艾合買(mǎi)提江·玉買(mǎi)爾 孫煥盛 艾克拜爾·艾孜提力 依皮提哈爾·買(mǎi)買(mǎi)提

摘要：該文討論具有自重置功能的兩部件溫貯備可修系統(tǒng)。系統(tǒng)有兩種修理策略，一是每個(gè)部件都有自重置功能，即通過(guò)自動(dòng)錯(cuò)誤檢測(cè)從故障中自動(dòng)恢復(fù);二是通過(guò)修理工修理故障的部件。該文首先研究該系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)和瞬時(shí)可靠性指標(biāo)，然后討論了系統(tǒng)各參數(shù)對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響。

關(guān)鍵詞：溫貯備系統(tǒng);自重置;可用度;可靠度

中圖分類(lèi)號(hào)：TP393? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2022）06-0082-03

開(kāi)放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

由兩部件和一個(gè)修理工組成的系統(tǒng)，是現(xiàn)實(shí)生活中常見(jiàn)的系統(tǒng)，許多學(xué)者研究了不同類(lèi)型的兩部件可修系統(tǒng)[1-7]。文獻(xiàn)[7-8]中討論了兩部件溫貯備可修系統(tǒng)，即系統(tǒng)由一個(gè)工作部件和一個(gè)溫貯備部件構(gòu)成， 當(dāng)工作部件發(fā)生故障時(shí)，溫貯備部件立即去替換并轉(zhuǎn)為工作部件。兩個(gè)部件在最短的時(shí)間內(nèi)切換，溫貯備是必不可少的。本文為提高系統(tǒng)可靠性，在上述系統(tǒng)的基礎(chǔ)上引入了每個(gè)部件，每個(gè)部件都有自重置功能策略，都能通過(guò)自檢進(jìn)行自動(dòng)錯(cuò)誤檢測(cè)，并從故障中自動(dòng)恢復(fù)。這種策略在無(wú)人值守的控制系統(tǒng)中非常有用。一般來(lái)說(shuō)，自重置時(shí)間比維護(hù)時(shí)間短得多，通過(guò)自重置功能可以提高系統(tǒng)的可靠性。首先建立此系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，然后研究該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)和瞬時(shí)可靠性。通過(guò)數(shù)值計(jì)算的方法分析系統(tǒng)各參數(shù)對(duì)系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的影響。

1 系統(tǒng)的描述及模型的建立

先對(duì)系統(tǒng)做如下假設(shè)：

假設(shè)1系統(tǒng)由一個(gè)工作部件和一個(gè)溫貯備部件構(gòu)成，系統(tǒng)中只有一個(gè)修理工。 當(dāng)工作部件故障，貯備部件立即去替換并轉(zhuǎn)為工作部件。一個(gè)故障部件自重置（自復(fù)位）或等待維護(hù)之后，它將成為系統(tǒng)的溫貯備部件。 當(dāng)兩個(gè)部件都故障而需要修理時(shí)，系統(tǒng)處于故障狀態(tài)。只有在兩個(gè)部件維修完成后，系統(tǒng)才會(huì)重新開(kāi)始運(yùn)行。修復(fù)率用[μ3]來(lái)表示。

假設(shè)2 所有的故障率都是常數(shù)。這里有兩種故障形式，其中一種故障可以通過(guò)自重置來(lái)修復(fù)，工作或貯備時(shí)都可能發(fā)生故障，用[λ11]，[λ21]分別表示工作部件、貯備部件的故障發(fā)生率。 而另一種故障則需要修理工修復(fù)，用[λ12]，[λ22]表示。

假設(shè)3 所有修復(fù)率都是常數(shù)。部件修復(fù)后和新部件一樣。修復(fù)也有兩種模式，一種是自重置，修復(fù)率用[μ1]來(lái)表示，另一種是修理工修復(fù)，修復(fù)率用[μ2]來(lái)表示。系統(tǒng)中只有一個(gè)修理工。

