張 靜，鄭 彬，李紅英，劉玉娟，閆志明

（1.中海石油(中國)有限公司天津分公司渤海石油研究院,天津 300459；2.東北石油大學(xué)石油工程學(xué)院,黑龍江大慶 163318）

注水開發(fā)油藏經(jīng)過注入水的長期沖刷，進(jìn)入“雙高”（高含水、高采出程度）階段后面臨產(chǎn)量遞減較快、年采出程度較低和低效循環(huán)嚴(yán)重等問題。剩余油表現(xiàn)為“整體高度分散，局部相對富集”，注采井間縱向波及規(guī)律異常復(fù)雜，剩余油主控因素不清、分布不明，使油田挖潛難度越來越大。該問題在厚油層油藏尤為突出。若了解注采井間注入水的縱向波及規(guī)律和能達(dá)到的波及程度，就可以有效進(jìn)行油田后期的開發(fā)調(diào)整和剩余油挖潛，對進(jìn)一步提高采收率具有重要作用[1-2]。

在水驅(qū)開發(fā)厚油層縱向波及程度方面，國內(nèi)外學(xué)者針對縱向滲透率差異造成單層含水上升快、各層采收率不均一等問題已開展了大量研究，并建立了相關(guān)計算模型[3-16]。但是，現(xiàn)有研究多考慮縱向滲透率差異，較少考慮重力作用，而重力作用是影響厚油層縱向波及的重要因素之一，有必要在研究縱向波及問題時加以考慮。為此，筆者以滲流理論為基礎(chǔ)，考慮油水兩相流動、有效滲透率，以密度隨飽和度變化描述重力影響，建立了水滴質(zhì)點在平面和縱向的運動方程，形成了可完整描述厚油層注采井間注入水縱向波及規(guī)律的數(shù)學(xué)模型；并以L 油田為例，計算分析了注采量、油層厚度、注采井距、滲透率、原油黏度、含水率和滲透率變化程度等參數(shù)與注采井間水滴質(zhì)點運移路徑、縱向波及程度的關(guān)系，以及厚油層注采井間注入水的縱向波及規(guī)律。研究表明，注入水的縱向波及程度不僅受縱向滲透率差異影響，重力作用也使注入水向下滲流，降低縱向波及程度，影響采收率。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

假設(shè)封閉、水平、均質(zhì)地層中存在油水兩相流動，巖石和流體均不可壓縮，滲流符合達(dá)西定律，儲層流體均為牛頓流體，且流動處于熱力學(xué)平衡狀態(tài)，流體流動過程中無特殊物理化學(xué)反應(yīng)。在此假設(shè)下建立數(shù)學(xué)模型。

1.1 平面質(zhì)點運移速度

假設(shè)在均質(zhì)無限大地層中有等產(chǎn)量的一源（注水井B）和一匯（生產(chǎn)井A），源匯之間距離為2d，如圖1所示（圖1中：-q為B井注水量，m3/d；q為A井產(chǎn)液量，m3/d；r1為A井到任一點M的距離，m；r2為B井到任一點M的距離，m；v為水滴質(zhì)點平面運移速度，m/d；v1為水滴質(zhì)點平面運移切向分速度，m/d；v2為水滴質(zhì)點平面運移法向分速度，m/d）。

圖1 一源一匯示意Fig.1 One source and one sink

當(dāng)?shù)貙又兄挥蠥井工作時，v1可表示為[17]：

式中：S為滲流面積，m2；h為油層有效厚度，m；qh為產(chǎn)液強度，m2/d。

當(dāng)?shù)貙又兄挥蠦井工作時，v2可表示為[17]：

當(dāng)A井、B井同時工作時，根據(jù)三角形相似理論，v可表示為：

由式（3）可知，r1與r2的乘積越小，v越大。

1.2 縱向質(zhì)點運移速度

基于油水相對滲透率曲線，計算得到了油水兩相相對滲透率與出口端含水飽和度關(guān)系曲線（見圖2；圖中，Kro為油相相對滲透率，Krw為水相相對滲透率，Swe為出口端含水飽和度）。

圖2所示曲線在中含水時期呈現(xiàn)為直線段，而在低含水和高含水時期發(fā)生偏離。為了更好地擬合，采用“三段法”分別對低含水期、中含水期和高含水期進(jìn)行擬合，每段直線的表達(dá)式為：

圖2 相對滲透率與出口端含水飽和度關(guān)系曲線Fig.2 Relation between relative permeability and water saturation at the outlet end

