余 鑫， 王傳玉， 何學強

(安徽工程大學 數理與金融學院金融工程系， 安徽 蕪湖 241000)

0 引 言

傳統(tǒng)上，養(yǎng)老金固定繳款(DC)計劃管理者的管理激勵是單一管理費安排，根據基金的價值收取費用。然而，在激勵較低的方案下，經理們的表現通常很差，無法跟上基準。Hawthorne[1]指出：相對于管理者們糟糕的業(yè)績，獲得了過高的管理費。類似的現象在對沖基金和共同基金管理領域也得到了廣泛的研究。Gomez-Mejia和Wiseman[2]的研究表明，單一管理費用制度下的管理者缺乏激勵，無法為更好的績效付出更大的努力。

Stoughton[3]和Li等[4]發(fā)現激勵改變了管理者的風險態(tài)度，從而產生了道德風險；Stark[5]和Elton等[6]分別從理論和實證的角度研究了激勵機制對風險承擔行為和基金績效的影響；Foster等[7]使用實證數據表明，在管理費用和業(yè)績費用方案下，激勵安排增加了風險分配和基金波動性。幾何布朗運動資產價格動態(tài)和期望效用理論框架是模型化基金過程和研究管理者風險承擔政策最常用的設置。Gerber等[8]綜述了幾何布朗運動在養(yǎng)老基金動態(tài)建模中的應用；Carpenter[9]和Hoand[10]確定了在這些情況下風險承擔和管理激勵之間的正相關關系；此外，Bichuch等[11]使用一般的半鞅來描述風險資產價格動態(tài)；He和等[12]提出了一個基于累積前景理論的框架工作來研究對沖基金的風險承擔與績效費用之間的關系。他們成功地獲得了第一損失計劃下封閉形式的最優(yōu)交易策略。因此，以幾何布朗運動資產價格動態(tài)和恒定相對風險厭惡效用為背景，研究了通脹風險下加入激勵方案之后管理者的最優(yōu)風險承擔策略。

Lin[13]研究指出:績效費可能會產生更大的激勵，促使管理者在投資方面做出更多努力。因此，不同激勵方案下的最優(yōu)風險承擔政策在基金管理文獻中得到了廣泛的研究。近幾年通貨膨脹對金融市場的影響愈發(fā)顯著，王傳玉等[14]研究了通貨膨脹和損失厭惡下的DC養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問題。在前景理論的框架下，應用伊藤公式得到通脹折現后真實股票價格的微分方程；然后，考慮通脹環(huán)境下的退休時刻終端財富期望效用最大化問題，應用鞅方法推導退休前任意時刻DC養(yǎng)老金最優(yōu)投資策略的顯式解，分析損失厭惡對DC養(yǎng)老金最優(yōu)投資策略的影響。在Lin[13]的基礎上加入通脹風險的因素，在此環(huán)境下建立了管理者的關于時間和基金財富的風險結構。一方面，在方案中，管理者的收益是最終積累的分段函數，DC養(yǎng)老金經理在時間和基金財富方面復雜的風險承擔行為尚未得到很好的研究。另一方面，對于DC養(yǎng)老金而言，繳款過程是消除基金財富過程中自籌資金和鞅特性的重要決定因素。采用隨機最優(yōu)控制方法，研究了管理費用和績效費用方案下養(yǎng)老金管理者的風險承擔政策。為了解決這些問題，在模型中加入了輔助的勞動資本過程，如Kwak[15]， Pirvu等[16]，Guan等[17]。假設繳款過程是非隨機的，使用對偶方法和賦值技術，見Karatzas[18]求解鞅框架下的奇異優(yōu)化問題。

1 數學模型設計

1.1 金融市場

在DC養(yǎng)老金管理中，繳款被不斷的支付給養(yǎng)老金，管理者動態(tài)地將基金財富分配給有風險和無風險的資產，以達到投資目標。首先，建立了動態(tài)的風險和無風險資產的組合模型。

假設所有過程和隨機變量都定義在概率空間(Ω,F，{Ft}t∈[0,T],P)上，且滿足一般條件，其中P表示真實概率測度。而所考慮的完備的金融市場由兩種資產組成：一種是風險資產，另一種是無風險資產。兩種資產的定價過程如下：

假設1 無風險資產價格{Rt}t≥0滿足下列微分方程：

dRt=rRtdt

其中，r是固定收益率，r>0。

假設2 風險資產的價格{St}t≥0是一個幾何布朗運動，滿足下列隨機微分方程：

假設3 假設通貨膨脹是一個隨機過程，其收益水平Qt滿足下面的微分方程:

1.2 養(yǎng)老基金財富

假定t時刻的總財富為Xt，初始財富記為X0，πt為投資于有風險金融資產的資金比例，(1-πt)為投資到無風險金融資產的資金比例，可以得到在t時刻的基金財富過程為

這里c是繳款率，πt表示t∈[0,T]分配給風險資產的總額。

金融市場是完備的，存在一個且只存在一個定價核。

定義狀態(tài)價格密度過程{ξt}0≤t≤T如下(Lin)[36]：

清算級別應包括在DC養(yǎng)老金管理中，這是基準G=G(T)在T時刻的比例ρ，0<ρ<1?；鶞蔊(T)是在合理累計率下的直到時間T為止的預期累積繳款：

假設4 假設激勵方案下，管理者的收益Θ(XT)為

其中k1是管理費的費率，k2是績效費率，XT是終端基金財富。顯然較高的k2會給管理者帶來更高的激勵。績效費的有效性由基準決定G=G(T)。如果基金財富大于基準，管理者將獲得基本管理費和額外的績效費作為獎勵。