假設(shè)4 所有隨機(jī)變量均相互獨(dú)立。 轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)的故障率為0（假定轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)是完全可靠的）。轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)是瞬時(shí)的。

通過(guò)分析系統(tǒng)的性質(zhì)和以上的假設(shè)條件可知，本系統(tǒng)共有以下6種狀態(tài)：

狀態(tài)0：兩個(gè)部件都完好;

狀態(tài)1：一個(gè)部件處于工作狀態(tài)，另一個(gè)處于故障狀態(tài)，導(dǎo)致此部件自動(dòng)重啟;

狀態(tài)2：一個(gè)部件處于工作狀態(tài)，另一個(gè)處于故障狀態(tài)，導(dǎo)致此部件需要維修;

狀態(tài)3：兩個(gè)部件處于一種故障狀態(tài)，導(dǎo)致兩個(gè)部件都自動(dòng)重啟;

狀態(tài)4：一個(gè)部件處于一種故障狀態(tài)，導(dǎo)致此部件自動(dòng)重啟，另一部件處于另一種故障狀態(tài)，導(dǎo)致此部件需要維修;

狀態(tài)5：兩個(gè)部件都處于一種故障狀態(tài)，導(dǎo)致兩個(gè)部件都需要維修;

容易知道，狀態(tài)5是系統(tǒng)的故障狀態(tài)。于是，狀態(tài)集為[E=0，1，2，3，4，5]，工作狀態(tài)集為：[W=0，1，2，3，4]， 故障狀態(tài)集為：[J=5]。 若令：

[X（t）=j]? 表示時(shí)刻[t]系統(tǒng)處于狀態(tài)[j （j=0，1，2，3，4，5，6）].

則 [X（t）|t≥0] 是有限狀態(tài)集[E]上的對(duì)齊 Markov 過(guò)程[7，8]。 以下求在[Δt]時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)不同狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率：[pi，j（Δt）].

[p0，1（Δt）]=[λ11Δt+λ12Δt+o（Δt）]， [p0，2（Δt）]=[λ21Δt+λ22Δt+o（Δt）]，

[p0，3（Δt）]=[p0，4（Δt）]=[p0，5（Δt）]=[o （Δt）]，

[p0，0（Δt）]=[1-（λ11+λ12+λ21+λ22）Δt+o（Δt）]，

[p1，0（Δt）]=[μ1（Δt）+o（Δt）]， [p1，2（Δt）]=[o （Δt）]，[p1，3（Δt）]=[λ11（Δt）+o（Δt）]，

[p1，4（Δt）]=[λ21（Δt）+o（Δt）]， [p1，1（Δt）]=[1-（μ1+λ11+λ21）Δt+o（Δt）]，

[p2，0（Δt）]=[μ2（Δt）+o（Δt）]， [p2，1（Δt）]=[p2，3（Δt）]=[o （Δt）]，

[p2，4（Δt）]=[λ11（Δt）+o（Δt）]，[p2，5（Δt）]=[λ21（Δt）+o（Δt）]，

[p2，2（Δt）]=[1-（μ2+λ11+λ21）Δt+o（Δt）]，

[p3，0（Δt）]=[p3，2（Δt）]=[p3，4（Δt）]=[p3，5（Δt）]=[o （Δt）]，

[p3，1（Δt）]=[2μ1Δt+o（Δt）]， [p3，2（Δt）]=[o （Δt）]，

[p3，3（Δt）]=[1-2μ1Δt+o（Δt）]，

[p4，0（Δt）]=[p4，3（Δt）]=[p4，5（Δt）]=[o （Δt）]，

[p4，1（Δt）]=[μ2Δt+o（Δt）]， [p4，2（Δt）]=[μ1（Δt）+o（Δt）]，

[p4，4（Δt）]=[1-（μ1+μ2）Δt+o（Δt）]，

[p5，1（Δt）]=[p5，2（Δt）]=[p5，3（Δt）]=[p5，4（Δt）]=[o （Δt）]，

[p5，0（Δt）]=[μ3Δt+o（Δt）]， [p5，5（Δt）]=[1-μ3Δt+o（Δt）]，

由 Markov 過(guò)程的性質(zhì)[7，8]，立即寫(xiě)出轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

