張雅瓊, 郭建都, 徐 陽, 孫 瑜

(中國北方車輛研究所，北京 100072)

穩(wěn)瞄系統(tǒng)作為火控系統(tǒng)中的重要組成部分，是各類車載、機載等動態(tài)武器平臺實現(xiàn)精確打擊的關鍵前提和基礎.實際工程中穩(wěn)瞄系統(tǒng)一般使用設計簡單且計算量小的傳統(tǒng)PID控制器，但在參數(shù)變化、扭矩波動和不確定的負載的擾動下傳統(tǒng)PID很難滿足控制精度和抗干擾性的要求.

近年來隨著對分數(shù)階微積分理論的研究不斷趨于成熟，分數(shù)階PID(Fractional Order，簡稱FOPID)已被廣泛地應用于各個領域PIλDμ[1-3].其普遍研究的格式是Podlubny教授提出的[4]，其中可以是任意實數(shù)，傳統(tǒng)PID就是λ=1和μ=1的特殊情況.文獻[5]-[7]中表明分數(shù)階控制器具有提高處理參數(shù)不確定性問題的能力以及良好的抗干擾性，可最大程度減少穩(wěn)態(tài)誤差.雖然較傳統(tǒng)PID，分數(shù)階PID的5個參數(shù)提高了控制的靈活性，但其復雜冗長設計問題，為控制器的實現(xiàn)帶來了困難.因此需要一個數(shù)學上計算簡單，且能夠提供較好性能的分數(shù)階PID控制器設計方法.

內(nèi)?？刂?Internal Model Control，簡稱IMC)是基于數(shù)學模型的控制策略，由于其設計簡單，優(yōu)秀的控制特性，所以近年來關于內(nèi)模控制的研究越來越多.文獻[8]中將內(nèi)?？刂扑枷肴谌氲絇ID控制器的設計中，所設計的控制器具有更好的調節(jié)品質以及良好的魯棒性和抗干擾性，并且在PLC、智能儀表、總線控制系統(tǒng)中容易實現(xiàn)，有很高的工程應用價值.文獻[9]提出一種基于內(nèi)?？刂频姆謹?shù)階PID，設計簡單僅有兩個整定參數(shù)且控制效果優(yōu)越.但該法僅適用二階系統(tǒng)，并不適用于裝甲車輛武器控制系統(tǒng)的穩(wěn)瞄系統(tǒng)，因此通過吸取前人的優(yōu)秀成果，文獻[10]提出一種適用于穩(wěn)瞄系統(tǒng)的分數(shù)階PID控制器的設計方法.該方法將內(nèi)?？刂坪头謹?shù)階控制的優(yōu)點結合起來，不同于傳統(tǒng)分數(shù)階PID的5個待整定參數(shù)，本研究的分數(shù)階PID控制器僅含有3個未知參數(shù)，最后這些參數(shù)可通過CRONE控制方法整定.該方法簡化了分數(shù)階PID復雜的整定問題.在Matlab平臺下的仿真實驗，與整數(shù)階PID控制器和分數(shù)階PID控制器的進行仿真對比，證明本研究的分數(shù)階PID控制器在動態(tài)性能、抗干擾性及魯棒性方面具有更好的控制效果.

1 穩(wěn)瞄系統(tǒng)的組成與數(shù)學模型

穩(wěn)瞄系統(tǒng)的主要功能是保證穩(wěn)定瞄準線不受運動載體影響，使瞄準線精確地對準目標中央[11].實際工程中穩(wěn)瞄系統(tǒng)一般由水平和垂直兩個穩(wěn)定系統(tǒng)有機地構成，由于穩(wěn)瞄系統(tǒng)中水平向與垂直向穩(wěn)定系統(tǒng)交叉耦合很小，且二者的工作原理及架構相同，因此本研究僅針對水平向穩(wěn)瞄系統(tǒng)展開.穩(wěn)瞄系統(tǒng)控制框圖如圖1所示，系統(tǒng)主要由陀螺、控制器、功率放大器、直流電機和負載組成.陀螺是穩(wěn)瞄系統(tǒng)中的核心部件，當運動載體或基座相對于慣性空間有轉動時，即有干擾力矩Mf輸入時，陀螺Ge(s)會輸出相應的角速度(角位移)信號E，這個信號經(jīng)控制器C(s)和PWM功率放大后送到平臺的穩(wěn)定電機D(s)，穩(wěn)定電機產(chǎn)生相應力矩驅動平臺朝著相對基座轉動相反方向轉動，直至陀螺信號為零.當回路瞄準目標時，即有輸入信號R時，陀螺相對慣性空間也會產(chǎn)生一個角速度(角位移)信號E，同樣，此信號也得經(jīng)過上述環(huán)節(jié)以使瞄準線精確跟隨瞄準信號.

