?廣東省中山市東區(qū)遠(yuǎn)洋學(xué)校初中部 麥雄軍

2021年各省市中考數(shù)學(xué)對(duì)方程與不等式的考查重點(diǎn)在于熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算技能，側(cè)重于以當(dāng)代實(shí)際生活為背景的問(wèn)題解決，落實(shí)“以德樹(shù)人”的根本任務(wù).2021年7月下旬，中辦、國(guó)辦印發(fā)的《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見(jiàn)》(簡(jiǎn)稱(chēng)“雙減”政策)，對(duì)作業(yè)提出了“發(fā)揮作業(yè)診斷、鞏固、學(xué)情分析等功能，將作業(yè)設(shè)計(jì)納入教研體系……”新的要求.這意味著教師要設(shè)計(jì)高質(zhì)量且符合學(xué)情的作業(yè)，徹底減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān).筆者基于2021年各省市中考數(shù)學(xué)試題的研究，圍繞“方程與不等式”專(zhuān)題復(fù)習(xí)進(jìn)行作業(yè)設(shè)計(jì).

1 作業(yè)設(shè)計(jì)目標(biāo)

通過(guò)作業(yè)，達(dá)成下列目標(biāo)：

(1)復(fù)習(xí)和鞏固“方程與不等式”相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，知道一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程、分式方程、一元一次不等式(組)的解法.

(2)領(lǐng)悟轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)模型、方程等數(shù)學(xué)思想，構(gòu)建知識(shí)之間的聯(lián)系.

(3)學(xué)會(huì)解決相關(guān)綜合問(wèn)題，提升分析問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

2 作業(yè)設(shè)計(jì)內(nèi)容

2.1 夯實(shí)基礎(chǔ)，實(shí)施有效訓(xùn)練

圖1

答案：C.

(3) (2021·吉林長(zhǎng)春)關(guān)于x的一元二次方程x2-6x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的值可能是( ).

A．8 B．9 C．10 D．11

答案：A.

答案：D.

設(shè)計(jì)意圖:作業(yè)(1)回顧了二元一次方程組的基本解法，可以采用代入消元法和加減消元法；作業(yè)(2)考查了一元一次不等式組的解法，借助數(shù)軸來(lái)理解不等式組的解集；作業(yè)(3)考查了一元二次方程根與判別式之間的關(guān)系；作業(yè)(4)考查了分式方程的解法.通過(guò)本環(huán)節(jié)的作業(yè)設(shè)計(jì)，這些基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能將為下一階段的學(xué)習(xí)作好鋪墊.

2.2 積累經(jīng)驗(yàn)，活用思想方法

答案：3

答案:m>-7且m≠-3.

(7) (2021·四川自貢)已知x2-3x-12=0，則代數(shù)式-3x2+9x+5的值是( ).

A.31 B. -31 C. 41 D.-41

答案:B

(8)(2021·湖北鄂州)數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的思想方法．如圖2，直線(xiàn)y=2x-1與直線(xiàn)y=kx+b(k≠0)相交于點(diǎn)P(2，3)．根據(jù)圖象可知，關(guān)于x的不等式2x-1>kx+b的解集是( ).

圖2

A．x<2 B．x<3 C．x>2 D．x>3

答案：C.

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)于作業(yè)(5)中一元一次方程涉及的參數(shù)，只要抓住一元一次方程的概念，這道題便迎刃而解.作業(yè)(6)涉及分式方程的解法，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程時(shí)，容易忽略分母不能為0；本題滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，以讓學(xué)生靈活掌握分式方程的解法.作業(yè)(7)滲透了整體的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)轉(zhuǎn)化和整體代入解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.作業(yè)(8)滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)圖形來(lái)直觀得到不等式的解集，抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，積累解題經(jīng)驗(yàn)，達(dá)到“事半功倍”的效果.

2.3 注重綜合，發(fā)展數(shù)學(xué)能力

(9)(2021·湖南株洲)《九章算術(shù)》之“粟米篇”中記載了中國(guó)古代的“粟米之法”：“粟率五十，糲米三十……”(粟指帶殼的谷子，糲米指糙米)，其意為：“50單位的粟，可換得30單位的糲米……”．問(wèn)題：有3斗的粟(1斗=10升)，若按照此“粟米之法”，則可以換得的糲米為( ).

A．1.8升 B．16升

C．18升 D．50升

故選：C．

設(shè)計(jì)意圖：本題旨在考查學(xué)生的閱卷理解能力，滲透數(shù)學(xué)史.本題難在用正確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)問(wèn)題，列出分式方程，并轉(zhuǎn)化單位.

