胡峰琴，俞曉嵐

(杭州師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，浙江 杭州 311121)

0 引言

Calabi-Yau(CY)范疇的研究最初起源于代數(shù)幾何.一個(gè)CY流形上凝聚層有界導(dǎo)出范疇的Serre函子自然同構(gòu)于平移函子的方冪.M.Kontsevich將滿足這一性質(zhì)的范疇稱作CY范疇.CY范疇的研究對(duì)理論物理、非交換代數(shù)、幾何等領(lǐng)域的研究都很有意義.

自內(nèi)射代數(shù)的穩(wěn)定范疇是一類重要的三角范疇.如果自內(nèi)射代數(shù)A的穩(wěn)定范疇是(弱)CY范疇，則稱自內(nèi)射代數(shù)A為穩(wěn)定CY代數(shù).有關(guān)穩(wěn)定CY代數(shù),已有不少研究成果.2005年，J. Bialkowski和A. Skowroński在文獻(xiàn)[1]中主要討論了哪些代數(shù)閉域上的有限表示型自內(nèi)射代數(shù)的穩(wěn)定范疇是CY范疇.同年，K. Erdmann 和A. Skowroński給出了代數(shù)閉域上Tame型對(duì)稱代數(shù)穩(wěn)定范疇的CY維數(shù)[2].2009年，A. S. Dugas在文獻(xiàn)[3]中證明了任一有限表示型的自內(nèi)射代數(shù)都是周期代數(shù)，并進(jìn)一步利用有限表示型自內(nèi)射代數(shù)和其穩(wěn)定Auslander代數(shù)之間的聯(lián)系，計(jì)算了有限表示型自內(nèi)射代數(shù)周期的界,并將此方法應(yīng)用到穩(wěn)定CY維數(shù)的計(jì)算中.隨后, A. S. Dugas重新研究了哪些有限表示型自內(nèi)射代數(shù)的穩(wěn)定范疇是CY范疇這一問(wèn)題,并計(jì)算了其CY維數(shù)，更正了前人工作的一些錯(cuò)誤[4]. 2014年, S.O. Ivanov和Y.V. Volkov進(jìn)一步通過(guò)雙模投射分解的合沖函子以及定義的穩(wěn)定內(nèi)自同構(gòu)給出了穩(wěn)定CY代數(shù)的一個(gè)等價(jià)定義.通過(guò)這一等價(jià)定義,完善了有限表示型的自內(nèi)射代數(shù)的穩(wěn)定CY維數(shù)的計(jì)算[5].

CY范疇考慮的是范疇整體的性質(zhì)為研究具有CY性質(zhì)的對(duì)象.C. Cibils和章璞在2009年提出了CY對(duì)象的概念[6],詳細(xì)計(jì)算了Nakayama自內(nèi)射代數(shù)穩(wěn)定范疇中的CY對(duì)象.隨后,在文獻(xiàn)[7]中,作者詳細(xì)討論了有限表示型自內(nèi)射代數(shù)的不可分解CY模.本文在前人工作基礎(chǔ)上提出了扭CY對(duì)象的概念,并詳細(xì)研究Nakayama自內(nèi)射代數(shù)的扭CY模.

1 準(zhǔn)備知識(shí)

設(shè)k是一個(gè)固定的域,本文中的向量空間、 代數(shù)都指的是域k上的.對(duì)偶函子Hom(-,k)簡(jiǎn)記作(-)*.如不特別指明,文中的代數(shù)指的都是有限維代數(shù).A-Mod表示A的左A-模范疇,A-mod 表示有限生成左A-模構(gòu)成的A-Mod的子范疇.

1.1 Serre functor和Auslander-Reitun三角

AR1)X和Z是不可分解的;

AR2)h≠0;

AR3) 如果t:Z′→Z不可裂,那么存在t′:Z′→Y使得t=gt′.

則稱此三角為Auslander-Reitun (AR) 三角[10].注意到條件AR3)等價(jià)于:

AR4) 如果Z′是不可分解的并且t:Z′→Z不是同構(gòu),那么ht=0.

滿足條件AR1)和AR2)時(shí), AR3)等價(jià)于:

AR3’) 如果s:X→X′不可裂,那么存在s′:Y→X′使得s=s′f.

AR3’)又等價(jià)于:

AR4’) 如果X′是不可分解的并且s:X→X′不是同構(gòu),那么s°h[-1]=0.

如果一個(gè)Hom-有限k-范疇的不可分解對(duì)象的自同構(gòu)代數(shù)都是局部代數(shù),則稱此范疇是Krull-Schmidt范疇.此時(shí),任何對(duì)象都可分解成不可分解對(duì)象的直和.