圖1 穩(wěn)瞄系統(tǒng)框圖

本系統(tǒng)采用穩(wěn)定性較好的光纖陀螺，陀螺的傳遞函數(shù)為

(1)

式中:Ke為陀螺的放大倍數(shù)，Bω為陀螺的閉環(huán)帶寬，Td為陀螺輸出延遲時間常數(shù).

功率放大器的任務是將控制信號進行放大，使其有足夠大的功率供給電機用以產(chǎn)生所需的力矩，在控制系統(tǒng)中可以簡化為一個比例環(huán)節(jié)Kpwm.

直流力矩電機模型結構如圖2所示，Ua、θ、Ea、Mf、ω分別為電機的輸入電壓、輸出角度、反電動勢、干擾力矩和電機轉速，La和Ra為電機總電感和總電阻，Cm和Ce為力矩系數(shù)和電機反電勢系數(shù)，J為電機輸出軸總轉動慣量.

圖2 直流電機簡化模型

機械時間常數(shù)Tm和電氣時間常數(shù)Te是直流電機的兩個關鍵常數(shù)，工程上計算方法如式(2)、式(3)所示.

(2)

(3)

化簡圖2的電機框圖并代入Tm、Te,求得直流電機的輸出力矩/控制電壓的傳遞函數(shù)為

(4)

某特種車輛的水平向穩(wěn)瞄系統(tǒng)的各項參數(shù)如表1所示.

表1 穩(wěn)瞄系統(tǒng)參數(shù)值

將表1的各項參數(shù)代入式(1)～式(4)中，根據(jù)圖1所示系統(tǒng)框圖建立穩(wěn)瞄系統(tǒng)的數(shù)學模型如圖3所示，R為穩(wěn)瞄系統(tǒng)輸入信號，Y為電機帶動負載轉過角度，Mf為回路干擾力矩.

由圖3可知，陀螺的傳遞函數(shù)為

圖3 穩(wěn)瞄系統(tǒng)的數(shù)學模型

(5)

被控對象P(s)的傳遞函數(shù)為

(6)

2 控制器設計的理論背景

2.1 分數(shù)階PID

在控制系統(tǒng)中，積分器的數(shù)量越多，雖然跟蹤效果越好，但閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性越差；相反如果微分器的數(shù)量越多，雖然閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性裕度越大，但是會削弱噪聲抑制能力[12].因此，PIλDμ可以作為一些整數(shù)階PID(即PI2D,PID2,PI2D2)之間的折衷控制器.換句話說，分數(shù)階PID可以在精度和穩(wěn)定性之間做更好的權衡.分數(shù)階PID控制器的傳遞函數(shù)為

(7)

2.2 內(nèi)?？刂?/h3>

內(nèi)模控制是把外部作用信號的動力學模型植入控制器來構成高精度反饋控制系統(tǒng)的一種設計原理.利用該方法設計的控制器具有好的抗干擾性和魯棒性.本研究通過內(nèi)?？刂扑枷雭泶罱ǚ謹?shù)階PID控制器，以簡化PIλDμ控制器繁瑣的參數(shù)整定問題.

內(nèi)?？刂频幕窘Y構如圖4所示，其中P(s)為實際被控過程對象，M(s)為被控過程的數(shù)學模型，Q(s)為內(nèi)?？刂破鳎琑(s)為輸入變量，Y(s)為輸出變量，D(s)為擾動輸入變量.Q(s)和M(s)組合在一起形成的內(nèi)模控制器CIMC(s)，等效反饋控制結構如圖5所示.

圖4 內(nèi)?？刂瓶刂撇呗?/p>

圖5 內(nèi)?？刂频刃Х答伩刂平Y構

(8)

其中，

M(s)=M-(s)M+(s)，

(9)

(10)

2.3 整定規(guī)則

CRONE(Commande Robuste d’Ordre Non Entier)控制法[15]是一種可以對分數(shù)階系統(tǒng)進行設計的頻域方法.根據(jù)理想Bode傳遞函數(shù)以及魯棒性設計系統(tǒng)時域以及頻域指標，例如：系統(tǒng)帶寬、相位裕度等等[14].

