屈大海 陳沙沙 胡廷佳

(貴州省遵義市第五十四中學,563102)

有關(guān)求四面體的體積,數(shù)學家們一開始是對其施以割補之術(shù),想將之拼湊成立方體,再從立方體的體積公式導(dǎo)出四面體的體積公式.數(shù)學家們?yōu)榇藠^斗了兩千多年都沒有成功.德裔美籍數(shù)學家馬克思·德恩于1901年證明了“只根據(jù)合同公理證明等底等高的四面體有相等之體積是不可能的.特別是正四面體不能分割成許多塊,重新拼湊成立方體.”這就徹底否定了通過割補法求四面體體積公式的途徑,探求四面體的體積成為了一道千年難題.

其實,兩千多年前,善于用實驗發(fā)現(xiàn)真理的阿基米德,用裝沙子的方法發(fā)現(xiàn)四面體的體積是同底等高的三棱柱體積的三分之一,并且用無限逼近的方法證明了他的發(fā)現(xiàn).這種證明方法在現(xiàn)行中學教材中很少出現(xiàn),筆者經(jīng)過研究找到了相應(yīng)解決方法,現(xiàn)整理成文,與大家分享.

在證明四面體的體積公式之前,首先給出n個正整數(shù)的平方和公式.設(shè)i∈N*,對i=1,2,…,n,有(i+1)3-i3=3i2+3i+1.將這n個等式相加,得(n+1)3-13=3(12+22+…+n2)+3(1+2+…+n)+n,整理可得

其次,我們再介紹高等數(shù)學中的一個重要結(jié)論：

有了上面的知識儲備,現(xiàn)在我們可以求四面體的體積了.