1.2 自內(nèi)射代數(shù)和它的穩(wěn)定范疇

對(duì)于范疇A-mod中的態(tài)射f,用f表示它在范疇A-mod中相應(yīng)的態(tài)射.眾所周知,對(duì)于沒(méi)有投射直和項(xiàng)的模M和N來(lái)說(shuō),同態(tài)f:M→N是同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)f:M→N在范疇A-mod中是同構(gòu).

1.3 Nakayama代數(shù)

令A(yù)是有限維k-代數(shù).如果A的任意不可分解模是單列的,也就是說(shuō)有唯一的合成序列,則稱A是Nakayama代數(shù).在這種情況下,A是有限表示型的.如果k是代數(shù)閉域,那么任意的連通自內(nèi)射Nakayama代數(shù)Morita等價(jià)于如下定義的Λ(n,t),n≥1,t≥2.

2 三角范疇中的扭CY對(duì)象

在文獻(xiàn)[6]中,作者提出了CY對(duì)象的概念.我們將這一定義推廣,給出如下扭CY對(duì)象的定義.

的自然同構(gòu)成立,則稱X是π-扭CY對(duì)象.滿足上式的最小的非負(fù)數(shù)d,稱作對(duì)象X的扭CY維數(shù),記作CYdim(X)=d,并稱X為d維π-扭CY對(duì)象.

注1當(dāng)定義2中的π是恒等函子時(shí),扭CY對(duì)象即為文獻(xiàn)[6]中定義的CY對(duì)象.

和文獻(xiàn)[6]類似,下列定理給出了扭CY對(duì)象和AR三角之間的關(guān)系.

(πX)[d-1]→Y→X→(πX)[d]，

(1)

基于文獻(xiàn)[9]的結(jié)論,定理 1的證明和文獻(xiàn)[7]的證明類似,但為了敘述的完整性,下文還是給出完整的證明.

(2)

(u,wv)Z=(vu,w)W,

(3)

證明如果X是扭CY對(duì)象,則存在非負(fù)整數(shù)d,自等價(jià)函子π,使得下列同構(gòu)成立,且對(duì)變量Z是自然的,

反之,如果對(duì)任意不可分解的對(duì)象Z,有式(2)、(3)成立,則存在同構(gòu)

定理1的證明假設(shè)X是扭CY對(duì)象,由引理1,存在非退化雙線性型

(πX)[d-1]→Y→X→(πX)[d].

反之,假設(shè)式(1)是一個(gè)AR三角.要證明X是一個(gè)扭CY對(duì)象,根據(jù)引理 1,只需證明對(duì)任意不可分解對(duì)象Z,存在如式(2)的非退化雙線性型(-,-)Z,并滿足式(3).

3 自內(nèi)射Nakayama代數(shù)的扭CY對(duì)象

設(shè)A是一個(gè)自內(nèi)射代數(shù),A-mod是A的穩(wěn)定范疇.那么Nakayama函子ν:=A*?A-, Heller合沖函子Ω和AR變換τ?Ω2°ν?ν°Ω2,都是A-mod的自等價(jià)函子[13].A-mod是滿足[1]=Ω-1的Hom-有限Krull-Schmidt三角k-范疇.

定義3設(shè)A是一個(gè)自內(nèi)射代數(shù).如果它的穩(wěn)定范疇A-mod是弱CY范疇,則稱A為穩(wěn)定CY代數(shù).A-mod的弱CY維數(shù)稱作代數(shù)A的穩(wěn)定CY維數(shù),記作CYdim(A).

設(shè)M是一個(gè)左A模,不含投射模的直和項(xiàng).如果M是A-mod中的一個(gè)CY對(duì)象,則稱M為CY模.模M的CY維數(shù)記作CYdim(M).

由AR同構(gòu),對(duì)任意X,Y∈A-mod,

文獻(xiàn)[6]給出了何時(shí)代數(shù)Λ(n,t)存在不可分解CY模.需注意的是,文獻(xiàn)[7]中的CY范疇實(shí)際上是弱CY范疇.

引理3[6]假設(shè)t≥3.那么Λ=Λ(n,t)存在不可分解CY模當(dāng)且僅當(dāng)n和t滿足下列條件中之一:

1)g.c.d(n,t)=1.此時(shí), Λ-mod是弱CY范疇, CYdim(Λ)=2m-1,m是滿足n|(m-1)t+1的最小正整數(shù).

定義4設(shè)A為自內(nèi)射代數(shù),X是A-mod中的一個(gè)非零對(duì)象.如果存在非負(fù)數(shù)d,以及代數(shù)自同構(gòu)φ:A→A.使得下列自然同構(gòu)成立：

則稱X是φ-扭CY模.滿足上式的最小的非負(fù)數(shù)d,稱作A的扭CY維數(shù).

下面詳細(xì)討論Nakayama自內(nèi)射代數(shù)的扭CY模.