下面將對模型進行求解，來得出通脹風險和激勵方案下DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資。

2 模型求解

2.1 效用函數

假設管理者的期望效用是E[U(XT)],其中U是管理者激勵方案下的效用函數，選擇CRRA效用函數。XT是終端財富過程。

目標是求出最大效益，即

其中,π∈v[0,T]表示所有的可行性策略，

p∈(-∞,0)∪(0,1)是靈敏度遞減的參數，衡量管理者的風險厭惡程度。激勵方案下的效用函數表示為

此外，為了衡量成員的風險厭惡程度，設成員的效用函數為

q∈(-∞,0)∪(0,1)是靈敏度遞減的參數，衡量成員的風險厭惡程度。通常成員的風險厭惡程度高于管理者，即q

根據上述分析，連續(xù)注資過程消除了基金財富過程的自融資屬性。文獻[10，19]增加了一個輔助的勞動資本過程，將原來的問題轉化為等價的自籌資金問題。因此，鞅方法和對偶方法可用于自籌資金優(yōu)化，最優(yōu)風險承擔政策可通過市場的完備性從終端收益中導出。

將H(t)定義為t時刻單位貢獻的勞動資本：

H(t)c是未來繳款的現值，代表t時刻的勞動資本。財富總值Yt在時刻t為

Yt=Xt+H(t)c

這是基金財富和勞動資本的結合。因此，Yt滿足以下隨機微分方程：

顯然，總財富過程{Yt}0≤t≤T是一個自籌過程，且在鞅框架下，可以解決隨機最優(yōu)控制問題。此外，勞動資本{H(t)c}0≤t≤T是一個確定過程，在{Xt}0≤t≤T上的優(yōu)化問題可以很容易地轉化成在{Yt}0≤t≤T上的優(yōu)化問題。特別是，勞動資本在退休時終止，XT=YT是有效的。此外，最優(yōu)的風險承擔策略可以通過市場的完備性從最優(yōu)的終端收益中獲得。

非線性增益特性破壞了激勵方案下效用函數的凹形，因此用對偶方法來解決這一問題，通過建立奇異效用函數的包絡線，最終確定最優(yōu)基金的終端財富，并根據包絡線產生的收益確定最優(yōu)的投資策略。

首先，激勵方案下效用函數U的對偶函數V的共軛函數V和共軛點Y的表達式分別為

其次，對于基金財富過程，顯示的表達為

Φ是標準正態(tài)隨機變量Z的累積分布函數。此外，對于任意的t∈[0,T]，d1,t和d2,t是t和ξt的函數：

情況1：

此時U的凹包絡為

v*為方案下的邊際效用且滿足

t時刻的最優(yōu)基金財富是

對于任意的t∈[0,T]，有：

t時刻的最優(yōu)策略是

情況2：

此時U的凹包絡為

其中C2為管理者態(tài)度從追求風險轉向規(guī)避風險的轉折點，得出最優(yōu)基金財富和最優(yōu)投資比:

3 數值模擬與結果分析

現將進行數值模擬，以便更直觀表示出通脹環(huán)境下，激勵方案對DC型養(yǎng)老金投資策略的影響。首先為模型中的參數設置合理的值。數值分析的參數值來自Lin[36]，選取參數值為r=0.05,σ=0.3,μ=0.17,θ=0.4。

從圖1和圖2可以看出：額外的基金財富通過直接增加激勵方案下的獎勵金額，提高了管理者的效用。具體來說，在方案下，額外的基金財富也增加了獲得績效費的可能性，從而以比較保守的政策增加了績效費的可能。此外，在績效費率最高的情況下，每增加一單位的基金財富，管理者產生的效用最高。在通脹環(huán)境下，當基金財富較低時，較高的績效費率會導致更激進的風險承擔行為。這種賭博導致更大收益的可能性更高。因此，在這種情況下，效用相對較高。而且，效用的改善隨著接近終端時間而減小。前者的積累對于DC養(yǎng)老基金的管理至關重要，因為管理者有時間實施后續(xù)的適應性政策。根據以上結果，在通脹環(huán)境下，管理良好的基金將顯著提高管理者的效用。

圖1 邊際效用與資產關系圖

圖2 加入通脹后邊際效用與資產關系圖

4 結論與展望

推導了通脹風險下DC養(yǎng)老金激勵方案下的最優(yōu)投資問題。根據以上情況，在激勵方案下，最優(yōu)風險投資比例在清算水平與轉折點之間呈峰谷形態(tài)。由于Lin[36]解釋到清算不會在終端時刻之前發(fā)生，所以在本文中，終端時刻之前的任意時刻，不同的激勵方案下，收益明顯不同，且更冒險的賭博行為只發(fā)生在基金財富較低和到期時間較短的時候。相應地，當基金財富較低，到期時間較短時，經理和成員會采取更加激進的風險承擔政策以獲得更高的收益而賭博；當基金財富相對較大時，經理和成員可以通過選擇適當的績效費率來提高收益，從而采取更加保守的風險承擔政策。因此，通脹環(huán)境下，將激勵機制引入DC養(yǎng)老金計劃管理是一種雙贏的局面。

主要貢獻是在考慮激勵方案對管理者投資策略的影響時，加入了通脹風險的因素，因為在金融市場中，通貨膨脹是實際存在的，因此得出的結果會與現實更貼近。