?合肥市第四中學(xué) 鄭 良

2022年高考，全國(guó)乙卷被河南、安徽、江西、山西、陜西、吉林、黑龍江、寧夏、甘肅、青海、新疆、內(nèi)蒙古等省區(qū)采用，是今年高考使用范圍最為廣泛的一份試卷.考試后部分學(xué)生反映“老師講的(內(nèi)容)試卷沒(méi)考，試卷考的(內(nèi)容)老師沒(méi)講”，試卷總體難度較大，學(xué)生無(wú)法適應(yīng)；部分教師反饋復(fù)習(xí)備考做了大量的無(wú)用功，不知道以后如何教.以上省區(qū)中的多數(shù)2023年高考仍將采用老高考模式(由于使用了新教材，考試內(nèi)容會(huì)作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，如刪除選考題等).筆者以2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷(以下簡(jiǎn)稱(chēng)全國(guó)乙卷)為例，窺探高考命題趨勢(shì)，為師生的教與學(xué)提供參考.

1 整體特點(diǎn)

2022年全國(guó)乙卷的使用省區(qū)與2021年相同，地域較廣，考慮到學(xué)生水平的差異，試卷穩(wěn)中求變，變中求新，即總體結(jié)構(gòu)不變，局部稍作調(diào)整[1].

1.1 文理同題數(shù)量增多，為文理合卷吹響號(hào)角

為保持文科試卷的難度平穩(wěn)，增強(qiáng)理科試卷的區(qū)分功能，同時(shí)為文理合卷做足鋪墊，2022年全國(guó)乙卷文理科相同試題的比例提高了，只是在文理科試卷中題序位置可能有所不同.文理同題(括號(hào)前為理科試題題號(hào)，括號(hào)內(nèi)為文科試題題號(hào)，下同)有第5(6)，6(7)，7(9)，8(10)，9(12)，13(14)，14(15)，19(19)，20(21)，22(22)，23(23)題等.局部相同的試題有理科第17題第1問(wèn)與文科第17題第2問(wèn)，理科第18題第1問(wèn)與文科第18題第1問(wèn).姊妹題有第1(1)，2(2)，3(3)，12(16)，21(20)題等.它們考查的知識(shí)點(diǎn)相近，形式略有不同，解題思路方法相同，難度略有差異.

1.2 解法多樣，甄別學(xué)生思維的層次性

基礎(chǔ)題理科有第1，2，3，4，5，6，13，14，17，18題等，文科有第1，2，3，4，5，6，7，13，14，15，17，18題等，均考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí).這些試題起點(diǎn)低、入口寬，思維能力決定著解題的效率.如理科第4題解法1可通過(guò)特殊數(shù)列{an}(如an=1)排除選項(xiàng)；解法2以選項(xiàng)為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)中兩項(xiàng)進(jìn)行差異分析；解法3從{bn}的結(jié)構(gòu)出發(fā)，探究{bn}的基本性質(zhì)：b2k-1>b2k，b2k-1>b2k+1，b2k

1.3 注重理性思維，強(qiáng)調(diào)解題規(guī)范

學(xué)習(xí)即生活，我們要在學(xué)習(xí)中提升思維能力，養(yǎng)成良好的生活習(xí)慣.如，第9(12)題如何實(shí)現(xiàn)四棱錐體積最大？可先保持頂點(diǎn)O到底面ABCD的距離h不變，需要四邊形ABCD的面積最大，只有當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)才能滿(mǎn)足，此時(shí)才能構(gòu)建四棱錐O-ABCD的體積關(guān)于某自變量的函數(shù)，而自變量是選ABCD的邊長(zhǎng)a還是四棱錐的高h(yuǎn)？后續(xù)求最值的繁簡(jiǎn)程度不同.又如第17題理科第1問(wèn)(文科第2問(wèn))的背景是正弦的平方差公式sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β，但二級(jí)結(jié)論不宜直接用于解答題的解答或證明，而應(yīng)對(duì)其先行證明或直接用正弦定理和余弦定理規(guī)范解答.

