裴加旺 劉 蕊

(北京景山學(xué)校,北京 100006)

1 引言

微元法是分析、解決物理問題的常用方法,體現(xiàn)了從部分到整體的科學(xué)思維。使用微元法處理問題時(shí),需將研究對(duì)象或研究的過程在空間或時(shí)間上進(jìn)行無限細(xì)分,得到無數(shù)個(gè)“微元”或“元過程”,它們所遵循的物理規(guī)律是相同的。我們用已知的可求的規(guī)律分析單個(gè)“微元”或“元過程”,再將分析結(jié)果應(yīng)用適當(dāng)?shù)奈锢硭枷牖驍?shù)學(xué)方法進(jìn)行處理,獲得關(guān)于研究對(duì)象或過程整體的規(guī)律。

本文中我們主要分析兩類應(yīng)用微元法求解的問題,一類是分析變量變化率的問題,另一類是求變化量的累積效果問題。從數(shù)學(xué)角度看,前一類問題對(duì)應(yīng)著微分思想,后一類問題對(duì)應(yīng)著積分思想,解決它們的關(guān)鍵都在于對(duì)微元的選取和處理,一是要正確地應(yīng)用物理規(guī)律寫出微元相關(guān)表達(dá)式,二是要對(duì)微元表達(dá)式進(jìn)行合適的處理。

2 微元法在高中物理應(yīng)用的實(shí)例分析

2.1 利用微元分析變量的變化率

例1：一物體做變速直線運(yùn)動(dòng),推導(dǎo)速度對(duì)時(shí)間的變化率與速度對(duì)空間的變化率的關(guān)系,并應(yīng)用該結(jié)論證明在自由落體運(yùn)動(dòng)過程中速度對(duì)空間變化率在逐漸減小。

例2：物體沿著圓周的運(yùn)動(dòng)是常見運(yùn)動(dòng),勻速圓周運(yùn)動(dòng)是其中最簡單的一種,勻速圓周運(yùn)動(dòng)是一種變速運(yùn)動(dòng),具有加速度。

(1) 可按如下模型來研究做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的加速度，設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿圓心為O、半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng),速度大小恒定為v,某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到位置A,經(jīng)極短時(shí)間Δt后到達(dá)位置B,如圖1甲所示,請(qǐng)根據(jù)加速度的定義,推導(dǎo)該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到位置A時(shí)加速度的大小aA。

(2) 研究勻變速直線運(yùn)動(dòng)的“位移”時(shí),常應(yīng)用“以恒代變”的方法，研究曲線運(yùn)動(dòng)的“瞬時(shí)速度”時(shí),常用“化曲為直”的方法。而在研究一般曲線運(yùn)動(dòng)時(shí),用的更多的是 “化曲為圓”的方法,即對(duì)于一般曲線運(yùn)動(dòng),盡管曲線上各位置的彎曲程度不同,但可以在研究時(shí)將曲線分割為許多很短的小段,質(zhì)點(diǎn)在每一小段的運(yùn)動(dòng)均可看作半徑為某個(gè)半徑為ρ的圓周運(yùn)動(dòng)的一部分,可以采用分析圓周運(yùn)動(dòng)的方法進(jìn)行研究,ρ稱為曲線的曲率半徑,如圖1乙所示,請(qǐng)據(jù)此分析圖1丙所示的斜拋軌跡在最高點(diǎn)處的曲率半徑ρ。

甲

(3) 事實(shí)上,對(duì)于涉及曲線運(yùn)動(dòng)加速度問題的研究中,“化曲為圓”并不是唯一的方法,我們還可以采用一種“化圓為拋物線”的思考方式,勻速圓周運(yùn)動(dòng)在短時(shí)間Δt內(nèi)可以分解為沿切線方向的勻速運(yùn)動(dòng)、沿法線方向的勻變速運(yùn)動(dòng)。設(shè)圓弧半徑為R,質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小為v,請(qǐng)推導(dǎo)質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)過程中的向心加速度a。

圖2

點(diǎn)評(píng):解決實(shí)際問題時(shí)我們希望了解瞬時(shí)變化率的特征。這時(shí)就需要先用微元的形式把一段時(shí)間或一段空間的平均變化率表示出來,得到的表達(dá)式體現(xiàn)了物理規(guī)律在“元過程”的應(yīng)用(上面兩道例題里應(yīng)用到了運(yùn)動(dòng)學(xué)定律和牛頓第二定律)。在取極值求瞬時(shí)變化率的時(shí)候,要注意當(dāng)時(shí)間或空間變量趨近于零時(shí),描述微元的方式同描述整體量的方式相比可能發(fā)生了變化,在極限情況下對(duì)表達(dá)式進(jìn)行一些合理的數(shù)學(xué)近似和處理,就是所謂的“化變?yōu)楹恪薄盎鸀橹薄薄盎鸀閳A”“化圓為拋物線”的思想,把難以解決的問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題。

