陳寶華，吳泉英*，唐運(yùn)海，范君柳，孫 毅，沈棟慧

（1.蘇州科技大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.江蘇省研究生工作站 蘇州蘇大明世光學(xué)股份有限公司，江蘇 蘇州 215028；3.江蘇省研究生工作站 蘇州德創(chuàng)測控科技有限公司，江蘇 蘇州 215009）

1 引 言

隨著現(xiàn)代光學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，自由曲面光學(xué)元件憑借其較高的優(yōu)化自由度和像差校正能力在照明系統(tǒng)、光束整形及虛擬現(xiàn)實(shí)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，是先進(jìn)光學(xué)系統(tǒng)朝著輕量化、小型化和高性能方向發(fā)展的組成部分之一［1-3］。自由曲面加工通?？梢越柚芍本€進(jìn)給軸——X軸和Z軸，加上一個回轉(zhuǎn)主軸C軸組成的單點(diǎn)金剛石車床慢刀伺服車削實(shí)現(xiàn)。但由于加工時車床的跟蹤誤差大、刀具路徑規(guī)劃方法不完善等問題，其光學(xué)面形難以達(dá)到很高的精度，特別是面形曲率變化較大的自由曲面，表現(xiàn)更為明顯。因此，如何減小加工誤差、合理規(guī)劃刀具路徑是實(shí)現(xiàn)高精度自由曲面制造的必然要求［4］。

目前，在刀具路徑規(guī)劃中刀具圓弧半徑補(bǔ)償是其重要組成部分。該補(bǔ)償方式一般分為兩種，一是基于面法線方向，即XZ方向的補(bǔ)償［5］。對于給定的刀觸點(diǎn)，計(jì)算該點(diǎn)位的法向量，結(jié)合刀具圓弧半徑可以很方便得出補(bǔ)償?shù)段稽c(diǎn)，這也是大部分編程軟件輸出刀具路徑所采用的主流方法。但是對非旋轉(zhuǎn)對稱的自由曲面而言，X方向的補(bǔ)償量會隨著曲面上給定刀觸點(diǎn)的曲率變化增大或減小，導(dǎo)致在同一回轉(zhuǎn)周期內(nèi)，作為車床承重軸的X軸往復(fù)多次，跟蹤誤差較大，尤其是曲率變化較大的面形，誤差可達(dá)幾十納米。為了穩(wěn)定X軸，減小誤差，人們提出第二種刀具圓弧半徑補(bǔ)償方式，即Z方向補(bǔ)償［6］。該補(bǔ)償方式的核心思想是不補(bǔ)償X方向，將補(bǔ)償量全部集中在Z方向，這樣就能解決X軸往復(fù)運(yùn)動問題。但該補(bǔ)償算法較為復(fù)雜，一是需要計(jì)算出刀觸面的等距面，在等距面上直接做刀具路徑，而等距面是由刀觸點(diǎn)通過面法線補(bǔ)償后的離散刀位點(diǎn)構(gòu)成，在做刀具路徑前還需將離散點(diǎn)擬合成曲面方程才可保證X方向不變，增大誤差的同時還增加了計(jì)算量；二是通過幾何方程組，根據(jù)給定刀觸點(diǎn)、面法線、切線方程和刀具圓弧半徑等已知條件直接求解未知刀位點(diǎn)的Z向坐標(biāo)，但此方法只能求得近似解，且存在一定的曲線擬合，若面型復(fù)雜多變，反而增加解方程的難度，實(shí)施較為困難［7］。

為了改進(jìn)刀具路徑規(guī)劃中刀具圓弧Z向補(bǔ)償?shù)挠?jì)算方法，降低車床克服慣性帶來的跟蹤誤差，提高切削速度和效率，本文結(jié)合XZ方向補(bǔ)償方式提出一種差值快速迭代法。以設(shè)定的理想刀位點(diǎn)極徑和由初始刀觸點(diǎn)計(jì)算出的補(bǔ)償?shù)段稽c(diǎn)極徑作差值，判斷差值是否小于車床導(dǎo)軌分辨率，若低于此分辨率，則輸出刀位點(diǎn)；若超過，將差值補(bǔ)償給初始刀觸點(diǎn)重新計(jì)算補(bǔ)償?shù)段稽c(diǎn)，再與理想極徑作差值，此為一次迭代，通過多次迭代，即可完成最終刀位點(diǎn)輸出。