式中：Ai為第i段直線延長線在縱軸上的截距；Bi為第i段直線的斜率；i表示含水時期，包括低含水期、中含水期或高含水期。

根據(jù)分流量公式，含水率可表示為：

式中：fw為含水率；qw為產(chǎn)水量，m3/d；qo為產(chǎn)油量，m3/d；μw為水相黏度，mPa·s；μo為油相黏度，mPa·s。

將式（5）代入式（4），可得出口端含水飽和度與含水率關(guān)系式：

由式（6）可得，含水率導(dǎo)數(shù)計算公式為：

由Welge 方程可知，油水兩相區(qū)平均含水飽和度與出口端含水飽和度之間存在如下關(guān)系[18]：

垂直方向上，壓力主要受重力和浮力影響，其壓力梯度為：

式中：p為壓力，MPa；Z為垂向深度，m；Δρ為密度差，kg/m3；g為重力加速度，取9.8 m/s2。

根據(jù)達(dá)西定律，可得：

式中：Q為流量，m3/d；Az為垂直于流動方向的橫截面積，m2；μ為流體黏度，mPa·s；Kz為垂向滲透率，mD。

可得水滴質(zhì)點縱向運移速度表達(dá)式為：

式中：v(z)為水滴質(zhì)點縱向運移速度，m/d。

水滴質(zhì)點在油水混合物運移過程中，密度差隨含水飽和度變化而變化，導(dǎo)致其所受浮力變化，此時，密度差的表達(dá)式為：

式中：ρw為水相密度，kg/L；ρo為油相密度，kg/L。

將式（12）代入式（11），可得油水兩相流動時水滴質(zhì)點縱向運移速度表達(dá)式為：

式中：v′(z)為水滴質(zhì)點縱向運移速度，m/d。

將式（6）、式（7）和式（8）代入式（13），可得：

將注采井距L分割成n個微元，設(shè)水滴質(zhì)點流經(jīng)第j個微元所需時間為Δtj，則其在第j個微元縱向運移距離為Δtjv’(z)。水滴質(zhì)點整個運移過程被分割成n個微元中的運移，則縱向運移距離為：

注水井最頂部水滴質(zhì)點在重力、浮力和驅(qū)替力共同作用下，以近似“對數(shù)曲線”的路徑運移，不能波及油井側(cè)的頂部區(qū)域，形成“死油區(qū)”（見圖3）。此時，縱向波及程度為：

圖3 注入水波及范圍示意Fig.3 Vertical sweep range of injected water

式中：E為縱向波及程度；S1為注入水波及區(qū)域面積，m2；S2為注入水未波及區(qū)域面積，m2。

2 實例分析

L 油田東營組東二下亞段為主力含油層系，自上而下發(fā)育Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ油層組，Ⅱ、Ⅲ為主力油層組，由于受區(qū)域西北方向物源的控制發(fā)育辮狀河三角洲前緣沉積。主力油層組儲層平均厚度89.40 m，其中Ⅱ油層組平均厚度45 m，屬于厚油層。該油田2005 年投入開發(fā)，從初期內(nèi)部加密，到變井網(wǎng)、轉(zhuǎn)流線，歷經(jīng)多輪次調(diào)整后，采出程度達(dá)到30 %，綜合含水率達(dá)到85%，已進(jìn)入高含水、高采出程度的“雙高”階段。

將注采井距劃分為0.01 m 的微元，保持注采平衡，以注采井距300 m、平面滲透率1 500 mD、垂向水平滲透率比值0.3、厚度45 m、油水密度差150 kg/L、產(chǎn)量150 m3/d、原油黏度10 mPa·s 為計算參數(shù)，采用所建數(shù)學(xué)模型，計算分析了不同注采量、油層厚度、注采井距、滲透率、原油黏度、含水率和滲透率變化程度下，水滴質(zhì)點的運移路徑和縱向波及程度。

2.1 注采量

計算不同注采量（q）下注水井最頂部水滴質(zhì)點運移到生產(chǎn)井過程中的運移路徑和縱向波及程度，結(jié)果如圖4所示。

由圖4（a）可知，注采量越大，水滴質(zhì)點的平面運移速度越大，縱向運移速度越小。當(dāng)注采量大于100 m3/d 時，注水井頂部水滴質(zhì)點可在縱向上運移到達(dá)油層底部前到達(dá)生產(chǎn)井；當(dāng)其不大于100 m3/d時，水滴質(zhì)點先運移至油層底部，后再沿油層底部運移至生產(chǎn)井，注采量從50 m3/d 增加至500 m3/d，縱向波及程度從40.11%提高至90.98%。

