楊雨,楊晗

(西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,四川 成都 611756)

1 引言

本文考慮如下帶有對數(shù)非線性源的p-Kirchhoff方程的初邊值問題

是具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域.

近年來,關(guān)于具有不同非局部項的偏微分方程的研究越來越多,由于它在物理學(xué)和生物學(xué)上的重要作用,吸引了許多學(xué)者的注意.例如,文獻(xiàn)[1]介紹了如下的具有非局部系數(shù)的雙曲線方程

它在有限域Ω?Rn中就是一個關(guān)于在均勻密度ε下彈性字符串小阻尼橫向擺動的模型.通過令ε=0,得到如下的p-Kirchhoff拋物方程

這類方程的特點(diǎn)就是系數(shù) Δpuε或 Δpu依賴于未知函數(shù)u的梯度,即方程不再是點(diǎn)態(tài)恒等式.由于這類模型是由Kirchhoff(基爾霍夫)首次提出的,故將這類方程稱為p-Kirchhoff方程或非局部方程,當(dāng)p=2時,簡稱為Kirchhoff方程.關(guān)于非局部的其他理由是基于這樣一個事實(shí):測量不是點(diǎn)態(tài)的,而是通過一些平均量得到的.

盡管Kirchhoff方程已經(jīng)被提出很長一段時間了,但是在基于文獻(xiàn)[2]之后,它的解的存在性,唯一性,正則性等性質(zhì)才得到了很好的研究.例如,關(guān)于上述方程的橢圓對應(yīng)方程

當(dāng)p=2時,文獻(xiàn) [3]利用最小化參數(shù)和變分法研究了方程 (1.4)正解的存在性.文獻(xiàn) [4]利用截斷參數(shù)和先驗估計研究了在M(s)是一個非增函數(shù)并且f(x,u)滿足Ambrosetti-Rabinowitz條件時,方程(1.4)的正解的存在性,關(guān)于此方程的更多研究可見文獻(xiàn)[5-9].

與Kirchhoff方程有關(guān)的研究還有很多.例如,文獻(xiàn)[10-11]研究了當(dāng)p=2并且擴(kuò)散系數(shù)M(s)滿足:對所有的s≥0,有

0

以及源項f(x,t,u)≡f(x)時,方程(1.3)的解的存在性,唯一性以及強(qiáng)解或弱解的漸近形態(tài)等問題.隨后文獻(xiàn)[12]將結(jié)果擴(kuò)展到p-Kirchhoff方程中.文獻(xiàn)[13]利用修正勢井以及變分法研究了方程(1.3)在p=2,M(s)=a+bs,a,b>0,以及f(x,t,u)=|u|q-1u,q∈(3,2??1]的條件下,關(guān)于不同初值條件的解的整體存在性,衰減估計以及有限時間爆破.文獻(xiàn)[14]擴(kuò)展了文獻(xiàn)[13]的結(jié)果,研究了如下的p-Kirchhoff方程

得到了其在一般非線性項的條件下解的有限時間爆破.

文獻(xiàn)[15-16]中通過勢井理論研究了對數(shù)源問題后,對數(shù)非線性源便成了當(dāng)下非線性發(fā)展方程的熱點(diǎn).文獻(xiàn)[15]研究了如下具有對數(shù)非線性源的拋物方程的初邊值問題

其中 Ω?Rn(n≥1)是一個具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域.利用勢井理論,他們在J(u0)

文獻(xiàn)[17]中研究了如下帶有對數(shù)非線性源的擬線性擴(kuò)散方程

其中φp(u)=|u|p-2u,得到了在J(u0)d時解的相應(yīng)結(jié)果.

從上述文獻(xiàn)可知,關(guān)于帶一般非線性源的p-Kirchhoff方程的研究已經(jīng)逐漸成熟,但帶對數(shù)非線性源的p-Kirchhoff方程的研究結(jié)果還較少.基于此,本文擬在文獻(xiàn)[14]和文獻(xiàn)[17]的啟發(fā)下:研究一類帶有對數(shù)非線性源的p-Kirchhoff方程的初邊值問題,討論當(dāng)初值滿足不同條件時,其解的整體存在性以及衰減估計.

2 預(yù)備知識及引理

2.1 符號和不等式

本節(jié)中首先給出文中會用到的符號.

2.2 勢井以及相關(guān)引理

3 整體解和衰減估計

首先構(gòu)造問題(1.1)的局部解,再以此證明當(dāng)初值屬于W+時,問題(1.1)的全局弱解的存在性.最后進(jìn)一步得到‖u(t)‖2的衰減估計.為了得到衰減估計,需利用下面的引理.