2.2 利用微元求和，求變化量的累積效果

在物理研究中,經(jīng)常會(huì)遇到變化量的累積效果問題。在高中階段的學(xué)習(xí)中就遇到很多這類問題,比如變速運(yùn)動(dòng)位移問題、變力做功問題、變力沖量問題和電容器儲(chǔ)存電荷量問題等。在人教版教材中,探究勻變速運(yùn)動(dòng)的位移公式、探究彈簧彈性勢(shì)能的表達(dá)式、觀察電容器充放電過程等內(nèi)容都用到了微元法。微元法在處理變化量的累積效果問題時(shí),通過限制變化發(fā)生的空間和時(shí)間來限制變化,化“全過程中的變量”為“元過程中的恒量”,進(jìn)而可以用適用于恒量的公式去描述和分析“元過程”,實(shí)現(xiàn)“化變?yōu)楹恪薄盎鸀橹薄?。進(jìn)一步對(duì)變量在“元過程”中的效果進(jìn)行累積求和,就可以得到變化量在全過程的累積效果。

應(yīng)用微元法處理該類問題,一般分為兩步:

(2) 通過數(shù)學(xué)處理,對(duì)“元過程”的效果累積求和得到可解方程,再對(duì)未知量進(jìn)行求解。這一步經(jīng)常用到的方法是圖像法，把相關(guān)函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸所圍的“面積”作為求和運(yùn)算的結(jié)果。人教版教材中探究勻變速運(yùn)動(dòng)的位移公式、探究彈簧彈性勢(shì)能的表達(dá)式、觀察電容器充放電過程等內(nèi)容中,都用到了這種處理方法。在解題時(shí),當(dāng)題目給出了某種變量y隨另一變量x改變的y-x圖像時(shí),就可嘗試使微元表達(dá)式中含有yΔx的形式,進(jìn)而用圖像法求解。

圖3

例3：如圖3所示,兩根光滑的平行金屬導(dǎo)軌水平放置且與電阻為R的導(dǎo)體相連,導(dǎo)軌之間距離為L,其所在空間存在垂直于導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。有一導(dǎo)體棒ab,質(zhì)量為m,在導(dǎo)軌上以初速度v0向右運(yùn)動(dòng),導(dǎo)軌和棒的電阻均不計(jì)。求:

(1) 在導(dǎo)體棒的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中通過閉合回路的電荷量q；

(2) 導(dǎo)體棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中的位移x。

圖4

例4：如圖4所示,金屬導(dǎo)軌MON固定在水平平面內(nèi),其頂角θ=45°,其處在豎直方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。一根垂直于ON的導(dǎo)體棒在水平外力作用下沿導(dǎo)軌MON以恒定速度v0向右滑動(dòng),導(dǎo)體棒質(zhì)量為m,棒與導(dǎo)軌單位長度的電阻均勻?yàn)閞。在滑動(dòng)過程中棒與導(dǎo)軌始終保持良好接觸。t=0時(shí),導(dǎo)體棒位于O處,求:若在t0時(shí)刻撤去外力F,導(dǎo)體棒最終靜止在導(dǎo)軌上的坐標(biāo)x。

圖5

點(diǎn)評(píng):在本題中進(jìn)行了換元計(jì)算，lvΔt=lΔx=ΔS1,把時(shí)間元先換成了線段元,再換成了面積元,這樣做可以用導(dǎo)體棒掃過的面積代表微元累積之和。用微元法解題時(shí)，原始公式中的微元在解題過程中可能根據(jù)需要替換成其它微元,替換的目標(biāo)是新微元累積求和的結(jié)果可以用題目已知條件表示出來。

3 應(yīng)用微元法解題的策略

應(yīng)用微元法解題可以分為3個(gè)步驟:微元的選取、微元過程的物理表達(dá)和對(duì)微元表達(dá)式的處理。

(1) 要根據(jù)題目的情景選取合適的微元,如Δt、Δx、ΔS面、ΔV體、Δm、Δq等,要確保選取的微元能夠?qū)?yīng)一定的元過程,該元過程具有整個(gè)過程所不具備的“優(yōu)越性”,體現(xiàn)在“化變?yōu)楹恪薄盎鸀橹薄鄙?使得不能在全過程中應(yīng)用的公式可以應(yīng)用在元過程中,并且每一個(gè)元過程都遵循同樣的規(guī)律。

(2) 把物理規(guī)律用微元表達(dá)式體現(xiàn)出來,這里表達(dá)式的選取要有目的性,要能夠把已知量和待求量聯(lián)系起來,還要有利于進(jìn)一步的數(shù)學(xué)處理。

(3) 利用換元法、圖像法等方法對(duì)微元表達(dá)式進(jìn)行求和處理,得到結(jié)果。

微元法的應(yīng)用要建立在學(xué)生深刻理解物理規(guī)律、物理量之間的內(nèi)在聯(lián)系的基礎(chǔ)上。教師進(jìn)行微元法的教學(xué)時(shí),要通過對(duì)經(jīng)典例題的講解,引導(dǎo)學(xué)生反思總結(jié),提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的關(guān)聯(lián)整合能力,提高學(xué)生對(duì)問題本質(zhì)的分析概括能力,進(jìn)而能夠在不同情境中實(shí)現(xiàn)知識(shí)和方法的遷移,切實(shí)提升學(xué)生的物理學(xué)科核心素養(yǎng)。