2 模型建立

以超環(huán)面為例，在笛卡爾x-y-z坐標(biāo)系中，超環(huán)面方程為：其中：c1=1/R1，c2=1/R2，R1和R2是 超環(huán)面子 午和弧矢方向上的頂點(diǎn)曲率半徑，k1和k2是圓錐系數(shù)，D是待加工面的直徑。定義x=ρcosθ和y=ρsinθ，即可將（x，y，z）坐標(biāo)轉(zhuǎn)為柱面坐標(biāo)(ρ，θ，Z)。其中，ρ是面上點(diǎn)在xy平面上的投影與原點(diǎn)的極徑，θ是極角，Z是曲面矢高。ρ，θ，Z還分別是單點(diǎn)金剛石車床X軸的行程坐標(biāo)，主軸C的回轉(zhuǎn)角度和刀具Z軸的行程坐標(biāo)［8］。

當(dāng)c1和c2等參數(shù)不同時，曲面失去旋轉(zhuǎn)對稱性，圖1（a）是非旋轉(zhuǎn)對稱的超環(huán)面。其中，刀觸線定義為在極角θ時刀具所在平面與曲面的交線。在規(guī)劃完整刀具路徑前需要對刀觸線上的刀觸點(diǎn)作刀具圓弧半徑補(bǔ)償，如圖1（b）是XZ方向補(bǔ)償示意圖，r是刀具圓弧半徑，ρcut是刀觸點(diǎn)極徑，ρcom是補(bǔ)償后的刀位點(diǎn)極徑。由于超環(huán)面上各點(diǎn)的曲率呈周期性變化，同一路徑圈中的不同極角θ1，θ2和θ3下，補(bǔ)償后的極徑ρcom出現(xiàn)類似正弦波動的現(xiàn)象，如圖1（c）所示。因此，X軸在一個加工周期過程中往復(fù)多次，車床為了克服慣性造成大的跟蹤誤差，且這種波動振幅會隨著c1和c2的差異增大而增加，不利于曲面的高精度加工［9］。

圖1 超環(huán)面及刀具XZ方向補(bǔ)償示意圖Fig.1 Toroidal surface and tool XZ-direction compensation

為了穩(wěn)定X軸，采用刀具圓弧的Z向補(bǔ)償方式，將補(bǔ)償量全部集中在響應(yīng)頻率高、慣性較小的Z軸上。如圖2所示，以給定曲面上刀觸點(diǎn)P作為刀具圓弧的中心，刀具圓弧沿著P點(diǎn)的Z方向移動ΔZ的矢高距離，并與刀觸線相切，此時新的刀位點(diǎn)Pmk則是理想刀位點(diǎn)，距離ΔZ是補(bǔ)償值，其大小與刀具圓弧半徑和刀觸點(diǎn)處的曲率相關(guān)。從圖中可看出，補(bǔ)償后的刀具圓?。ㄌ摼€）刀位點(diǎn)Pmk的極徑與給定刀觸點(diǎn)P的極徑一致，而刀觸點(diǎn)極徑則是參照阿基米德螺線采樣得到的，用這種方式即可解決車床X軸往復(fù)波動的問題。但距離ΔZ是未知量，想要通過方程組精確計(jì)算出該值實(shí)屬不易，若曲面面形更加復(fù)雜，還需要曲線擬合，只能求得近似解，又會造成精度誤差，實(shí)施較為困難。

為了精確獲得刀具Z向補(bǔ)償方式的理想刀位點(diǎn)，并兼顧效率和可操作性，擬定一種差值快速迭代法。此迭代算法的實(shí)現(xiàn)分為如下三步：

圖2 刀具Z向補(bǔ)償Fig.2 Z-direction compensation

步驟一，依照阿基米德螺旋線，先設(shè)定第m路徑圈的各個理想刀位點(diǎn)Pmk的極徑為：

其中N=2π/Δθ，Δθ是等角度采樣間隔，Δl是相鄰路徑圈步長。從式（2）可知，第m路徑圈上的極徑ρmk以k為系數(shù)線性遞減，將N+1個極徑寫成矩陣形式：

雖已給定理想刀位點(diǎn)Pmk的極徑，但其完整的柱面坐標(biāo)無法算出，原因是矢高Zmk是個未知量。

參照理想極徑組ρmk，先暫定第m路徑圈的刀觸點(diǎn)P的極徑為：

未迭代前可令極徑矩陣ρ=ρmk，即兩矩陣中各個元素相等。由于刀觸點(diǎn)P是曲面上的點(diǎn)，其具體點(diǎn)位通過式（1）計(jì)算得出。

步驟二，根據(jù)已知刀觸點(diǎn)P，曲面方程Z（x，y）及刀具圓弧半徑r，按面法線方式（XZ方向）作刀具圓弧半徑補(bǔ)償?shù)玫窖a(bǔ)償后的刀位點(diǎn)Pc，如圖2所示。

