蔡國(guó)濤　喬長(zhǎng)錄

關(guān)鍵詞：正態(tài)變換;水文頻率計(jì)算;適線法;非一致性修正;瑪納斯河

中圖分類號(hào)：P333.9 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A doi：10.3969/j.issn.1000-1379.2022.03.005

引用格式：蔡國(guó)濤，喬長(zhǎng)錄.基于正態(tài)變換的瑪納斯河水文頻率研究[J].人民黃河，2022，44（3）：21-25，31.

1引言

水文頻率計(jì)算是綜合運(yùn)用水文學(xué)、水文統(tǒng)計(jì)學(xué)和概率統(tǒng)計(jì)學(xué)等原理，利用研究區(qū)多年實(shí)測(cè)水文數(shù)據(jù)對(duì)水文事件的規(guī)律進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，定量表征水文變量設(shè)計(jì)值與設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)（頻率或重現(xiàn)期）之間的關(guān)系，是各類涉水工程規(guī)劃、設(shè)計(jì)、確定工程規(guī)模和管理決策的主要依據(jù)[1]。水文頻率計(jì)算經(jīng)過(guò)一百多年的研究和發(fā)展，形成了較為完整的理論體系和方法。目前水文頻率計(jì)算通常有參數(shù)方法和非參數(shù)方法兩種：參數(shù)方法需要先假定樣本總體的分布形式，然后通過(guò)總體分布來(lái)計(jì)算待估參數(shù)，最后根據(jù)總體分布函數(shù)推求水文變量設(shè)計(jì)值;相反，非參數(shù)方法可以直接根據(jù)樣本信息估計(jì)水文變量的設(shè)計(jì)值，不必假設(shè)總體分布形式[1]。水文頻率計(jì)算也可先對(duì)樣本進(jìn)行正態(tài)化轉(zhuǎn)換，根據(jù)轉(zhuǎn)換后的樣本估計(jì)指定頻率設(shè)計(jì)值，再進(jìn)行反變換推求原始變量總體設(shè)計(jì)值[2-3]。Chen等[4]和徐煒等[5]在正態(tài)變換研究中指出，單變量正態(tài)變換過(guò)程中，原偏態(tài)分布到正態(tài)分布是一對(duì)一單調(diào)遞增的關(guān)系，利用正態(tài)變換方法得到的序列能較完整地保留原偏態(tài)分布的樣本信息。國(guó)內(nèi)很多學(xué)者將Box-Cox變換應(yīng)用于水文領(lǐng)域，但是基于Johnson變換的研究甚少。所以，筆者通過(guò)Box-Cox變換和Johnson變換兩種正態(tài)變換方法對(duì)瑪納斯河年徑流量序列進(jìn)行正態(tài)變換，通過(guò)對(duì)比分析正態(tài)性檢驗(yàn)結(jié)果和水文頻率計(jì)算結(jié)果，最終確定兩種正態(tài)變換方法的優(yōu)越性和穩(wěn)健性，以期為我國(guó)干旱區(qū)水資源規(guī)劃和工程規(guī)劃設(shè)計(jì)應(yīng)用該方法提供參考。

2正態(tài)變換方法

2.1Box-Cox變換

Box-Cox變換是Box和Cox在1964年提出的一種可以明顯改善數(shù)據(jù)正態(tài)性的廣義冪變換方法，其函數(shù)關(guān)系式如下[6]：

2.3參數(shù)估計(jì)

常用的參數(shù)估計(jì)方法有矩法、最小二乘法、極大似然法、貝葉斯法、適線法、權(quán)函數(shù)法和概率權(quán)重矩法等。在水文頻率計(jì)算中，P-Ⅲ型分布參數(shù)采用適線法估計(jì)。Johnson變換中，待估參數(shù)計(jì)算采用Chou等[9]提出的方法。Box-Cox變換中，采用最小化待變換數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差（介于-5和5之間），為了準(zhǔn)確比較不同λ值的標(biāo)準(zhǔn)差，使用以下公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化的變換值Z[10]。