1.4 落實(shí)五育并舉，加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算

高考的核心功能是立德樹(shù)人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)，構(gòu)建德智體美勞全面培養(yǎng)的教育體系是新時(shí)代教育和高考的重要任務(wù)[2].全國(guó)乙卷理科第4題以嫦娥二號(hào)衛(wèi)星成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造衛(wèi)星為背景，有利于激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)熱情，強(qiáng)化德育教育；又如第13(14)題為社區(qū)服務(wù)問(wèn)題，考查學(xué)生對(duì)基本知識(shí)的掌握程度及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，試題的情境具有時(shí)代性，體現(xiàn)志愿精神，具有積極的教育意義.每個(gè)試題均體現(xiàn)理性思維，考查學(xué)生的智育.理科第10題以棋類(lèi)比賽為背景，可以激發(fā)學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的興趣.理科第4，9，23題滲透著結(jié)構(gòu)形式的對(duì)稱(chēng)美.第19(19)題以社會(huì)關(guān)注的環(huán)境治理為背景，依托“綠水青山就是金山銀山”的理念，將社會(huì)生產(chǎn)勞動(dòng)實(shí)踐情境與數(shù)學(xué)基本概念有機(jī)結(jié)合，發(fā)揮高考在培養(yǎng)勞動(dòng)觀念中的引導(dǎo)作用.近年來(lái)，學(xué)生的運(yùn)算能力一直有下降的趨勢(shì).“得運(yùn)算者得高考”，全國(guó)乙卷2022年比2021年運(yùn)算量大、綜合性強(qiáng)，如文理科的第20，21題等.

2 試題分析

2.1 強(qiáng)化題意理解，遵循命題意圖

解(證)題就是信息輸入—處理—輸出的過(guò)程，即通過(guò)審題攝入有效信息，然后對(duì)信息進(jìn)行加工處理，最后將結(jié)果規(guī)范地表達(dá)出來(lái).因此，準(zhǔn)確理解題意是正確解題的前提.審題時(shí)要通讀全題，然后對(duì)關(guān)鍵信息進(jìn)行精讀，弄清問(wèn)題的結(jié)構(gòu)與邏輯.

例1(理科第16題)已知x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).若x1

.

分析：“x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).”與“函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)分別為x=x1和x=x2”一般意義不同，前者極小(大)值點(diǎn)未必唯一，而后者極小(大)值點(diǎn)一定唯一.問(wèn)題等價(jià)于f′(x1)=f′(x2)=0，且f′(x)在x=x1處“左負(fù)右正”，在x=x2處“左正右負(fù)”.解法1，先求y=lna·ax與函數(shù)y=ex相切的臨界值，再結(jié)合y=lna·ax的圖象與a的關(guān)系求解；解法2，先判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，再確定函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，邏輯推理更嚴(yán)謹(jǐn).

2.2 嘗試一題多解，倡導(dǎo)優(yōu)解妙法

對(duì)于相同數(shù)學(xué)對(duì)象，由于解題者的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)積累不同，因此審題時(shí)切入點(diǎn)不同，選擇的方法也不盡相同.我們要揭示出問(wèn)題的本質(zhì)，然后對(duì)各種方法進(jìn)行綜合衡量，選擇出優(yōu)解妙法.

2.3 挖掘?qū)ο筇卣?，明晰解題方向

解題時(shí)要對(duì)研究對(duì)象的特征與性質(zhì)進(jìn)行深入挖掘，進(jìn)而確定解題方向.在解題過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)思路受阻的情況，這時(shí)要具體問(wèn)題具體分析，結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)整或優(yōu)化.

A.-21 B.-22 C.-23 D.-24

2.4 模型引領(lǐng)方向，注重理性精神

模型是通過(guò)主觀意識(shí)借助實(shí)體或者虛擬表現(xiàn)，構(gòu)成客觀闡述形態(tài)結(jié)構(gòu)的一種表達(dá)目的的物件[2].只有深入理解數(shù)學(xué)模型，解題時(shí)才不致于張冠李戴.