對于任何控制器，參數(shù)的整定都是一個難題.本研究采用CRONE控制法[15]進行參數(shù)整定.實際中的系統(tǒng)，假設給定截止頻率ωc和相位裕度φm，以及環(huán)路增益魯棒性要求，可通過以下3個約束方程[8]對控制器進行參數(shù)整定.L(jω)為系統(tǒng)開環(huán)頻率特性；C(jω)為控制器頻率特性；P(jω)為系統(tǒng)被控對象頻率特性.

1)截止頻率約束

|L(jωc)|dB=|C(jωc)P(jωc)|dB=0.

(11)

2)相位裕度約束

Arg[L(jωc)]=Arg[C(jωc)P(jωc)]=-π+φm.

(12)

3)環(huán)路增益魯棒性要求Bode圖相位曲線在截止頻率ωc附近是平滑的，即相位對頻率的導數(shù)在ωc處為零.這也意味著系統(tǒng)對環(huán)路增益變化的魯棒性和響應的超調幾乎相同.

(13)

3 控制器設計方法

3.1 構造分數(shù)階PID

本文提出分數(shù)階PID控制器設計方法，首先利用內(nèi)?？刂评碚撛O計內(nèi)模PID減少控制參數(shù)，然后通過增加積分項階次與微分項階次來構造分數(shù)階PID.控制器的設計步驟如下：

1)模型分解

由2.2節(jié)內(nèi)?？刂圃砜芍到y(tǒng)被控過程的數(shù)學模型M(s)=P(s)，且

(14)

2)設計內(nèi)模控制器

(15)

式(15)中：η為濾波器時間參數(shù)，0<η<2.

3)利用內(nèi)模控制構造分數(shù)階PID

由于M(s)=P(s)，故將式(15)和式(6)代入式(8)，可得到內(nèi)模PID控制器

(16)

顯而易見，式(16)為含有一個待整定參數(shù)的普通PID格式，對照式(7)設計分數(shù)階PID格式的控制器CFO-IMC-PID(s)

(17)

此時，基于內(nèi)?？刂频姆謹?shù)階PID控制器CFO-IMC-PID(s)含有3個待整定參數(shù)η、λ、μ.

4)控制器整定

取式(17)對應控制器CFO-IMC-PID(s)作為圖3穩(wěn)瞄系統(tǒng)的控制器，則系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

L(s)=Ge(s)CFO-IMC-PID(s)P(s).(18)

令s=jω，對式(18)加以2.3節(jié)中的3條約束可得方程組

(19)

對于帶有分數(shù)階次的虛數(shù)j可用式(20)處理：

(20)

給定截止頻率ωc與相位裕度φm,可求得η、λ、μ的唯一值.上述非線性方程組(19)可利用Matlab中的fslove( )函數(shù)求解.

3.2 分數(shù)階微分算子的近似逼近

為了獲得式(17)的分數(shù)階PID控制器，通常需要某種方法對分數(shù)階微分算子sμ和s-γ近似逼近.目前最常采用的方法是改進Oustaloup濾波器算法(Modified Oustaloup Filter Algorithm，簡稱MOFA)[16].由于濾波器不能實現(xiàn)全頻段的微分算子的近似，所以可以選擇感興趣的頻段(ωb,ωh)和需要近似的階次2N+1來對微分算子進行近似逼近.

MOFA濾波器傳遞函數(shù)為

(21)

其增益和零極點為

(22)

根據(jù)經(jīng)驗計算得b=10,d=9.假設近似微分階次為0.5，頻帶為(0.01,100)，則α=0.5,ωb=0.01,ωh=100.

雖然MOFA可以在幅值和相角的頻率特性有很好的近似，但它有一定的局限性：濾波器階數(shù)只能為奇數(shù)(即2N+1)，且只能研究對稱的頻率范圍(即ωbωh=1).因此采用另一個具有良好近似特性的算法——最優(yōu)有理逼近算法(Optimal Rational Approximation Algorithm,簡稱ORAA)[17-18], 它可以消除MOFA的限制，且不會增加算法的復雜性.該算法通過數(shù)值最優(yōu)軌跡獲得帶增益的方法來改善系統(tǒng)性能.

ORAA濾波器傳遞函數(shù)為

(23)

其增益和零極點為

(24)

式(24)中：α為分數(shù)階微分算子階次；M為濾波器階次；γ為頻帶增益，γ>1表示頻帶變寬，0<γ<1表示頻帶變窄，當γ=1頻帶無變化.假設近似微分階次為0.5，頻帶為(0.01,100)，則α=0.5，ωb=0.01，ωh=100.頻帶增益γ=35，濾波器階次為M=11.兩個濾波器的Bode近似曲線如圖6所示，H為s0.5原始曲線.

