楊海斌

（湖南理工職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湘潭 411004）

0 引言

自適應(yīng)濾波在通信、控制、雷達、聲學(xué)回聲消除等許多領(lǐng)域都有應(yīng)用。稀疏性是信號或信道參數(shù)中普遍存在的特性。遺憾的是，傳統(tǒng)的自適應(yīng)濾波算法，如最小均方（LMS）、歸一化LMS（NLMS）和仿射投影算法都沒有利用信號或信道模型中的稀疏性來提高學(xué)習(xí)性能。然而，利用信道的稀疏性可以顯著提高學(xué)習(xí)過程的收斂速度或穩(wěn)態(tài)性能。因此，在經(jīng)典算法中引入了許多改進來利用稀疏性。一個著名的利用稀疏性的算法族是比例算法族，另一種著名的利用稀疏性的策略是將懲罰函數(shù)加入到傳統(tǒng)算法的代價函數(shù)中，但這些方法中加入了一些常規(guī)算法，從而增加了算法的計算量。

本文采用了不同于在比例算法族中加入一些特征的方法，而是考慮到回聲信道的稀疏脈沖響應(yīng)包含幾個能量很高的系數(shù)，而且大部分系數(shù)都接近于零。因此，利用一些關(guān)于小系數(shù)不確定性的知識，可以將小于假定不確定性的系數(shù)用零代替，以降低計算代價。除了上述利用稀疏性的方法外，還利用集員濾波技術(shù)，提出了低復(fù)雜度的仿射投影算法。當(dāng)誤差小于預(yù)定門限時，集員濾波策略避免了新的更新，從而進一步降低了計算量。

1 集員濾波

在集員濾波中，令Ω表示所有感興趣的“輸入-期望”數(shù)據(jù)對(,)的集合，用可行集Θ表示(,)屬于Ω時，所有使輸出誤差幅度在門限內(nèi)的系數(shù)矢量∈R 構(gòu)成的集合，故Θ可表示為：

此外，定義包含所有權(quán)向量的約束集()，使得在給定的迭代時，其誤差的大小以為上界，即

其中()，()分別為輸入向量和期望信號。另定義資格集合()為()，=0,1,2,…,的交集，即：

當(dāng)→時，資格集合收斂到可行集。然而，由于實際問題，我們無法計算()；但通過約束集()可得到的信息計算一個點估計值。

2 低復(fù)雜度的仿射投影算法

仿射投影算法權(quán)向量更新過程描述如下：

其中為正則化因子，是為防止被零除引入的很小的常數(shù)，是步長，稱為仿射投影算法階數(shù)，()為由個輸入信號向量()組成，()=()-()為誤差信號，()、()分別為維×1誤差向量和期望信號，當(dāng)集員濾波運用到仿射投影算法中時，則利用（）式中的后個約束集來實現(xiàn)，此時（）式可寫成：

式中，ψ()表示前-個約束集的交集，ψ()表示后個約束集的交集。并定義門限向量()∈R，即：

為利用回聲信道稀疏性，定義丟棄函數(shù)f:R→R為：

其中為正常數(shù)。當(dāng)輸出估計誤差大于門限時，即 |(-)|= |()-()(-)|>γ(),=0,1,…,-1時，低復(fù)雜度的仿射投影算法更新絕對值大于的自適應(yīng)系數(shù)。優(yōu)化準(zhǔn)則為：

并且受制于約束條件:

為了計算該優(yōu)化問題的解，使用拉格朗日乘子方法得到

其中()=[()()…λ()]是拉格朗日乘子。取上述方程關(guān)于(+1)的梯度，令其等于零，得到

其中，F((+1))是f((+1))的雅可比矩陣，為了形成遞推，利用投影近似子空間跟蹤緊縮方法，將F((+1))和f((+1))分別用(+1)和F(())替換。得到

將此方程代入約束關(guān)系（11），得到()為

然后，將（10）代入（9），得到如下遞推規(guī)則

其中，=2,…,

則：

其中：=[1 00]為×1維向量。

于是得到低復(fù)雜度的仿射投影算法如下：

其中：

3 仿真

圖1 稀疏路徑脈沖響應(yīng)，ψ=8

圖2和圖3分別給出了信噪比為20 dB和30 dB時三種算法歸一化失調(diào)收斂曲線，從圖中可看出，由于LCSM-APA算法和APA算法利用了過去3次迭代時的輸入信號向量，加快了LCSM-NLMS算法的收斂速度。LCSM-APA算法具有與APA算法相似的性能，但其計算復(fù)雜度低。

圖2 新算法與相關(guān)算法收斂性能比較（SNR=20 dB）

圖3 新算法與相關(guān)算法收斂性能比較（SNR=30 d B）

4 結(jié)語

本文提出了一種新的低復(fù)雜度仿射投影算法，所提算法考慮到回聲信道的稀疏脈沖響應(yīng)包含幾個能量很高的系數(shù)，而且大部分系數(shù)都接近于零。因此，利用一些關(guān)于小系數(shù)不確定性的知識，可以將小于假定不確定性的系數(shù)用零代替，以降低計算代價。此外，該方法還與集合成員技術(shù)結(jié)合，以達到更低的計算負擔(dān)和更低的更新率。數(shù)值仿真結(jié)果表明，新的低復(fù)雜度仿射投影算法在計算資源方面優(yōu)于仿射投影算法，且由于新算法利用了過去迭代時的輸入信號向量，加快了基于集員技術(shù)的低復(fù)雜度NLMS算法的收斂速度。