.第19(19)題以社會關(guān)注的環(huán)境治理為背景,依托“綠水青山就是金山銀山”的理念,將社會生產(chǎn)勞動實(shí)踐情境與數(shù)學(xué)基本概念有機(jī)結(jié)合,發(fā)揮高考在培養(yǎng)勞動觀念中的引導(dǎo)作用.近年來,學(xué)生的運(yùn)算能力一直有下降的趨勢.“得運(yùn)算者得高考”,全國乙卷2022年比2021年運(yùn)算量大、綜合性強(qiáng),如文理科的第20,21題等. 解(證)題就是信息輸入—處理—輸出的過程,即通過審題攝入有效信息,然后對信息進(jìn)行加工處理,最后將結(jié)果規(guī)范地表達(dá)出來.因此,準(zhǔn)確理解題意是正確解題的前提.審題時要通讀全題,然后對關(guān)鍵信息進(jìn)行精讀,弄清問題的結(jié)構(gòu)與邏輯. 例1(理科第16題)已知x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).若x1 . 分析:“x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).”與“函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)分別為x=x1和x=x2”一般意義不同,前者極小(大)值點(diǎn)未必唯一,而后者極小(大)值點(diǎn)一定唯一.問題等價(jià)于f′(x1)=f′(x2)=0,且f′(x)在x=x1處“左負(fù)右正”,在x=x2處“左正右負(fù)”.解法1,先求y=lna·ax與函數(shù)y=ex相切的臨界值,再結(jié)合y=lna·ax的圖象與a的關(guān)系求解;解法2,先判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,再確定函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),邏輯推理更嚴(yán)謹(jǐn). 對于相同數(shù)學(xué)對象,由于解題者的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)積累不同,因此審題時切入點(diǎn)不同,選擇的方法也不盡相同.我們要揭示出問題的本質(zhì),然后對各種方法進(jìn)行綜合衡量,選擇出優(yōu)解妙法. 解題時要對研究對象的特征與性質(zhì)進(jìn)行深入挖掘,進(jìn)而確定解題方向.在解題過程中可能會出現(xiàn)思路受阻的情況,這時要具體問題具體分析,結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)整或優(yōu)化. A.-21 B.-22 C.-23 D.-24 模型是通過主觀意識借助實(shí)體或者虛擬表現(xiàn),構(gòu)成客觀闡述形態(tài)結(jié)構(gòu)的一種表達(dá)目的的物件[2].只有深入理解數(shù)學(xué)模型,解題時才不致于張冠李戴. 圖1 例4(理科第18題)如圖1,四面體ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E為AC的中點(diǎn). (1)證明:平面BED⊥平面ACD; (2)設(shè)AB=BD=2,∠ACB=60°,點(diǎn)F在BD上,當(dāng)△AFC的面積最小時,求CF與平面ABD所成的角的正弦值. 推理是數(shù)學(xué)的“命根子”,運(yùn)算是數(shù)學(xué)的“童子功”.要想解決問題必須抓住問題的結(jié)構(gòu)與邏輯.學(xué)生若對問題的結(jié)構(gòu)特征熟視無睹,則難以找到解題的思路;學(xué)生若不明晰問題的邏輯,必將導(dǎo)致漏洞百出.解題離不開恒等變形,某一步變形若不恒等,一般要對其查缺補(bǔ)漏. 例5(理科第21題)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)+axe-x. (1)當(dāng)a=1時,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程; (2)若f(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個零點(diǎn),求a的取值范圍. 數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).數(shù)據(jù)分析是針對研究對象獲取數(shù)據(jù),運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷,形成關(guān)于研究對象知識的素養(yǎng)[3].因此,運(yùn)算方向的準(zhǔn)確性與方法的合理性至關(guān)重要. (1)求E的方程; 分析:求定點(diǎn)、定值問題常見的方法有兩種.