從圖6 Bode曲線中可以得知，無論是微分算子的幅度頻率特性還是相位頻率特性，最優(yōu)有理逼近算法均優(yōu)于改進的Oustaloup算法，因此本文選用前者對微分算子進行合理化近似.

圖6 兩個濾波器Bode曲線對比圖

3.3 分數(shù)階算子對閉環(huán)響應的影響分析

為了進一步研究微分算子對系統(tǒng)閉環(huán)響應的影響，通過使控制器的λ和μ分別在(0.1,1.9)的范圍內(nèi)以0.1的步長進行遍歷獲得相應系統(tǒng)的bode圖，如圖7所示.

從bode圖7可以看出：λ主要作用于系統(tǒng)的低頻部分，而μ主要作用于系統(tǒng)的高頻部分.當λ變化時系統(tǒng)的截止頻率和相位裕度幾乎沒有變化，但μ變化時系統(tǒng)的截止頻率和相位裕度卻改變了，這是由于設計的截止頻率處于高頻部分，因此改變μ會對截止頻率和相位裕度造成影響.此外，微分算子s±μ的頻率傳遞函數(shù)為

圖7 開環(huán)系統(tǒng)bode圖

(25)

其中增益和相角為

|G(jω)|dB=±20μlog(ω)，

(26)

(27)

4 實驗驗證

4.1 動態(tài)性能分析

為驗證基于內(nèi)?？刂频姆謹?shù)階PID控制器(簡稱FO-IMC-PID)對圖3穩(wěn)瞄系統(tǒng)的控制效果，與整數(shù)階PID控制器(簡稱IO-PID)和分數(shù)階PD(簡稱FO-PD)作仿真對比(由于內(nèi)模PID和分數(shù)階PI無法對系統(tǒng)取得穩(wěn)定控制，因此不做分析).根據(jù)2.3節(jié)整定規(guī)則知，給定截止頻率ωc與相位裕度φm可對本設計的式(17)所示FO-IMC-PID控制器進行整定.利用試湊法確定截止頻率ωc與相位裕度φm；當給定ωc=500rad/s、φm=40°時系統(tǒng)性能較好.將這兩個參數(shù)代入方程組(19)，解得控制器的參數(shù)為η=0.0064、λ=1.7645、μ=1.4251.

FO-IMC-PID傳遞函數(shù)為

(28)

用2.3節(jié)中整定規(guī)則的3個約束條件設計的整數(shù)階PID和分數(shù)階PD的傳遞函數(shù)如下式(29)所示：

IO-PID傳遞函數(shù)為

(29)

FO-PD傳遞函數(shù)為

CFO-PD(s)=0.438 7+0.141 8s0.840 4.

(30)

圖8為各個控制器下系統(tǒng)的單位階躍響應對比曲線.從圖中可以看出：本文設計的控制器FO-IMC-PID 可明顯提升系統(tǒng)的響應速度，相較IO-PID超調也有一定減少.表2中控制器的動態(tài)性能指標值可以看出：該控制器上升時間和調節(jié)時間明顯優(yōu)于其他兩個控制器，雖然FO-PD得超調量優(yōu)于該控制器，但20.10%超調量滿足特種車輛的動態(tài)性能指標要求[19].綜合來看該控制器可以提供更好的控制性能.這在圖9中的開環(huán)傳遞函數(shù)的頻率響應可以看出，該控制器具有更高的帶寬，這也證明了該控制器具有更快的響應性能.

表2 各控制器動態(tài)性能指標

圖8 系統(tǒng)階躍響應對比圖

圖9 開環(huán)系統(tǒng)Bode圖

4.2 抗干擾性分析

在t=0.5 s時，在圖3所示穩(wěn)瞄系統(tǒng)M處加入負載干擾，系統(tǒng)的輸出響應如圖10所示.由圖10可以看出：面對干擾FO-PD控制器已經(jīng)無法取得穩(wěn)定控制，IO-PID與本文設計的FO-IMC-PID仍然可以取得穩(wěn)定控制.但相較于IO-PID，F(xiàn)O-IMC-PID能夠快速地對干擾作出響應，且震蕩幅度較小.因此FO-IMC-PID具有更好的抗干擾性能.