圖3 刀具半徑補(bǔ)償計(jì)算及極徑差值示意圖Fig.3 Schematic diagram of tool radius compensation calculation and polar diameter difference

此時刀位點(diǎn)Pc的極徑為：

步驟三，圖3（b）將理想極徑ρmk與補(bǔ)償后的刀位點(diǎn)極徑ρc作差值運(yùn)算：

判斷Δρ中的最大值是否小于車床X軸的導(dǎo)軌分辨率：

條件滿足，則輸出此時的刀位點(diǎn)，理想刀位點(diǎn)的Zmk即等于此時刀位點(diǎn)的Zc，刀具路徑規(guī)劃完成。

若不滿足，則令：

將差值Δρ補(bǔ)償給步驟一設(shè)定的刀觸極徑ρ，生成新的刀觸極徑ρ'，并返回步驟二中重新完成上述流程，此為迭代一次，多次迭代計(jì)算后即可得到理想刀位點(diǎn)。具體流程如圖4所示。

從圖4可以看出，最終輸出的刀位點(diǎn)Pc實(shí)質(zhì)就是理想刀位點(diǎn)Pmk，而在此運(yùn)算期間涉及到的最復(fù)雜公式為刀具圓弧半徑常規(guī)面法線（XZ）方式補(bǔ)償，避免了煩瑣方程組求解和曲面擬合，提高精度的同時，可操作性好。該方法的迭代次數(shù)與曲面面形和初始選擇的刀觸點(diǎn)極徑大小相關(guān)，經(jīng)驗(yàn)得知即使更為復(fù)雜多變的高階自由曲面，迭代次數(shù)也在5次以內(nèi)。

圖4 差值迭代流程Fig.4 Flow chart of difference iteration method

圖5 極徑ρ和矢高Z在不同迭代下的波動曲線圖Fig.5 Fluctuation curves of polar diameterρa(bǔ)nd vector height Z under different iterations

若給定超環(huán)面如表1中的各項(xiàng)參數(shù)，由此分析迭代前后該曲面的刀具路徑趨勢。圖5（a）中曲線顯示的是不同迭代次數(shù)下，C軸回轉(zhuǎn)角θ與刀位點(diǎn)極徑ρ之間的關(guān)系。未迭代前的初始刀位點(diǎn)極徑呈周期性波動，在C軸回轉(zhuǎn)90°和180°時極徑ρ分別達(dá)到最大值24.164 mm和最小值23.955 mm，幅度波動差值約為0.2 mm，第一次迭代后此波動差值降至0.03 mm。第二次迭代后波動差值為0.94×10-6mm，已達(dá)到X軸導(dǎo)軌分辨率極限，滿足要求。圖5（b）是不同迭代次數(shù)下，C軸回轉(zhuǎn)角θ與刀位點(diǎn)Z向矢高之間的關(guān)系。同樣地，未迭代前的刀位點(diǎn)矢高Z在回轉(zhuǎn)90°和180°時分別達(dá)到最小值和最大值，而每次的迭代計(jì)算都是對當(dāng)前刀位點(diǎn)矢高Z的一次補(bǔ)償。例如在C軸回轉(zhuǎn)180°時，初始矢高Z值為6.624 mm，迭代一次后6.811 mm，補(bǔ)償0.187 mm；第二次迭代后為6.794 mm，補(bǔ)償-0.017 mm。因此未迭代前和兩次迭代后，Z值的總補(bǔ)償量為0.17 mm，對響應(yīng)頻率高、慣性小的刀具Z軸影響很小。

表1 超環(huán)面各項(xiàng)參數(shù)Tab.1 Parameters of torus

圖6分析了車床在采用不同迭代次數(shù)下的刀具路徑時，X軸、Z軸與C軸聯(lián)動時的加速度曲線。由圖6（a）可知，迭代前的X軸加速度呈周期性波動，最大值是0.8×10-3mm/θ2，兩次迭代后加速度降至0，表明X軸在加工過程中以固定速度平穩(wěn)進(jìn)給。圖6（b）顯示，迭代前后的Z軸切削加速度曲線變化不明顯，在峰值處由1.78×10-3mm/θ2增加至1.82×10-3mm/θ2，變化量僅 為0.04×10-3mm/θ2。因此為了穩(wěn)定慣性大的X軸，將補(bǔ)償量集中到慣性較小的Z軸是可行的。