[A=-（λ11+λ12+λ21+λ22）λ11+λ12λ21+λ22000μ1-（μ1+λ11+λ21）0λ11λ210μ20-（μ2+λ11+λ21）0λ11λ2102μ10-2μ1000μ2μ10-（μ1+μ2）0μ30000-μ3]

若令：

[pj（t）=pX（t）=j （j=0，1，2，3，4，5）]

并假設(shè)[t=0]時(shí)刻兩個(gè)部件都正常工作，即給定初始條件為：

[p0（0），p1（0），p2（0），p3（0），p4（0），p5（0）=1，0，0，0，0，0]

則由文獻(xiàn)[7]中介紹的方法得到描述該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為：

[dp0（t）dt，dp1（t）dt，dp2（t）dt，dp3（t）dt，dp4（t）dt，dp5（t）dt =（p0（t），p1（t），p2（t），p3（t），p4（t），p5（t））Ap0（0），p1（0），p2（0），p3（0），p4（0），p5（0）=1，0，0，0，0，0]? ? ? （1）

3 系統(tǒng)的可靠性分析

先求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分布。為此需要求解如下線性方程組：

[π0，π1，π2，π3，π4，π5A=0，0，0，0，0，0，π0+π1+π2+π3+π4+π5=1.]? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

解 （2） 得：

[π0=2μ1μ3（μ1β+μ2+λ21）（μ1+μ2）α]，

[π1=2μ1μ3βλ（μ1+μ2）α]，[π2=2μ1μ3λ（μ1+μ2）α]，

[π3=βμ3λλ11（μ1+μ2）α]，[π4=2μ1μ3λ（λ21β+λ11）α]，

[π5=2μ1λλ21（μ1+μ2）α]

其中：

[λ=λ11+λ12+λ21+λ22]，

[α=4μ1μ3（μ1+μ2）（μ1E1+μ2+λ21）+4μ1μ3λE1（μ1+μ2）]

[+2μ1λλ21（μ1+μ2）+2μ1μ3λ（μ1+μ2）]，

[β=λ11μ2λ+（λ11+λ12）（λ21+μ2）（μ1+μ2）μ1（λ21+λ22）（λ21+μ1μ2+μ21）+λ21（λ11+λ12）]

由上面的穩(wěn)態(tài)分布，可得該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度和穩(wěn)態(tài)故障頻度以及其他穩(wěn)態(tài)可靠性指標(biāo)：

[A=j∈wπj=π0+π1+π2+π3+π4]

[=μ3（μ1+μ2）（2μ21β+2μ1μ2+2μ1λ21+2μ1λβ+2μ1λ]

[+βλλ11）+2μ1μ3λ（λ21β+λ11）α]，

[M=i∈Wπij∈Faij=i=04πiai5][=π1λ+π2λ+π3λ+π4λ]

[=μ3λ2（μ1+μ2）（2μ1β+2μ1+βλ11）+2μ1μ3λ2（λ21β+λ11）α]，

[MUT=AM] （系統(tǒng)平均開(kāi)工時(shí)間）， [MDT=AM=1-AM] （系統(tǒng)平均停工時(shí)間），

[MUT=1M] （系統(tǒng)平均周期）

現(xiàn)在討論系統(tǒng)的瞬時(shí)可靠性指標(biāo)。根據(jù)文獻(xiàn)[7-8]中的方法，一般用對(duì)方程組（1）兩端作 Laplace 變換，求出系統(tǒng)瞬態(tài)解的 Laplace 變換表達(dá)式。由于此表達(dá)式比較復(fù)雜，不容易反演出來(lái)。所以在大多數(shù)的研究中，只停留在系統(tǒng)可靠性的穩(wěn)態(tài)指標(biāo)。眾所周知，穩(wěn)態(tài)可靠性指標(biāo)依賴于瞬時(shí)可靠性指標(biāo)，且瞬時(shí)可靠性指標(biāo)能清楚地反映出系統(tǒng)的運(yùn)行趨勢(shì)。因此，本文用 MATLAB 軟件研究系統(tǒng)可靠性的瞬時(shí)指標(biāo)并討論各參數(shù)對(duì)系統(tǒng)瞬時(shí)可靠性指標(biāo)的影響。