①從特殊情況入手求出定值,再證明這個值與變量無關(guān);②直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過程中消去變量,從而得到定值.第(2)問為圓錐曲線的非對稱問題,可通過兩種特殊情況下的直線MN(如直線MN的斜率不存在與直線MN過橢圓E的上頂點(diǎn))確定直線HN過定點(diǎn)(0,-2).背景為射影幾何中的“極點(diǎn)與極線”,即點(diǎn)P(1,-2)對應(yīng)的極線為直線AB,則AP,AB,AM,AN為調(diào)和線束.過點(diǎn)M作MH∥AP交AB,AN于點(diǎn)T,H,由調(diào)和性質(zhì)可知T為MH的中點(diǎn).極點(diǎn)極線是圓錐曲線的一個基本特征,自然成為命題者命題的背景知識和方向.若學(xué)生掌握了極點(diǎn)極線的相關(guān)知識,就可以從“高觀點(diǎn)”看待高中圓錐曲線的相關(guān)內(nèi)容,更容易抓住問題的本質(zhì). 理科第21題第2問是關(guān)于含參數(shù)等式恰成立問題,常用解法有函數(shù)最值法、分離參數(shù)法、圖象法、必要性條件法等.解法1對參數(shù)a進(jìn)行分類與整合,利用零點(diǎn)定理求解,與解法2、解法3本質(zhì)相同均為數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用.如何提高運(yùn)算能力,需要學(xué)生平時多積累必要的知識和解題經(jīng)驗(yàn),更重要的是切實(shí)經(jīng)歷數(shù)學(xué)運(yùn)算的完整過程. 2020年10月,中共中央、國務(wù)院印發(fā)的《深化新時代教育評價(jià)改革總體方案》提出,構(gòu)建引導(dǎo)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展的考試內(nèi)容體系,改變相對固化的試題形式,增強(qiáng)試題開放性,減少死記硬背和“機(jī)械刷題”現(xiàn)象.高考試題在命制時充分考慮到學(xué)生能力的個體差異,絕大多數(shù)試題的解題方法、方式不是唯一的,而是多種多樣.基礎(chǔ)好、能力強(qiáng)的考生可以通過深入的思考找到簡捷的途徑,快速解決問題,而基礎(chǔ)一般、能力中等的考生運(yùn)用基本的方法也能解決問題,只是作答比較繁瑣、用時較多[4].減輕中小學(xué)生不合理的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān),長期以來備受學(xué)校、家長和社會關(guān)注.教育要遵循教育規(guī)律,科學(xué)提升精準(zhǔn)教學(xué)的效率,讓學(xué)生更好地發(fā)展. 愛因斯坦曾在《培養(yǎng)獨(dú)立思考的教育》一文中表達(dá)過:“負(fù)擔(dān)過重,必導(dǎo)致膚淺.”一方面試題越來越靈活,另一方面教學(xué)要求增質(zhì)減負(fù).如何解決這看似不可調(diào)和的矛盾?這就需要教師把準(zhǔn)方向,在“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)、理解技術(shù)”基礎(chǔ)上進(jìn)行精準(zhǔn)教學(xué).學(xué)之道在于悟,教之道在于度.造成現(xiàn)在學(xué)生負(fù)擔(dān)較重的一個重要原因是課堂上的二級結(jié)論過多.何為二級結(jié)論?筆者認(rèn)為二級結(jié)論是針對考試而衍生的名詞,其相對于一級結(jié)論而言,不同知識儲備的人對二級結(jié)論的認(rèn)定也不相同.我們常常把教材中的公理、定義、定理、基本公式作為一級結(jié)論,而二級結(jié)論就是由這些一級結(jié)論得到的結(jié)論,它們一般是有利于考試的一些經(jīng)驗(yàn)性結(jié)論.二級結(jié)論好比是建在兩座高山山腰之間的棧道,從一座山峰到另一座山的高峰,無需先到山腳下再進(jìn)行攀登,而是從山腰的這個棧道快捷地到達(dá),它是“智者”經(jīng)常涉足的一條省時省力的捷徑.隨著學(xué)科的發(fā)展和人們認(rèn)知水平的普遍提高,以前的二級結(jié)論可能會升級為一級結(jié)論,又挖掘出更新的二級結(jié)論(三級結(jié)論、四級結(jié)論……,由于級別區(qū)分的界限模糊,可將其統(tǒng)稱為二級結(jié)論),導(dǎo)致二級結(jié)論數(shù)目眾多,適用范圍越來越窄(對某些條件更具針對性),技巧性越來越強(qiáng).學(xué)生掌握二級結(jié)論的好處是:直接運(yùn)用于客觀題,明確解答題的結(jié)論與方向然后再進(jìn)行規(guī)范的表達(dá).