式中：G為原始數(shù)據(jù)的幾何均值;Y為待變換數(shù)據(jù)。

3水文變量非一致性檢驗(yàn)及修正

在計(jì)算水文變量頻率時(shí)，要求水文資料具有一致性，即隨機(jī)變量獨(dú)立且總體分布相同。但是近些年大規(guī)模的人類活動(dòng)（修建水利工程等）和顯著的氣候變化，直接或間接地改變了流域的下墊面狀況，最終導(dǎo)致流域水文要素失去了一致性特點(diǎn)。如果水文序列中有趨勢(shì)和跳躍成分，序列的一致性將會(huì)被破壞，在水文頻率計(jì)算之前，要對(duì)水文資料進(jìn)行非一致性檢驗(yàn)及處理。因此，需要對(duì)水文資料進(jìn)行趨勢(shì)分析和變異檢測(cè)，并根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果對(duì)非一致性成分進(jìn)行剔除。

3.1非一致性檢驗(yàn)方法

常用的非一致性檢驗(yàn)方法有：Mann-Kendall秩次檢驗(yàn)法、斯波曼（Spearman）秩次相關(guān)檢驗(yàn)法、有序聚類法、秩和檢驗(yàn)法、游程檢驗(yàn)法、T檢驗(yàn)法、F檢驗(yàn)法、線性趨勢(shì)的相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法、小波分析法、信息熵分析法等[11-13]。本研究基于Matlab軟件選用Mann-Kendall（M-K）秩次檢驗(yàn)法，并且使用趨勢(shì)分析和游程檢驗(yàn)對(duì)水文序列進(jìn)行非一致性檢驗(yàn)。

3.2非一致性修正方法

非一致性修正方法主要有基于還原/還現(xiàn)、基于非一致性極值序列直接進(jìn)行水文頻率分析計(jì)算等[14]。本文采用胡義明等提出的修正方法，趨勢(shì)修正即假定“在具有趨勢(shì)變化的實(shí)測(cè)序列中存在一個(gè)理想的平穩(wěn)（一致性）狀態(tài)，平穩(wěn)狀態(tài)的振動(dòng)中心（平均值）是序列分割點(diǎn)前后兩個(gè)實(shí)測(cè)樣本序列平均值的線性組合”。通過(guò)綜合分割點(diǎn)前后兩段序列，進(jìn)行序列趨勢(shì)性變異的一致性修正[15]。跳躍變異修正的假定與趨勢(shì)修正相似，最終通過(guò)綜合跳躍變異點(diǎn)前后序列的均值進(jìn)行整體序列的修正[11]。

4應(yīng)用研究

以瑪納斯河肯斯瓦特水文站1955—2010年共56a實(shí)測(cè)年徑流量為原始數(shù)據(jù)序列，首先對(duì)年徑流量序列進(jìn)行變異檢驗(yàn)，然后通過(guò)上述非一致性修正方法對(duì)變異序列進(jìn)行修正。使用兩種正態(tài)變換方法對(duì)年徑流量序列進(jìn)行正態(tài)轉(zhuǎn)換并檢驗(yàn)其正態(tài)性，最后基于兩種反變換方法并對(duì)比適線法進(jìn)行水文頻率計(jì)算和綜合分析。

4.1研究區(qū)概況瑪納斯河流域位于新疆天山北麓準(zhǔn)噶爾盆地南部，發(fā)源于天山北坡的依邊哈比爾尕山，位于東經(jīng)84°47′—85°31′、北緯43°27′—45°30′之間，流域遠(yuǎn)離海洋，位于歐亞大陸腹地，氣候干燥，屬典型的大陸性干旱氣候區(qū)[16]?？纤雇咛厮恼臼乾敿{斯河上的一個(gè)控制測(cè)站，測(cè)站斷面基本上控制了瑪納斯河全部的地表徑流。該站始建于1955年5月，控制流域面積約4637km，多年平均年徑流量約為12.21億m。

4.2非一致性檢驗(yàn)及修正

4.2.1跳躍變異檢驗(yàn)及修正

對(duì)年徑流量序列進(jìn)行M-K檢驗(yàn)，結(jié)果如圖1所示。

由于1955—2010年年徑流量序列M-K檢驗(yàn)圖中UF與UB交點(diǎn)位置和歷史文獻(xiàn)資料初步確定變異點(diǎn)在1995年附近，經(jīng)有序聚類分析法和滑動(dòng)T檢驗(yàn)法進(jìn)一步確定跳躍變異年份為1996年。以1996年為分割點(diǎn)將整個(gè)年徑流量序列分為前后兩個(gè)子序列，權(quán)重系數(shù)為0.44。跳躍變異修正公式為

