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        一道課本不定方程應(yīng)用題的運用

        2022-04-16 16:54:07福建省三明市明溪縣城關(guān)中學(xué)楊發(fā)寧
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年24期
        關(guān)鍵詞:丙型頭牛正整數(shù)

        ?福建省三明市明溪縣城關(guān)中學(xué) 楊發(fā)寧

        1 課本原題

        (人教版七年級下冊第112頁)

        例1現(xiàn)有1角、5角、1元硬幣各10枚,從中取出15枚,共值7元.1角、5角、1元硬幣各取多少枚[1]?

        分析:先設(shè)三種硬幣的數(shù)量分別為x,y,z,再利用已知的等量關(guān)系列出三元一次方程組并解方程組,然后由整除性質(zhì)即可確定所求整數(shù)解問題的答案.

        解法一:設(shè)1角、5角、1元的硬幣分別取x枚、y枚、z枚,那么

        而x,y,z都為正整數(shù),且z<7,1+9z是4的倍數(shù),則z=3.此時y=7,x=5符合題意.

        所以1角取5枚,5角取7枚,1元取3枚.

        解法二:設(shè)1角、5角、1元的硬幣各取x枚、y枚、z枚,根據(jù)題意,得

        由x,y,z都為不小于10的整數(shù),可知x=5或10.

        當x=5時,y=7,z=3,符合題意.

        當x=10時,y=-2,z=7,不符合題意.

        所以,1角取5枚、5角取7枚、1元取3枚.

        下面主要以近年“中考題”為例作些剖析.

        2 在選擇題中的應(yīng)用

        例2(2020年黑龍江龍東中考)在一次知識競賽中,為嘉獎成績突出的同學(xué),主辦方計劃用200元采購a,b,c三種文具,其中a種文具的單價為每個10元,b種文具的單價為每個20元,c種文具的單價為每個30元,在所有錢都剛好用完且c種文具不多于兩個的情況下,有多少種采購方案( ).

        A.8種 B.10種 C.12種 D.14種

        分析:根據(jù)題目文字得到兩個關(guān)鍵信息——購買三種獎品的總金額為200元;c種獎品個數(shù)為1或2.根據(jù)題目需要設(shè)出兩個未知數(shù),得出一個二元一次方程,再根據(jù)二元一次方程的解都為整數(shù)及a,b,c的實際意義確定二元一次方程的解.

        解:設(shè)購買a種獎品m個,b種獎品n個.

        當c種獎品個數(shù)為1時,根據(jù)題意得10m+20n+30=200,即m+2n=17.

        因為m,n都是正整數(shù),則0<2n<17,所以n=1,2,3,4,5,6,7,8.

        當c種獎品個數(shù)為2時,根據(jù)題意得10m+20n+60=200,即m+2n=14.

        因為m,n都是正整數(shù),則0<2n<14,所以n=1,2,3,4,5,6.

        綜上所述,共有8+6=14種購買方案.故選:D.

        點評:解題的第一步應(yīng)該了解題目的含義,找出題目的關(guān)鍵信息;再根據(jù)題意設(shè)未知數(shù)列出方程或方程組;最后根據(jù)實際意義,由方程的解為自然數(shù),得出符合題意的解.

        3 在填空題中的應(yīng)用

        例3(2020年黃石中考改編)數(shù)學(xué)課上何老師講到我國古代的數(shù)學(xué)成就——《九章算術(shù)》,書中有這樣一個數(shù)學(xué)問題:“今有牛五、羊二,直金十九兩;牛二、羊五,直金十六兩.問牛、羊各直金幾何?”翻譯成現(xiàn)代文:“今知道5頭牛和2只羊,加起來一共價值19兩銀子;2頭牛和5只羊,加起來一共價值16兩銀子問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩?”.如果某商人準備用19兩銀子買牛和羊(要求既有牛也有羊,且銀兩須全部用完),那么商人的購買方法共有種,列出所有的可能購買方案.