為了便于計(jì)算，將一些參數(shù)的值固定如下：

[λ21]=0.0002，[λ11]=（7/3）[λ21]，[λ12]=0.9[λ11]，[λ22]=[λ21]，[μ1]=1/10，[μ2]=1/15，[μ3]=12

圖1表示系統(tǒng)的狀態(tài)概率[pn （n=0，1，2，3，4，5）]。 在圖2中，通過(guò)改變貯備部件的故障率[λ21]，表示出了[λ21] 對(duì)瞬時(shí)可用度[A（t）] 的影響。 可以看出，隨著[λ21]增加，瞬時(shí)可用度[A（t）]減少并且最終收斂到一個(gè)常數(shù)（穩(wěn)態(tài)可用度）。類(lèi)似地， 通過(guò)改變修復(fù)率[μ2]，表示出了[μ2]對(duì)瞬時(shí)可用度[A（t）]的影響，并且很容易看出，隨著修復(fù)率的增加，瞬時(shí)可用度 [A（t）] 增加，最終收斂到一個(gè)常數(shù)（穩(wěn)態(tài)可用度）。這些結(jié)果符合實(shí)際情況。 同樣的方法可以討論其余的可靠性指標(biāo)對(duì)瞬時(shí)可用度和瞬時(shí)故障頻率的影響。在文獻(xiàn)[7]中， 討論了兩部件溫貯備系統(tǒng)，但是部件沒(méi)有自重置功能。圖3給出了本文討論的系統(tǒng)和文獻(xiàn)[7]中的系統(tǒng)，很明顯，本文研究的系統(tǒng)可用度高。在圖3中，給出了瞬時(shí)可靠度。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文主要討論了具有自重置功能的溫貯備可修系統(tǒng)的瞬時(shí)可靠性指標(biāo)。通過(guò)上述結(jié)果可以得出結(jié)論：具有自重置功能和溫貯備冗余的控制器是提高系統(tǒng)可靠性和可用性的有效措施。當(dāng)單部件系統(tǒng)的可靠性較低，維修人員的維修時(shí)間較長(zhǎng)時(shí)，效果更加明顯。

參考文獻(xiàn)：

[1] Shi D H，Li W.Availability analysis of a two-unit series system with shut-off rule and “first-fail，first-repaired”[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica，1993，9（1）：88-91.

[2] 吳少敏，張?jiān)?修理情形不同的兩部件串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性分析[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，1995，8（1）：123-125.

[3] 艾尼·吾甫爾.一類(lèi)兩個(gè)相同部件并聯(lián)的可修系統(tǒng)的適定性[J].應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào)，2001，3（2）：188-192.

[4] 郭麗娜，鄭愛(ài)華.一類(lèi)具有可修故障和不可修故障的兩部件并聯(lián)可修系統(tǒng)的適定性問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2009，39（1）：177-183.

[5] 喬興，王闖，李偉源，等.一類(lèi)具有可修故障和不可修故障的兩部件并聯(lián)可修系統(tǒng)算子性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2013，43（20）：183-193.

[6] Kasim E，Gupur G.Dynamic analysis of a complex system under preemptive repeat repair discipline[J].Boundary Value Problems，2020，2020：71.

[7] 艾尼·吾甫爾.可靠性理論中的數(shù)學(xué)方法[M].北京：科學(xué)出版社，2020.

[8] 曹晉華，程侃.可靠性數(shù)學(xué)引論[M].2版.北京：高等教育出版社，2006.

【通聯(lián)編輯：唐一東】