圖1

例4(理科第18題)如圖1，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD=CD,∠ADB=∠BDC，E為AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面BED⊥平面ACD；

(2)設(shè)AB=BD=2，∠ACB=60°，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求CF與平面ABD所成的角的正弦值.

2.5 突出問(wèn)題邏輯 重視恒等變形

推理是數(shù)學(xué)的“命根子”，運(yùn)算是數(shù)學(xué)的“童子功”.要想解決問(wèn)題必須抓住問(wèn)題的結(jié)構(gòu)與邏輯.學(xué)生若對(duì)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征熟視無(wú)睹，則難以找到解題的思路；學(xué)生若不明晰問(wèn)題的邏輯，必將導(dǎo)致漏洞百出.解題離不開(kāi)恒等變形，某一步變形若不恒等，一般要對(duì)其查缺補(bǔ)漏.

例5(理科第21題)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)+axe-x.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線(xiàn)方程；

(2)若f(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

2.6 強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算，重視數(shù)據(jù)分析

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).數(shù)據(jù)分析是針對(duì)研究對(duì)象獲取數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對(duì)象知識(shí)的素養(yǎng)[3].因此，運(yùn)算方向的準(zhǔn)確性與方法的合理性至關(guān)重要.

(1)求E的方程；

分析：求定點(diǎn)、定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種.①?gòu)奶厥馇闆r入手求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.第(2)問(wèn)為圓錐曲線(xiàn)的非對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，可通過(guò)兩種特殊情況下的直線(xiàn)MN(如直線(xiàn)MN的斜率不存在與直線(xiàn)MN過(guò)橢圓E的上頂點(diǎn))確定直線(xiàn)HN過(guò)定點(diǎn)(0,-2).背景為射影幾何中的“極點(diǎn)與極線(xiàn)”，即點(diǎn)P(1,-2)對(duì)應(yīng)的極線(xiàn)為直線(xiàn)AB，則AP，AB，AM，AN為調(diào)和線(xiàn)束.過(guò)點(diǎn)M作MH∥AP交AB,AN于點(diǎn)T，H,由調(diào)和性質(zhì)可知T為MH的中點(diǎn).極點(diǎn)極線(xiàn)是圓錐曲線(xiàn)的一個(gè)基本特征，自然成為命題者命題的背景知識(shí)和方向.若學(xué)生掌握了極點(diǎn)極線(xiàn)的相關(guān)知識(shí)，就可以從“高觀點(diǎn)”看待高中圓錐曲線(xiàn)的相關(guān)內(nèi)容，更容易抓住問(wèn)題的本質(zhì).

3 幾點(diǎn)思考

3.1 研讀課程標(biāo)準(zhǔn)與教材，落實(shí)“四基”“四能”

3.2 深化模型理解，提高運(yùn)算能力

理科第21題第2問(wèn)是關(guān)于含參數(shù)等式恰成立問(wèn)題，常用解法有函數(shù)最值法、分離參數(shù)法、圖象法、必要性條件法等.解法1對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)與整合，利用零點(diǎn)定理求解，與解法2、解法3本質(zhì)相同均為數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用.如何提高運(yùn)算能力，需要學(xué)生平時(shí)多積累必要的知識(shí)和解題經(jīng)驗(yàn)，更重要的是切實(shí)經(jīng)歷數(shù)學(xué)運(yùn)算的完整過(guò)程.