教師講授二級結(jié)論的反饋:(1)學(xué)生對教材的理解與使用不到位,不同于教材的結(jié)論往往更能引發(fā)學(xué)生的興趣,補(bǔ)充二級結(jié)論的教師往往能獲得多數(shù)學(xué)生的認(rèn)同、依賴甚至崇拜;(2)能夠掌握二級結(jié)論的學(xué)生解題效率更高;(3)對資優(yōu)生錦上添花,使他們視野更開闊,理解得以深化,認(rèn)知水平得以提高,興趣得以提升;(4)囿于教師水平和教學(xué)時間,只有結(jié)果而無過程的結(jié)論加大學(xué)生知識識記的容量,但沒有真正理解只會讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)雪上加霜.事實(shí)上,學(xué)生死記硬背的結(jié)論在考試中也難以將其應(yīng)用,只要掌握好一級結(jié)論并總結(jié)積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn),就會自然而然地發(fā)現(xiàn)并理解常用的二級結(jié)論.近年來,高考客觀題使用二級結(jié)論的試題逐漸減少,解答題的解題方向也更明晰,能夠直接套用二級的試題越來越少.高考表面在反套路與反押題,實(shí)質(zhì)是淘汰那些淺嘗輒止只想走捷徑的學(xué)生.理科第20題的背景是否需要在課堂上講授?筆者認(rèn)為完全沒有必要,即使教師講了,學(xué)生也未必能聽得懂、分得清、用得上,只會讓絕大多數(shù)學(xué)生具有挫敗感.為了避免學(xué)生“吃不飽”,可對具有強(qiáng)烈數(shù)學(xué)興趣的學(xué)生給予個別指導(dǎo).讓不同的學(xué)生學(xué)習(xí)不同的數(shù)學(xué),讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展. 客觀題能考查學(xué)生視角的獨(dú)特性與思維的靈活性,但也存在少數(shù)學(xué)生“碰巧”的可能,無法體現(xiàn)學(xué)生的思維過程.如部分學(xué)生解答第9(12)時出現(xiàn)了“不妨設(shè)四棱錐的底面是正方形”,用特殊代替一般,認(rèn)知理解錯誤但答案正確.試卷容量較大,學(xué)生臨場去想,沒有足夠的時間與精力去做更多可能會做的題,學(xué)生更期待在平時將題型練熟.因此,筆者建議試卷可以參考新高考試卷減少單選題、增加多選題(多選題比單選題難度增大,對學(xué)生知識精度的要求更高,更能客觀地反映學(xué)生的真實(shí)水平),減少試題數(shù)量(或者增加數(shù)學(xué)考試時間).高考是教與學(xué)的風(fēng)向標(biāo)與指揮棒.實(shí)現(xiàn)教—學(xué)—考的一致性是我們要努力的方向與目標(biāo).當(dāng)前師生更多聚焦解題的性價(jià)比,教與學(xué)中對學(xué)生長遠(yuǎn)發(fā)展的關(guān)注度遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于高考可能取得的分?jǐn)?shù).如,部分師生放棄通過努力就能夠解決的問題,轉(zhuǎn)而對常規(guī)問題進(jìn)行專項(xiàng)強(qiáng)化等.因此,筆者建議命題可加大開放度,評卷賦分(在一定規(guī)則指導(dǎo)下)增加靈活度,實(shí)現(xiàn)客觀性與主觀性的統(tǒng)一,讓學(xué)生優(yōu)秀的想法或解法在分?jǐn)?shù)上有所體現(xiàn).如理科第18題第(2)問解法1與解法2對點(diǎn)C在平面ABD上的投影“設(shè)而不求”,思維含量不高,而解法3需要確定點(diǎn)C在平面ABD上的投影的位置,對學(xué)生的思維和推理能力要求較高,出錯的可能性更大,理應(yīng)獲得更多的收益.1.3 注重理性思維,強(qiáng)調(diào)解題規(guī)范
1.4 落實(shí)五育并舉,加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算
2 試題分析
2.1 強(qiáng)化題意理解,遵循命題意圖
2.2 嘗試一題多解,倡導(dǎo)優(yōu)解妙法
2.3 挖掘?qū)ο筇卣?,明晰解題方向
2.4 模型引領(lǐng)方向,注重理性精神
2.5 突出問題邏輯 重視恒等變形
2.6 強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算,重視數(shù)據(jù)分析
3 幾點(diǎn)思考
3.1 研讀課程標(biāo)準(zhǔn)與教材,落實(shí)“四基”“四能”
3.2 深化模型理解,提高運(yùn)算能力
3.3 堅(jiān)持全面育人,落實(shí)提質(zhì)減負(fù)
3.4 提高試題質(zhì)量 實(shí)現(xiàn)教—學(xué)—考一致性