(10)(2021·江蘇連云港)為了做好防疫工作，學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．

(ⅰ)這兩種消毒液的單價(jià)各是多少元？

解析：(ⅰ)設(shè)A種消毒液的單價(jià)是x元，B型消毒液的單價(jià)是y元．

所以A型消毒液的單價(jià)是7元，B型消毒液的單價(jià)是9元．

(ⅱ)設(shè)購(gòu)進(jìn)A型消毒液a瓶，則購(gòu)進(jìn)B型(90-a)瓶，購(gòu)買(mǎi)總費(fèi)用為W元．

所以，當(dāng)a=67時(shí)，最少費(fèi)用為810-2×67=676元，此時(shí)，90-67=23．最省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案是購(gòu)進(jìn)A種消毒液67瓶，購(gòu)進(jìn)B種23瓶．

設(shè)計(jì)意圖：本題是一道關(guān)于二元一次方程組、一元一次不等式、一次函數(shù)性質(zhì)的綜合題，第(ⅰ)問(wèn)也可以用一元一次方程來(lái)解答.旨在考查學(xué)生運(yùn)用方程和不等式等數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，并注重運(yùn)算能力的培養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng).

3 作業(yè)設(shè)計(jì)建議

3.1 作業(yè)設(shè)計(jì)應(yīng)以核心素養(yǎng)為目標(biāo)

在新時(shí)代背景下，數(shù)學(xué)教育的發(fā)展目標(biāo)是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).作業(yè)設(shè)計(jì)始終要以發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)為目標(biāo)，不能盲目搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，作業(yè)設(shè)計(jì)的練習(xí)不宜多，應(yīng)給與學(xué)生充分思考的時(shí)間.設(shè)計(jì)的作業(yè)要讓學(xué)生經(jīng)歷定理、概念的習(xí)得過(guò)程，注重學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)；借助幾何直觀，滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力；注重學(xué)生運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的培養(yǎng).總之，要把發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)落實(shí)到作業(yè)中.

3.2 作業(yè)設(shè)計(jì)應(yīng)注重整體性

“雙減”政策要求“堅(jiān)決克服機(jī)械、無(wú)效作業(yè)，杜絕重復(fù)性、懲罰性作業(yè)”，設(shè)計(jì)高質(zhì)量作業(yè)的途徑之一就是從整體視角下開(kāi)展教學(xué).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》)指出：“數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要注重知識(shí)的‘生長(zhǎng)點(diǎn)’與‘延伸點(diǎn)’，把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性.”[1]作業(yè)設(shè)計(jì)要從整體的角度出發(fā)，作業(yè)設(shè)計(jì)內(nèi)容要體現(xiàn)整體性，基于《標(biāo)準(zhǔn)》和教材，以作業(yè)為載體，把數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系有機(jī)融合，構(gòu)建知識(shí)體系，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維，在問(wèn)題解決中提升教育教學(xué)質(zhì)量，實(shí)現(xiàn)高效作業(yè).

3.3 作業(yè)設(shè)計(jì)應(yīng)體現(xiàn)發(fā)展性

《標(biāo)準(zhǔn)》)指出：“教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)式和因材施教.”[1]作業(yè)設(shè)計(jì)要體現(xiàn)層次性和發(fā)展性，從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，基于學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)開(kāi)展作業(yè)設(shè)計(jì)，避免出現(xiàn)偏題、怪題、難題，設(shè)計(jì)的內(nèi)容由淺入深，環(huán)環(huán)相扣，由易到難，注重基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握、數(shù)學(xué)思想的滲透、基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，以“促進(jìn)學(xué)生終身發(fā)展”為目標(biāo)，落實(shí)“以德樹(shù)人”的根本任務(wù).

3.4 作業(yè)設(shè)計(jì)內(nèi)容應(yīng)注重綜合性與情境性

《標(biāo)準(zhǔn)》)指出：“在注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能考查的同時(shí)，特別重視對(duì)具體情境中綜合運(yùn)用知識(shí)分析和解決問(wèn)題能力以及實(shí)踐能力的考查.”[1]作業(yè)設(shè)計(jì)內(nèi)容要注重綜合性和情境性，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活而又服務(wù)于生活.精選習(xí)題，精心設(shè)計(jì)情境性數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，提升學(xué)生的思維能力、實(shí)踐能力和解決實(shí)際生活問(wèn)題的能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維， 促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.