3.3 堅(jiān)持全面育人，落實(shí)提質(zhì)減負(fù)

2020年10月，中共中央、國(guó)務(wù)院印發(fā)的《深化新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革總體方案》提出，構(gòu)建引導(dǎo)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展的考試內(nèi)容體系，改變相對(duì)固化的試題形式，增強(qiáng)試題開(kāi)放性，減少死記硬背和“機(jī)械刷題”現(xiàn)象.高考試題在命制時(shí)充分考慮到學(xué)生能力的個(gè)體差異，絕大多數(shù)試題的解題方法、方式不是唯一的，而是多種多樣.基礎(chǔ)好、能力強(qiáng)的考生可以通過(guò)深入的思考找到簡(jiǎn)捷的途徑，快速解決問(wèn)題，而基礎(chǔ)一般、能力中等的考生運(yùn)用基本的方法也能解決問(wèn)題，只是作答比較繁瑣、用時(shí)較多[4].減輕中小學(xué)生不合理的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，長(zhǎng)期以來(lái)備受學(xué)校、家長(zhǎng)和社會(huì)關(guān)注.教育要遵循教育規(guī)律，科學(xué)提升精準(zhǔn)教學(xué)的效率，讓學(xué)生更好地發(fā)展.

愛(ài)因斯坦曾在《培養(yǎng)獨(dú)立思考的教育》一文中表達(dá)過(guò)：“負(fù)擔(dān)過(guò)重，必導(dǎo)致膚淺.”一方面試題越來(lái)越靈活，另一方面教學(xué)要求增質(zhì)減負(fù).如何解決這看似不可調(diào)和的矛盾？這就需要教師把準(zhǔn)方向，在“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)、理解技術(shù)”基礎(chǔ)上進(jìn)行精準(zhǔn)教學(xué).學(xué)之道在于悟，教之道在于度.造成現(xiàn)在學(xué)生負(fù)擔(dān)較重的一個(gè)重要原因是課堂上的二級(jí)結(jié)論過(guò)多.何為二級(jí)結(jié)論？筆者認(rèn)為二級(jí)結(jié)論是針對(duì)考試而衍生的名詞，其相對(duì)于一級(jí)結(jié)論而言，不同知識(shí)儲(chǔ)備的人對(duì)二級(jí)結(jié)論的認(rèn)定也不相同.我們常常把教材中的公理、定義、定理、基本公式作為一級(jí)結(jié)論，而二級(jí)結(jié)論就是由這些一級(jí)結(jié)論得到的結(jié)論，它們一般是有利于考試的一些經(jīng)驗(yàn)性結(jié)論.二級(jí)結(jié)論好比是建在兩座高山山腰之間的棧道，從一座山峰到另一座山的高峰，無(wú)需先到山腳下再進(jìn)行攀登，而是從山腰的這個(gè)棧道快捷地到達(dá)，它是“智者”經(jīng)常涉足的一條省時(shí)省力的捷徑.隨著學(xué)科的發(fā)展和人們認(rèn)知水平的普遍提高，以前的二級(jí)結(jié)論可能會(huì)升級(jí)為一級(jí)結(jié)論，又挖掘出更新的二級(jí)結(jié)論(三級(jí)結(jié)論、四級(jí)結(jié)論……，由于級(jí)別區(qū)分的界限模糊，可將其統(tǒng)稱(chēng)為二級(jí)結(jié)論)，導(dǎo)致二級(jí)結(jié)論數(shù)目眾多，適用范圍越來(lái)越窄(對(duì)某些條件更具針對(duì)性)，技巧性越來(lái)越強(qiáng).學(xué)生掌握二級(jí)結(jié)論的好處是：直接運(yùn)用于客觀題，明確解答題的結(jié)論與方向然后再進(jìn)行規(guī)范的表達(dá).教師講授二級(jí)結(jié)論的反饋：(1)學(xué)生對(duì)教材的理解與使用不到位，不同于教材的結(jié)論往往更能引發(fā)學(xué)生的興趣，補(bǔ)充二級(jí)結(jié)論的教師往往能獲得多數(shù)學(xué)生的認(rèn)同、依賴(lài)甚至崇拜；(2)能夠掌握二級(jí)結(jié)論的學(xué)生解題效率更高；(3)對(duì)資優(yōu)生錦上添花，使他們視野更開(kāi)闊，理解得以深化，認(rèn)知水平得以提高，興趣得以提升；(4)囿于教師水平和教學(xué)時(shí)間，只有結(jié)果而無(wú)過(guò)程的結(jié)論加大學(xué)生知識(shí)識(shí)記的容量，但沒(méi)有真正理解只會(huì)讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)雪上加霜.事實(shí)上，學(xué)生死記硬背的結(jié)論在考試中也難以將其應(yīng)用，只要掌握好一級(jí)結(jié)論并總結(jié)積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，就會(huì)自然而然地發(fā)現(xiàn)并理解常用的二級(jí)結(jié)論.近年來(lái)，高考客觀題使用二級(jí)結(jié)論的試題逐漸減少，解答題的解題方向也更明晰，能夠直接套用二級(jí)的試題越來(lái)越少.高考表面在反套路與反押題，實(shí)質(zhì)是淘汰那些淺嘗輒止只想走捷徑的學(xué)生.理科第20題的背景是否需要在課堂上講授？筆者認(rèn)為完全沒(méi)有必要，即使教師講了，學(xué)生也未必能聽(tīng)得懂、分得清、用得上，只會(huì)讓絕大多數(shù)學(xué)生具有挫敗感.為了避免學(xué)生“吃不飽”，可對(duì)具有強(qiáng)烈數(shù)學(xué)興趣的學(xué)生給予個(gè)別指導(dǎo).讓不同的學(xué)生學(xué)習(xí)不同的數(shù)學(xué)，讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.

