?江蘇省溧陽市實驗初級中學 王麗潔

2021年江蘇鹽城市中考數(shù)學試卷的函數(shù)壓軸題以知識探究的形式呈現(xiàn)，并將函數(shù)曲線與幾何旋轉相結合，側重對軌跡意識、相對運動的考查.把握動靜聯(lián)系，確定相對轉換是突破的關鍵，下面對其進行深入探究.

1 問題呈現(xiàn)

考題(2021年江蘇省鹽城市中考數(shù)學試卷第27題)學習了圖形的旋轉之后，小明知道，將點P繞著某定點A順時針旋轉一定的角度α，能得到一個新的點P′，經(jīng)過進一步探究，小明發(fā)現(xiàn)，當上述點P在某函數(shù)圖象上運動時，點P′也隨之運動，并且點P′的運動軌跡能形成一個新的圖形.

試根據(jù)下列各題中所給的定點A的坐標、角度α的大小來解決相關問題.

【初步感知】

如圖1所示，設A(1，1)，α=90°，點P是一次函數(shù)y=kx+b圖象上的動點，已知該一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點P1(-1，1).

圖1

(1)點P1旋轉后，得到的點P1′的坐標為；

(2)若點P1′的運動軌跡經(jīng)過點P2′(2，1)，求原一次函數(shù)的表達式.

【深入感悟】

圖2

【靈活運用】

圖3

2 解析探究

此題為探究性問題，題干首先給出了相應的探究背景：點P繞著點A順時針旋轉角度α，可得P′，當點P在某一函數(shù)圖象上運動時，點P′的運動軌跡可形成新圖形.顯然問題探究的核心是動點關聯(lián)，以及動點軌跡.問題探究共分三環(huán)節(jié)，下面逐問探究.

環(huán)節(jié)一:初步感知

該環(huán)節(jié)以一次函數(shù)圖象為背景，點P位于一次函數(shù)y=kx+b圖象上，旋轉過程為點P1(-1，1)繞著點A(1，1)順時針旋轉α=90°得到了點P1′.根據(jù)旋轉特性可得兩大條件：①P1A=P1′A=2(旋轉前后的點到旋轉中心的距離相等)；②∠P1AP1′=90°.

(1)根據(jù)點A和P1的坐標可知兩點位于平行于x軸的直線y=1上，故旋轉后的點P1′與點A位于平行于y軸的直線x=1上，從而可確定點P1′(1,3).

評析：該環(huán)節(jié)是對幾何旋轉知識的強化，引導學生把握旋轉過程，提取其中的旋轉特性，掌握旋轉逆向推導的方法.

環(huán)節(jié)二:深入感悟

該環(huán)節(jié)以位于反比例函數(shù)圖象上點的旋轉為背景，且旋轉角度變?yōu)?5°，即點P繞著點A順時針旋轉45°.

根據(jù)相對運動，可將P視為固定點，將二、四象限角平分線繞著點A逆時針旋轉45°后與x軸相重合.如圖4,過點P作x軸垂線，設垂足為B，連接PO.可證△PBO≌△P′MO，理由如下.

圖4

評析：上述對位于雙曲線上的點進行旋轉，其中旋轉中心和旋轉角作了變更，探究三角形的面積時采用了相對運動的策略，即將點的旋轉轉換為直線的旋轉，在旋轉過程中，點的相對位置是不變的，因此可將△P′MO視為是△PBO旋轉所得.

環(huán)節(jié)三:靈活運用

圖5

圖6

3 評析思考

上述對一道探究性問題進行了解析，其問題的特征及破解方法均具有一定的參考價值，下面深入反思.

3.1 關于問題特點的評析

本考題為探究性問題，共分“初步感知”“深入感悟”“靈活運用”三個環(huán)節(jié).問題構建有兩大特點：一是三個環(huán)節(jié)緊密相扣，步步深入，引導學生從簡單的一次函數(shù)深入到復雜的二次函數(shù)；二是環(huán)節(jié)設計針對性強，符合探究的思維過程.環(huán)節(jié)一注重基礎知識的強化，引出旋轉特性；環(huán)節(jié)二側重圖形旋轉，初步構建相對運動轉換，具有一定的特殊性；環(huán)節(jié)三則上升到拋物線中，引出面積最值問題，具有極強的應用性.問題設計思維連續(xù)性強，可幫助學生強化基礎，總結方法，增強應用，是函數(shù)與幾何相融合的典型代表.

3.2 關于問題解法的思考

動點軌跡、相對運動轉換是上述探究性問題重要的破題策略，尤其是相對運動轉換實現(xiàn)了“動點”與“定點”的互換，構建了條件之間的聯(lián)系，簡化了解題思路.相對運動是物理上重要的思想，即把原動點作為參照標準，將“動點”變?yōu)椤岸c”，將“定點”變?yōu)椤皠狱c”.相對運動轉換的使用需滿足兩大條件：一是運動的點多于定點，如上述問題中繞著定點旋轉，顯然動點較多；二是動點關聯(lián)，具有一定的聯(lián)動性，如上述旋轉過程中動點位于同一直線或曲線上，則動點坐標滿足對應的函數(shù)關系.從幾何視角來看，動點圍成的圖形形狀和大小不發(fā)生改變，也是幾何旋轉的核心內容.

4 方法拓展

上述考題采用相對運動轉換的方法，主要目的是為了串聯(lián)條件，構建旋轉前后圖形之間的聯(lián)系，利用原條件來求解.如環(huán)節(jié)二構建S△OMP′=S△PBO關系，環(huán)節(jié)三利用原拋物線構建面積最值模型.實際上通過相對運動轉換還可減少動點，使問題簡單化.

例題在平面直角坐標系中，四邊形AOBC為矩形，已知點A(5,0)，B(0,3).以點A為中心，順時針旋轉矩形AOBC，可得矩形ADEF，點O，B，C的對應點分別為D，E，F(xiàn).

(1)如圖7所示，當點D落在BC上時，求點D的坐標；

圖7

(2)記K為矩形AOBC對角線的交點，S為△KDE的面積，求S的取值范圍.

解析：(1)根據(jù)旋轉特性，并在Rt△ADC中使用勾股定理即可求得BD=1，所以點D(1,3).

(2)求△KDE面積的取值范圍，只需考慮K，D，E三點即可，如圖8所示.但D和E兩點為動點，僅K為定點，三角形的面積不容易確定.

圖8

此時就可采用相對運動轉換來減少動點個數(shù)，即固定點D和點E，讓其回到初始位置，即點O和點B處，則可視為點K繞著點A逆時針旋轉，對應的運動軌跡如圖9所示.

圖9

評析：上述求解動態(tài)三角形的面積，采用相對運動轉換的方法構建了“一動兩定”面積模型，實現(xiàn)了復雜問題簡化作答.

5 寫在最后

幾何旋轉是圖形運動的一種方式，其中隱含著不變的規(guī)律.對于融合圖形旋轉的幾何探究題，可采用相對運動轉換的方法來分析其中的動靜關系，構建旋轉前后的條件聯(lián)系.相對運動轉換的思維難點是視角變換，具體探究可從物理視角思考，分析動靜條件以及條件之間的聯(lián)系，如點的對應關系、運動參照系等.

教學中要注意引導學生用相對運動的觀念看待問題，關注運動過程，提取運動規(guī)律，繪制動點軌跡，同時充分理解相對運動轉換的目的.通過運動轉換、圖形變換來增強學生的軌跡意識，提升數(shù)學思維.