圖4 不同注采量下水滴質(zhì)點縱向波及示意Fig.4 Vertical sweep of water droplets at different injection-production rates

由圖4（b）可知，縱向波及程度隨著注采量增大而提高，且提高速度變緩。當(dāng)注采量達(dá)到180 m3/d時，縱向波及程度增幅趨緩，即注采量界限為180 m3/d，對應(yīng)的縱向波及程度為81.75 %。

2.2 油層厚度

計算不同油層厚度（h）下水滴質(zhì)點運移路徑和縱向波及程度，結(jié)果如圖5所示。

從圖5可以看出，不同油層厚度下的水滴質(zhì)點運移路徑不同，注水井頂部水滴質(zhì)點均能在縱向上運移到達(dá)油層底部前到達(dá)生產(chǎn)井，但縱向波及程度為定值（77.55%）。

圖5 不同油層厚度下水滴質(zhì)點縱向波及示意Fig.5 Vertical sweep of water droplets at different oil layer thicknesses

下面分2 種情況進(jìn)行研究：1）定油層厚度條件下注采強度對注采井間注入水縱向波及的影響；2）定注采強度條件下油層厚度對注采井間注入水縱向波及的影響。

1）定油層厚度下注采強度的影響。定油層厚度為45 m，計算不同注采強度（qh）下水滴質(zhì)點運移路徑和縱向波及程度，結(jié)果如圖6所示。

由圖6（a）可知，當(dāng)注采強度大于2.22 m3/(d·m)時，注水井頂部水滴質(zhì)點可在縱向上運移到達(dá)油層底部之前到達(dá)生產(chǎn)井；當(dāng)其小于2.22 m3/(d·m)時，水滴質(zhì)點則先運移到油層底部，后再沿油層底部運移到生產(chǎn)井。

圖6 油層厚度一定時不同注采強度下水滴質(zhì)點縱向波及示意Fig.6 Vertical sweep of water droplets at different injection-production intensities under a fixed oil layer thickness

由圖6（b）可知，縱向波及程度隨著注采強度增大而提高。當(dāng)注采強度大于3.00 m3/(d·m) 時，縱向波及程度增幅趨緩，即注采強度界限為3.00 m3/(d·m)。

2）定注采強度下油層厚度的影響。定注采強度為3.33 m3/(d·m)，計算不同油層厚度（h）下水滴質(zhì)點運移路徑和縱向波及程度，結(jié)果如圖7所示。

圖7 注采強度一定時不同油層厚度下水滴質(zhì)點縱向波及示意Fig.7 Vertical sweep of water droplets at different oil layer thicknesses under a fixed injection-production intensity

由圖7（a）可知，當(dāng)油層厚度大于10 m 時，注水井頂部水滴質(zhì)點可在縱向運移到油層底部前到達(dá)生產(chǎn)井；當(dāng)油層厚度小于10 m 時，水滴質(zhì)點先運移到油層底部、然后再沿油層底部運移至生產(chǎn)井，不同油層厚度下水滴質(zhì)點從注水井到生產(chǎn)井的運移路徑完全重合。

由圖7（b）可知，縱向波及程度隨油層厚度增大而提高。當(dāng)油層厚度達(dá)到30 m 時，縱向波及程度增幅趨緩，即油層厚度界限為30 m。

2.3 注采井距

計算不同注采井距（D）下水滴質(zhì)點運移路徑和縱向波及程度，結(jié)果如圖8所示。

由圖8（a）可知，當(dāng)注采井距小于400 m 時，注水井頂部水滴質(zhì)點可在縱向上運移至油層底部前到達(dá)生產(chǎn)井；當(dāng)其不小于400 m 時，注水井頂部水滴質(zhì)點先運移至油層底部，再沿油層底部運移至生產(chǎn)井。

由圖8（b）可知，縱向波及程度隨著注采井距增大逐漸降低；注采井距從100 m 增至500 m，縱向波及程度從97.45 %降低至42.25 %。

圖8 不同注采井距下水滴質(zhì)點縱向波及示意Fig.8 Vertical sweep of water droplets at different injection-production well spacings

2.4 平均滲透率

計算不同平均滲透率（K）下水滴質(zhì)點運移路徑和縱向波及程度，結(jié)果如圖9所示。

圖9 不同滲透率下水滴質(zhì)點縱向波及示意Fig.9 Vertical sweep of water droplets at different permeabilities