3.4 提高試題質(zhì)量 實(shí)現(xiàn)教—學(xué)—考一致性

客觀題能考查學(xué)生視角的獨(dú)特性與思維的靈活性，但也存在少數(shù)學(xué)生“碰巧”的可能，無(wú)法體現(xiàn)學(xué)生的思維過(guò)程.如部分學(xué)生解答第9(12)時(shí)出現(xiàn)了“不妨設(shè)四棱錐的底面是正方形”，用特殊代替一般，認(rèn)知理解錯(cuò)誤但答案正確.試卷容量較大，學(xué)生臨場(chǎng)去想，沒(méi)有足夠的時(shí)間與精力去做更多可能會(huì)做的題，學(xué)生更期待在平時(shí)將題型練熟.因此，筆者建議試卷可以參考新高考試卷減少單選題、增加多選題(多選題比單選題難度增大，對(duì)學(xué)生知識(shí)精度的要求更高，更能客觀地反映學(xué)生的真實(shí)水平)，減少試題數(shù)量(或者增加數(shù)學(xué)考試時(shí)間).高考是教與學(xué)的風(fēng)向標(biāo)與指揮棒.實(shí)現(xiàn)教—學(xué)—考的一致性是我們要努力的方向與目標(biāo).當(dāng)前師生更多聚焦解題的性?xún)r(jià)比，教與學(xué)中對(duì)學(xué)生長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展的關(guān)注度遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于高考可能取得的分?jǐn)?shù).如，部分師生放棄通過(guò)努力就能夠解決的問(wèn)題，轉(zhuǎn)而對(duì)常規(guī)問(wèn)題進(jìn)行專(zhuān)項(xiàng)強(qiáng)化等.因此，筆者建議命題可加大開(kāi)放度，評(píng)卷賦分(在一定規(guī)則指導(dǎo)下)增加靈活度，實(shí)現(xiàn)客觀性與主觀性的統(tǒng)一，讓學(xué)生優(yōu)秀的想法或解法在分?jǐn)?shù)上有所體現(xiàn).如理科第18題第(2)問(wèn)解法1與解法2對(duì)點(diǎn)C在平面ABD上的投影“設(shè)而不求”，思維含量不高，而解法3需要確定點(diǎn)C在平面ABD上的投影的位置，對(duì)學(xué)生的思維和推理能力要求較高，出錯(cuò)的可能性更大，理應(yīng)獲得更多的收益.