式中：μ=1996;t=1955;t=2010;x（t）為原實(shí)測(cè)序列。

對(duì)跳躍性變異修正前后的年徑流量序列進(jìn)行游程檢驗(yàn)，結(jié)果見表2和表3。由游程檢驗(yàn)結(jié)果可知，跳躍變異修正前，游程數(shù)量偏少且檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T值（為0.089）略大于0.05，表明序列隨機(jī)性較差，存在跳躍變異。經(jīng)跳躍變異修正后，T值（為0.816）遠(yuǎn)大于臨界值0.05，且游程數(shù)量適中，表明序列具有獨(dú)立性、隨機(jī)性，即跳躍性變異被有效剔除。

4.2.2趨勢(shì)變異檢驗(yàn)及修正

圖2為原實(shí)測(cè)序列跳躍變異修正后年徑流量序列的趨勢(shì)分析，結(jié)果表明序列存在明顯下降趨勢(shì)。圖3為趨勢(shì)變異修正后序列的趨勢(shì)分析。年徑流量序列線性趨勢(shì)模型為經(jīng)計(jì)算，序列修正公式為

式中：y（t）=0.248-0.0076t;x（t）為跳躍變異修正后年徑流量序列;y′（t）為趨勢(shì)變異修正后年徑流量序列。

趨勢(shì)變異修正后序列趨勢(shì)表明：經(jīng)修正后，年徑流量序列趨勢(shì)性變異被有效剔除，線性趨勢(shì)模型為Y=13.393+0.1t。

4.3正態(tài)變換求解

4.3.1正態(tài)分布表達(dá)式

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為

式中：μ為位置參數(shù)（均值）;σ為尺度參數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差）。式（7）記作X～N（μ，σ）。

當(dāng)μ=0，σ=1時(shí)，正態(tài)分布就成為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：

4.3.2正態(tài)性檢驗(yàn)

首先對(duì)變異修正后水文序列進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，常用的正態(tài)性檢驗(yàn)方法有圖示法、峰度檢驗(yàn)法、非參數(shù)檢驗(yàn)法。圖示法包括P-P圖、Q-Q圖、直方圖、箱線圖、莖葉圖等。非參數(shù)檢驗(yàn)方法包括Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)、Lilliefor檢驗(yàn)、Shapiro-Wilk（W檢驗(yàn)）等。本文借助統(tǒng)計(jì)學(xué)常用軟件SPSS和Q-Q圖進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)。SPSS檢驗(yàn)結(jié)果見表4，正態(tài)Q-Q圖檢驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。

由實(shí)測(cè)序列修正后正態(tài)Q-Q圖檢驗(yàn)和SPSS描述性統(tǒng)計(jì)量可知，水文序列不服從正態(tài)分布。樣本偏度為0.381，峰度為0.443，所以需要對(duì)序列進(jìn)行正態(tài)變換。分別使用Box-Cox和Johnson變換對(duì)年徑流量進(jìn)行正態(tài)變換，Box-Cox變換的參數(shù)計(jì)算結(jié)果和兩種變換后序列的正態(tài)性檢驗(yàn)結(jié)果如圖5～圖7所示。

根據(jù)Box-Cox變換和Johnson變換結(jié)果可知，Box-Cox變換的參數(shù)λ=-0.5，序列均值為1.45，標(biāo)準(zhǔn)差為0.03581，95%置信區(qū)間P=0.889。Johnson變換的最佳類型為S，95%置信區(qū)間P=0.985，序列均值為0.02194，標(biāo)準(zhǔn)差為0.9422，表明Johnson變換的效果優(yōu)于Box-Cox變換。S逆變換公式為[17-18]

5年徑流量頻率計(jì)算

對(duì)實(shí)測(cè)序列修正后進(jìn)行水文頻率計(jì)算，水文頻率計(jì)算采用適線法[19]。實(shí)測(cè)序列修正后基于Box-Cox變換和Johnson變換進(jìn)行指定頻率下年徑流量設(shè)計(jì)值計(jì)算，計(jì)算方法采用正態(tài)逆變換[20]。3種方法對(duì)應(yīng)的年徑流量頻率計(jì)算結(jié)果如圖8所示。