圖6 車床X軸和Z軸在不同迭代下的加速度曲線Fig.6 Acceleration curves of X-axis and Z-axis under different iterations

3 實(shí) 驗(yàn)

為了驗(yàn)證該迭代補(bǔ)償方式的精度，考慮到超環(huán)面檢測不易，實(shí)驗(yàn)選用面形都為球面的雙子鏡做試刀對象。如圖7所示，單個子鏡的口徑是25 mm，曲率半徑是50 mm。在刀具路徑規(guī)劃時，由于雙子鏡之間區(qū)域存在平面過渡區(qū)，為了減少計(jì)算量，可先迭代出子鏡曲面上的刀位點(diǎn)，再以邊緣刀位點(diǎn)的Z向矢高為基準(zhǔn)直線插補(bǔ)出平面過渡區(qū)刀位點(diǎn)即可［11］。本次加工實(shí)驗(yàn)的超精密車床為美國Moore 250UPL，加工時的切削參數(shù)如表2所示，待加工口徑D=76 mm，單晶刀具曲率半徑r=0.4 mm，其波紋度受控于100 nm，相鄰路徑間隔Δl=6μm，采用等角度離散加工，角度采樣間隔Δθ=0.4°，切削深度Δs=2.5 μm，加工轉(zhuǎn)速R=120 circle/min。

圖7 雙子鏡Fig.7 Double mirrors

表2 切削參數(shù)Tab.2 Cutting parameters

圖8是車床X軸在刀具圓弧XZ補(bǔ)償和Z向補(bǔ)償方式下的跟蹤誤差，所獲數(shù)據(jù)由車床內(nèi)部給出。從圖8可以看出，若采用XZ方向補(bǔ)償方式加工反射鏡，在一個回轉(zhuǎn)周期內(nèi)，X軸的跟蹤誤差最大值在±15 nm，若此誤差累積至車削完成，將對整個面形造成一定的損傷；而采用Z向補(bǔ)償時X軸的跟蹤誤差降至±4 nm左右，且誤差曲線無較大波動，由此可見X軸已穩(wěn)定進(jìn)給。

圖8 車床X軸在不同刀具圓弧補(bǔ)償方式下的跟蹤誤差Fig.8 Following error of X-axis of lathe under different tool arc compensation modes

圖9 切削示意圖Fig.9 Cutting diagram

圖9 是切削示意圖，雙子鏡位于回轉(zhuǎn)主軸C軸整體安置于X軸，以極角θ順時針回轉(zhuǎn)，同時X軸沿著X方向以極徑ρ大小進(jìn)給，Z軸帶動單晶刀具沿著Z方向以矢高Z進(jìn)給。圖10是Zygo干涉儀檢測結(jié)果。對于左側(cè)球面子鏡其PV值達(dá)到0.226λ@632.8 nm，此精度完全滿足大部分民用光學(xué)系統(tǒng)的成像要求，右側(cè)子鏡的精度與左側(cè)差距不大。在實(shí)際加工過程中，由于X軸平穩(wěn)運(yùn)行，還可在Z軸最大響應(yīng)頻率內(nèi)提高加工時的轉(zhuǎn)速，最大可能提升切削效率。在波面圖中還存在導(dǎo)致曲面光潔度降低的刀紋，如圖10的中心區(qū)域，這是由圓弧刀具加工時的殘留誤差或者相對切削速度不高引起的，這些都是慢刀伺服模式下普遍存在的問題。

圖10 Zygo干涉圖Fig.10 Zygo interference image

4 結(jié) 論

本文提出的自由曲面刀具圓弧Z向補(bǔ)償?shù)牟钪悼焖俚ǎ岳硐氲段稽c(diǎn)極徑和實(shí)際刀位點(diǎn)極徑的差值為目標(biāo)，通過多次迭代運(yùn)算后即可輸出精度極高的刀具路徑。從初始模型分析到最后實(shí)驗(yàn)，其優(yōu)點(diǎn)可總結(jié)為：（1）基于傳統(tǒng)的XZ法線方式補(bǔ)償，精度損失?。唬?）無復(fù)雜方程組求解和曲面擬合，可操作性好。實(shí)驗(yàn)表明，該方法的加工精度可達(dá)0.226λ@632.8 nm，滿足大部分成像光學(xué)系統(tǒng)，且由于X軸進(jìn)給穩(wěn)定，還可適當(dāng)提高加工轉(zhuǎn)速，提升效率，為任意軌跡的刀具刀位點(diǎn)路徑規(guī)劃提供了新的優(yōu)化方案。