        分析:先根據(jù)題意求出每頭牛、每只羊值的銀子數(shù);再根據(jù)“19兩銀子購買牛、羊”列一個二元一次方程,求出這個二元一次方程的整數(shù)解即可.

        解:設(shè)每頭牛值x兩銀子,每只羊值y兩銀子.

        所以每頭牛值3兩銀子,每只羊值2兩銀子.

        設(shè)19兩銀子購買a頭牛,b只羊.

        因為a,b都是正整數(shù),所以a=5或3或1.即當a=5時,b=2;當a=3時,b=5;當a=1時,b=8.

        所以,商人共有三種購買方法.購買5頭牛,2只羊;購買3頭牛,5只羊;購買1頭牛,8只羊.

        點評:本題主要考查了運用二元一次方程(組)解決實際問題的能力.首先根據(jù)題意列出二元一次方程組并解之,求出牛與羊的單價;再根據(jù)題意列出一個二元一次方程即不定方程,根據(jù)實際意義與整除的性質(zhì),求出不定方程的正整數(shù)解.

        4 在解答題中的應(yīng)用

        例4(2021年杭州模考)現(xiàn)有120 t口罩要運輸?shù)缴虾?挂呔葹?zāi),可供選擇的車型有甲、乙、丙三種,三種車的具體信息如表1所示:

        表1 每輛車的運載能力和運費信息

        (1)為提高運送效率,可以調(diào)用甲、乙、丙三種車型參與運送,每輛車均滿載,已知它們的總輛數(shù)為16,你能使用方程組求出所有可能的運送方案嗎?

        (2)哪種方案的運費最少?最少是多少元?

        分析:(1)設(shè)甲型車有x輛,乙型車有y輛,丙型車有z輛,列出方程組,再根據(jù)x,y,z均為非負整數(shù),從而得出答案.

        (2)根據(jù)(1)中方案得出運費,進行比較即可.

        所以有三種運送方案:甲型車8輛,丙型車8輛;甲型車6輛,乙型車5輛,丙型車5輛;甲型車4輛,乙型車10輛,丙型車2輛.

        (2)三種方案的運費分別為

        400×8+600×8=8 000(元);

        400×6+500×5+600×5=7 900(元);

        400×4+500×10+600×2=7 800(元).

        因為8000>7900>7800,所以調(diào)用甲型車4輛,乙型車10輛,丙型車2輛時運費最少,且最少是7 800元.

        點評:本題涉及三個未知數(shù),但只有兩個等量關(guān)系,只能列出兩個三元一次方程,可先消元,將兩個三元一次方程轉(zhuǎn)化為一個二元一次方程,再用含一個未知數(shù)的式子表示另一個未知數(shù),利用整體思想和篩選法討論未知數(shù)的實際意義解決問題.

        從上面的例子可以看出:通過一道課本簡單習(xí)題的解決,引出多道較難的中考題,我們感到課本習(xí)題大有可為.正如美國著名數(shù)學(xué)教育家G.波利亞所說:“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半,更重要的是解題之后的回顧.”從簡單的題目中提煉解題方法,反思題目中的數(shù)學(xué)思想、解題策略,并變式研究是解題教學(xué)必不可少的環(huán)節(jié).我們要以課本習(xí)題為藍本,分析題目的特征,認真研究解法,精選同類問題的變式進行適當訓(xùn)練,歸納同類問題的通法.特別是近年來的一些中考題,因為中考題有一定的導(dǎo)向性和啟發(fā)性,反映中考命題方向和命題規(guī)律.通過“做”題的過程,對“列方程解應(yīng)用題”進行系統(tǒng)復(fù)習(xí),讓學(xué)生經(jīng)歷獨立探究、思考、理性推理、深刻反思等數(shù)學(xué)活動過程,形成感性認識與理性思維的提升,培養(yǎng)學(xué)生語言文字與數(shù)學(xué)符號的轉(zhuǎn)化意識,構(gòu)建方程模型解決實際問題的模式,完成知識構(gòu)建,提升數(shù)學(xué)能力,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)核心素養(yǎng),獲得適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力.

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