由年徑流量序列頻率計(jì)算結(jié)果可知，基于Johnson變換推求的年徑流量設(shè)計(jì)值和經(jīng)驗(yàn)頻率擬合度較高，其次是基于Box-Cox變換推求的，最后是基于適線法推求的。Box-Cox逆變換推求的年徑流量設(shè)計(jì)值與原實(shí)測(cè)水文序列的高水端擬合度較高，Johnson逆變換推求的年徑流量設(shè)計(jì)值與原實(shí)測(cè)水文序列整體和低水端擬合度較高，適線法計(jì)算的年徑流量設(shè)計(jì)值與原實(shí)測(cè)水文序列的中水端擬合度較高。原因是：經(jīng)過(guò)Box-Cox變換的序列通過(guò)了正態(tài)性檢驗(yàn)且與Johnson變換相比較低，但是因?yàn)槠渥儞Q只有一個(gè)待估參數(shù)，所以當(dāng)逆變換序列發(fā)生很小的變化時(shí)，變換后的結(jié)果也會(huì)有大的波動(dòng)，導(dǎo)致在水文序列高水端不穩(wěn)定時(shí)的擬合更有優(yōu)勢(shì)，從而可以較精確進(jìn)行水文頻率計(jì)算。Johnson變換有多個(gè)形式和變換參數(shù)，正變換與逆變換之間的穩(wěn)健性比Box-Cox變換好，水文變量發(fā)生大的波動(dòng)時(shí)，逆變換的設(shè)計(jì)值依然比較穩(wěn)定，和實(shí)測(cè)年徑流量序列整體擬合度較高，但與高水端擬合度稍劣于Box-Cox變換。因此當(dāng)應(yīng)用Box-Cox變換和Johnson變換推求指定頻率的水文變量設(shè)計(jì)值時(shí)，需要依據(jù)河流自身水文特性綜合利用兩種方法。

利用殘差平方和RSS衡量設(shè)計(jì)值和實(shí)測(cè)值的擬合程度：一組數(shù)據(jù)的殘差平方和越小，表示其擬合程度越高。殘差平方和計(jì)算結(jié)果和3種水文頻率計(jì)算方法對(duì)應(yīng)不同頻率年徑流量設(shè)計(jì)值見表5。

相比于實(shí)測(cè)年徑流量序列修正后基于適線法計(jì)算結(jié)果，基于Johnson變換推求百年一遇、千年一遇的年徑流量設(shè)計(jì)值偏大，萬(wàn)年一遇的年徑流量設(shè)計(jì)值偏小;基于Box-Cox變換推求的年徑流量設(shè)計(jì)值與Johnson變換相差不大。

6結(jié)語(yǔ)

基于正態(tài)變換和逆變換原理，采用Box-Cox變換和Johnson變換對(duì)新疆干旱區(qū)瑪納斯河進(jìn)行水文頻率計(jì)算研究，通過(guò)逆變換推求指定頻率下對(duì)應(yīng)的年徑流量設(shè)計(jì)值。實(shí)測(cè)序列修正后以P-Ⅲ型分布曲線為水文頻率計(jì)算線型，采用優(yōu)化適線法推求不同頻率對(duì)應(yīng)的年徑流量設(shè)計(jì)值。并對(duì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，主要得出了以下結(jié)論。

（1）由年徑流量序列頻率計(jì)算結(jié)果可知，基于Johnson變換推求的年徑流量設(shè)計(jì)值和經(jīng)驗(yàn)頻率擬合度較高，其次是基于Box-Cox變換推求的，最后是基于適線法推求的。Box-Cox逆變換推求的年徑流量設(shè)計(jì)值與原實(shí)測(cè)水文序列的高水端擬合度較高，Johnson反變換推求的年徑流量設(shè)計(jì)值與原實(shí)測(cè)水文序列整體和低水端擬合度較高，適線法計(jì)算的年徑流量設(shè)計(jì)值與原實(shí)測(cè)水文序列的中水端擬合度較高。

（2）相比于原實(shí)測(cè)修正后年徑流量序列基于適線法計(jì)算結(jié)果，基于Johnson變換推求百年一遇、千年一遇的年徑流量設(shè)計(jì)值偏高，萬(wàn)年一遇的年徑流量設(shè)計(jì)值偏低，基于Box-Cox變換推求的年徑流量設(shè)計(jì)值與Johnson變換相差不大。

【責(zé)任編輯 張帥】