由圖9（a）可知，當(dāng)滲透率為300～3 000 mD 時，注水井頂部水滴質(zhì)點可在縱向上運移到油層底部前到達(dá)生產(chǎn)井。滲透率越大，縱向波及程度越低，滲透率從300 mD 增大至3 000 mD，縱向波及程度從95.46%降低至55.16%。

由圖9（b）可知，對于厚油層，注采量一定時，水滴質(zhì)點的平面運移速度一定，由于縱向滲透率與平面滲透率成定比，縱向滲透率隨平面滲透率增大而增大，在重力作用下，水滴質(zhì)點縱向運移速度會增大，導(dǎo)致縱向波及面積減小，縱向波及程度降低。

2.5 原油黏度

分析L 油田地層原油黏度與地面原油密度數(shù)據(jù)，二者關(guān)系可回歸為指數(shù)關(guān)系，其表達(dá)式為：

式中：μo為地層原油黏度，mPa·s；ρoa為20 ℃下地面原油密度，kg/L。

計算原油黏度分別為5，10，20，50，80 和100 mPa·s（對應(yīng)的原油密度分別為897.52，909.75，921.97，938.14，946.43 和950.36 kg/m3）時水滴質(zhì)點的運移路徑和縱向波及程度，結(jié)果如圖10所示。

圖10 不同原油黏度下水滴質(zhì)點縱向波及示意Fig.10 Vertical sweep of water droplets at different crude oil viscosities

由圖10（a）可知，原油黏度為5～100 mPa·s時，注水井頂部水滴質(zhì)點均可在縱向上運移到油層底部前到達(dá)生產(chǎn)井。

由圖10（b）可知，縱向波及程度隨原油黏度增達(dá)而提高。當(dāng)原油黏度大于20 mPa·s 時，縱向波及程度增幅趨緩，即原油黏度界限為20 mPa·s，對應(yīng)縱向波及程度為89.66%。原油黏度從5 mPa·s 增至100 mPa·s，縱向波及程度從51.58 %提高至98.29%。

對于厚油層，原油黏度增大，縱向波及程度提高，一方面是由于注采量不變，原油黏度增大造成壓力增大，使得縱向波及程度提高；另一方面是由于注采量不變，水滴質(zhì)點在平面上推進(jìn)的速度一定，原油黏度增大，水滴質(zhì)點在縱向上運移阻力增大，運移速度減小，注水井頂部水滴質(zhì)點在縱向上運移距離縮短，縱向波及面積增大，原油黏度增大在一定程度上克服了重力作用。

2.6 含水率

計算了不同含水率（fw）下水滴質(zhì)點運移路徑和縱向波及程度，結(jié)果如圖11所示。

圖11 不同含水率下水滴質(zhì)點縱向波及示意Fig.11 Vertical sweep of water droplets at different water cuts

由圖11可知，含水率由0%變化到98%的過程中，注水井頂部水滴質(zhì)點可在縱向上運移到油層底部前到達(dá)生產(chǎn)井，縱向波及程度隨含水率增加而降低，縱向波及程度由100%降低至55.81%。

2.7 滲透率變化幅度

將45 m 厚油層劃分為45 小層，每小層設(shè)定一個滲透率，確保平均滲透率為1500 mD。計算了不同滲透率變化幅度（ΔK）下水滴質(zhì)點運移路徑和縱向波及程度，結(jié)果如圖12所示。

圖12 不同滲透率變化幅度下水滴質(zhì)點縱向波及示意Fig.12 Vertical sweep of water droplets at different change extents of permeability

由圖12可知，對于不同滲透率變化幅度，注水井頂部水滴質(zhì)點均能夠在縱向上運移到達(dá)油層底部之前到達(dá)生產(chǎn)井。滲透率變化幅度越大，滲透率級差越大，縱向移動距離越短，縱向波及程度越高，縱向波及程度從77.55%提高至96.77%。

3 結(jié)論

1）厚油層水驅(qū)開發(fā)過程中，縱向波及程度受注采量等因素影響明顯，注采量越大，縱向波及程度越高；注采量大于界限值180 m3/d 時，縱向波及程度增幅趨緩。當(dāng)注采量一定時，注采井距越小，滲透率越小，含水率越低，滲透率變化幅度越大，縱向波及程度越高。

2）縱向波及程度不受油層厚度影響，但不同油層厚度下質(zhì)點的運移路徑有所不同，注采強度和油層厚度均存在界限值。

3）原油黏度可一定程度上克服重力對質(zhì)點縱向運移起作用，原油黏度越大，縱向波及程度越高，當(dāng)原油黏度達(dá)于界限值200 mPa·s 時，縱向波及程度增幅趨緩。