江蘇省南京市金陵中學(xué)仙林分校中學(xué)部(210000)孔偉偉

1 原題呈現(xiàn)

如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形,點(diǎn)E在邊AB上,BE=4,過(guò)點(diǎn)E作EF//BC,分別交BD、CD于點(diǎn)G、F兩點(diǎn),若M、N分別是DG、CE的中點(diǎn),求MN的長(zhǎng).

2 試題評(píng)價(jià)

此題為2017年浙江寧波市第10 題,本題雖以選擇的形式考察,但方法多樣,題目中蘊(yùn)含正方形、矩形的多個(gè)性質(zhì),考察中位線定理、直角三角形斜邊中線定理、等腰三角形三線合一、勾股定理等知識(shí)點(diǎn),因此可以從不同的角度分析和挖掘題目.同時(shí)需要學(xué)生借助基本模型靈活運(yùn)用知識(shí),對(duì)學(xué)生思維水平要求較高,同時(shí)進(jìn)行細(xì)致的觀察、合理的聯(lián)想、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?能夠較好地考察學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

3 解法探究

3.1 利用三角形中位線

解法1:看如圖1所示,取DF、CF的中點(diǎn)H、K,連接MH、NK;∵M(jìn)H、NK分別為?DGF和?CEF的中位線,易證四邊形HMRK為矩形,∴MR=HK=HF+FK=3,∵?DMH為等腰直角三角形,∴MH=DH=1,RK=1,NR=2,∴在Rt?MRN中,.

圖1

解法2:如圖2,連接FM并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)Q,連接QG、BQ、BF,∵四邊形BECF為矩形,且N為CE中點(diǎn),∴BN=NF,易證四邊形DQGF為正方形,∴MN是?BFQ的中位線,.

圖2

解法3:如圖3,延長(zhǎng)GN交BC于點(diǎn)H,易證?EGN∽=?CHN,∴N為GH的中點(diǎn),∴MN為?GHD的中位線;∵?DFG為等腰直角三角形,DF=FG=2,.

圖3

3.2 利用等腰三角形三線合一

解法4:如圖4,連接CM、EM,取DF中點(diǎn)P,連接MP,延長(zhǎng)PM交AB于點(diǎn)H;由正方形的對(duì)稱性易證?HEM∽=?PMC,∴MC=ME,∵∠EMC=90?,.

圖4

3.3 利用直角三角形性質(zhì):“斜邊中線等于斜邊一半”

解法5:如圖5,連接MF,BF,∵四邊形BECF為矩形,且N為CE中點(diǎn),∴BN=NF,易證?DFG為等腰直角三角形,∵M(jìn)為DG中點(diǎn),∴FM⊥DG,在Rt?BFM中,.

圖5

3.4 利用平面直角坐標(biāo)系

解法6:如圖6,建立如下平面直角坐標(biāo)系,由題可知設(shè):C(6,0),E(0,4),D(6,6),G(4,4),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得:.

圖6

3.5 利用梯形中位線

解法7:如圖,取AE的中點(diǎn)K,BE的中點(diǎn)H,連接MK、NH,作NJ⊥KM,∵M(jìn)K為梯形AEGD的中位線,∴5,∵N、H分別是BE、CE的中點(diǎn),易證四邊形KJNH為正方形,∴KJ=HN=NJ=3,.

圖7

4 解后反思

4.1 體驗(yàn)聯(lián)想,喚醒自我認(rèn)知

解題教學(xué),教師應(yīng)該盡可能引導(dǎo)將數(shù)學(xué)知識(shí)按照一定的邏輯進(jìn)行聯(lián)結(jié),避免“碎片化”學(xué)習(xí),注重開(kāi)發(fā)學(xué)生聯(lián)想思維,從“想不到”到“能想到”,甚至想到更多的“巧法”.此題中的關(guān)鍵元素是中點(diǎn),看到中點(diǎn)首先可以想到三角形中位線定理;看到等腰和中點(diǎn),想到等腰三角形三線合一;看到特殊四邊形對(duì)角線中點(diǎn),想到連接另一條對(duì)角線;看到直角三角形和斜邊中點(diǎn),想到“直角三角形斜邊中線等于斜邊一半”;看到平行和中點(diǎn),想到倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等;在平面直角坐標(biāo)系中,看到中點(diǎn)想到中點(diǎn)坐標(biāo)公式,化形為數(shù).數(shù)學(xué)中很多復(fù)雜的問(wèn)題都是由熟悉的、基本的幾何模型演變而來(lái),引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生聯(lián)想,有助于喚醒學(xué)生已有的認(rèn)知,對(duì)問(wèn)題產(chǎn)生新的想法,找到解題思路.

本題中的條件“四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為6 的正方形”若變成“四邊形ABCD為矩形,AB=6,∠ABD=60?”,仍然可以求出MN的長(zhǎng)度;當(dāng)然條件可以更一般化為:四邊形ABCD為平行四邊形,AB=a,BC=b,∠BAD=α,∠ABD=β,AE=c,如圖8所示,通過(guò)解三角形和三角形中位線定理即可得MN的長(zhǎng).解題教學(xué)不是簡(jiǎn)單的解決一道題,更多地關(guān)注重要結(jié)論性質(zhì)的拓展與推廣.在變式教學(xué)中,學(xué)生可以從多角度、多層面、多結(jié)論去認(rèn)識(shí),從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì),有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和探索能力,提升思維層次,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

圖8

4.2 分析問(wèn)題,拓展思維深度

波利亞說(shuō):掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題.教師在解題教學(xué)中,既要分析題目中的顯性和隱性的條件,也要分析題目條件與結(jié)論得內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu),深度挖掘題目中的基本幾何模型、蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)的本質(zhì),從而培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、條理性和融合性.本題充分利用中點(diǎn)這個(gè)元素,通過(guò)對(duì)中點(diǎn)的聯(lián)想,從不同的切入點(diǎn)思考,幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí),提高知識(shí)應(yīng)用能力,實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).