圖10 擾動系統(tǒng)單位響應曲線

本文的研究對象為車載穩(wěn)瞄系統(tǒng)，該系統(tǒng)所處的工作環(huán)境相較于機載與艦載瞄準系統(tǒng)更為復雜，會受到自身設備以及外界的擾動的干擾.因此好的抗干擾性，對車載穩(wěn)瞄系統(tǒng)至關重要.本文設計控制器可有效增強車載穩(wěn)瞄系統(tǒng)的抗干擾性.

4.3 魯棒性分析

在實際的控制中往往通過忽略部分影響小的參數(shù)，用近似模型來表示一個系統(tǒng)，因此模型具有不確定性，具體可表現(xiàn)為參數(shù)攝動.設計的控制器應在模型存在不確定性的情況下，依然可以保持穩(wěn)定和良好的控制特性.通過被控對象P(s)的增益在±20%攝動來觀察FO-IMC-PID控制器控制下系統(tǒng)的魯棒性，與其他控制器對比.

P(s)增益增大20%傳遞函數(shù)為

(31)

P(s)增益減小20%傳遞函數(shù)為

(32)

從圖11攝動系統(tǒng)單位階躍響應曲線可知，在被控對象P(s)的增益±20%攝動時各個控制器都可以滿足穩(wěn)定響應.為了量化分析各個控制器的魯棒性能，引入誤差積分準則作為評價控制器魯棒性的指標.

誤差積分準則是用系統(tǒng)期望輸出與實際輸出或主反饋信號之間的偏差的某個函數(shù)的積分式表示的一種性能指標.性能指標是衡量控制系統(tǒng)性能優(yōu)良度的一種尺度.本設計選用平方誤差積分準則(ISE)、絕對誤差積分準則(IAE)、以及時間乘絕對誤差積分準則(ITAE)這3個誤差積分性能指標來衡量系統(tǒng)的魯棒性.其計算公式如下

(33)

(34)

(35)

式(33)、式(34)與式(35)中:e(t)表示實際輸出與期望輸出的偏差；t為時間.

采用誤差積分指標來衡量系統(tǒng)魯棒性時，體現(xiàn)為上述各類指標值越小系統(tǒng)的魯棒性越好.表3為系統(tǒng)參數(shù)攝動時不同控制器控制下的系統(tǒng)誤差積分值.由表3中可以看出，F(xiàn)O-IMC-PID控制器使得各個指標值最小，與圖11一樣，顯現(xiàn)出FO-IMC-PID控制器優(yōu)良的魯棒性.

圖11 攝動系統(tǒng)單位階躍響應曲線

表3 系統(tǒng)魯棒性評價指標

4.4 樣機驗證

對以FO-IMC-PID為控制器的某周掃鏡的穩(wěn)瞄系統(tǒng)原理樣機為實驗對象進行臺架試驗.控制芯片選擇32位DSP28335，利用CCS采集陀螺信號，數(shù)據(jù)的采集頻率為1 kHz,橫軸每個單位代表0.001 s,縱軸每個單位代表0.002 mil,階躍響應與抗干擾響應曲線如圖12和圖13所示.

圖12 硬件平臺單位階躍響應曲線

圖13 硬件平臺干擾響應曲線

由以上硬件試驗結果可以看出，F(xiàn)O-IMC-PID控制器無論在動態(tài)響應和抗干擾性方面都有著顯著的效果，由圖13(a)可以求出傳統(tǒng)PID控制的系統(tǒng)精度為0.097 mil(1σ),由圖13(b)可求出分數(shù)階PID控制下的系統(tǒng)的精度是0.021 mil(1σ),可以看出，改用分數(shù)階PID控制后，系統(tǒng)抗干擾性提升將近4倍.

5 結論

針對穩(wěn)瞄系統(tǒng)提出一種基于內(nèi)?？刂频姆謹?shù)階PID設計方法.首先利用內(nèi)?？刂圃順嬙煲粋€含有一個整定參數(shù)的內(nèi)模PID；然后，通過增加積分項和微分項的分數(shù)階次，使內(nèi)模PID轉換為含有三個可調參數(shù)的分數(shù)階PID；最后，根據(jù)CRONE控制方法的3個約束，實現(xiàn)控制器參數(shù)的魯棒整定，克服了參數(shù)整定的盲目性.并利用在低頻和高頻具有很好近似效果的最優(yōu)有理逼近法對控制器的分數(shù)階微分算子進行逼近.Matlab仿真實驗與硬件試驗表明，提出的方法設計簡單有效，相較傳統(tǒng)PID在動態(tài)性能、抗干擾性以及魯棒性方面均有更好的控制效果，具有實際的工程應用價值.