陸明鑫， 胡真

(河海大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京211100)

1 引言

在正能量的連續(xù)域內(nèi)可以存在孤立解，即局域模式的能量落在連續(xù)體內(nèi)，這種嵌模不與擴(kuò)展波耦合，具有無(wú)限的壽命，就像零寬度的諧振[1]，量子力學(xué)中將這種狀態(tài)稱為連續(xù)域束縛態(tài)(Bound states in the continuum)，簡(jiǎn)稱BIC.最近，人們認(rèn)識(shí)到BIC本質(zhì)上是一種波動(dòng)現(xiàn)象，在光學(xué)上，由于其無(wú)限高質(zhì)量因子(Q因子)和對(duì)系統(tǒng)參數(shù)變化的魯棒性，使其在生物傳感[2-4]和開(kāi)關(guān)[5]以及非線性光學(xué)[6]等方面上有很多應(yīng)用.目前，BIC在光學(xué)領(lǐng)域中的研究已經(jīng)取得了很大進(jìn)展[7-8].

在眾多存在BIC的材料中，光子晶體[9]因其設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單和易于制作而備受關(guān)注.當(dāng)在光子晶體波導(dǎo)中引入兩個(gè)對(duì)稱的點(diǎn)缺陷時(shí)，由于缺陷之間的相互作用，可以用兩能級(jí)模型[10]的近似結(jié)構(gòu)來(lái)描述它們的耦合機(jī)制.通過(guò)調(diào)節(jié)缺陷的結(jié)構(gòu)參數(shù)，使強(qiáng)烈的共振干擾將共振態(tài)與連續(xù)體的耦合完全抑制，這時(shí)便激發(fā)出了BIC.

分析與計(jì)算光子晶體波導(dǎo)中的BIC需要高效的數(shù)值方法.求解光子晶體波導(dǎo)中由缺陷激發(fā)的BIC，等價(jià)于求解缺陷的實(shí)共振頻率，而這是一個(gè)腔膜問(wèn)題，因此可以作為麥克斯韋方程的特征值問(wèn)題來(lái)求解.傳統(tǒng)的數(shù)值方法，如有限差分法[11-12]、有限元法和平面波展開(kāi)法[13]等，求解時(shí)都會(huì)產(chǎn)生大矩陣特征值問(wèn)題，因此求解比較困難.此外，對(duì)于色散介質(zhì)，矩陣項(xiàng)依賴于頻率，特征值問(wèn)題會(huì)變得非線性，將更加難以求解.

2006年Huang等[14]提出了一種特殊的頻域方法——Dirichlet-to-Neumann (DtN)映射方法，可以用來(lái)精確模擬二維光子晶體器件.DtN映射方法通過(guò)將邊界上的波場(chǎng)映射為邊界上對(duì)應(yīng)的法向?qū)?shù)，以避免對(duì)計(jì)算區(qū)域內(nèi)部的計(jì)算，將原來(lái)的特征值問(wèn)題變成一個(gè)小矩陣線性特征值問(wèn)題，其中特征值是Bloch波矢量，ω是一個(gè)給定參數(shù)，這種方法降低了計(jì)算的工作量和難度.目前，DtN映射方法已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于分析各類(lèi)光子晶體結(jié)構(gòu)[15-18].

本文將DtN映射方法應(yīng)用于二維光子晶體波導(dǎo)中由缺陷激發(fā)的BIC的計(jì)算與分析，其主要思想便是利用嚴(yán)格的邊界條件截?cái)嗖▽?dǎo)管，從而得到一個(gè)有限的計(jì)算區(qū)域，再通過(guò)單元晶格的DtN映射進(jìn)一步將計(jì)算域縮小到在單元晶格上的所有邊上，最終在邊界上建立起求解小矩陣的特征值問(wèn)題.基于該方法，便能確定激發(fā)波導(dǎo)中BIC的點(diǎn)缺陷的半徑和介電常數(shù)范圍.

2 DtN映射方法

在二維光子晶體波導(dǎo)中引入兩個(gè)對(duì)稱的點(diǎn)缺陷為諧振腔，可以激發(fā)出BIC，以點(diǎn)缺陷平行于波導(dǎo)排列的結(jié)構(gòu)(圖1(a))為例，進(jìn)行DtN映射方法構(gòu)建.該結(jié)構(gòu)是一個(gè)由空氣中的介質(zhì)棒按正方形晶格排列的光子晶體，其晶格常數(shù)為L(zhǎng)，介質(zhì)棒半徑r，介電常數(shù)為ε，背景空氣折射率為n.其中黑色填充圓表示波導(dǎo)中具有可變介電常數(shù)εd的附加局部缺陷棒，可以引起左右波導(dǎo)中傳播模式的散射，從而激發(fā)出BIC.

(a)完整二維光子晶體波導(dǎo) (b)截?cái)鄥^(qū)域

對(duì)于在z方向上不變，且波在xy方向上傳播的二維問(wèn)題，E-偏振下，控制方程為

(1)

其中，k0=w/c是自由空間波數(shù)；w是角頻率；c是真空中的光速；n(x,y)是折射率函數(shù)；u是在E-偏振下方向z上的電場(chǎng)分量(唯一非零分量).

考慮上述結(jié)構(gòu)，缺陷晶格放置在了光子晶體波導(dǎo)附近.因此，為了計(jì)算缺陷模式，對(duì)附近波導(dǎo)建立精確的入射和出射的邊界條件尤其重要.本文通過(guò)使用嚴(yán)格的邊界條件來(lái)截?cái)郟hC波導(dǎo)，將計(jì)算域截?cái)酁閳D1(b)所示矩形S，假設(shè)計(jì)算域由0

(2)

(3)

其中L+和L-是兩個(gè)作用于y上的算子，它們依賴于給定的頻率，并且當(dāng)對(duì)y進(jìn)行離散時(shí)，便可以用矩陣逼近.

(a)單元晶格 (b)超級(jí)晶格

確定了截?cái)郟hC波導(dǎo)的邊界條件后，將計(jì)算域劃分為正方形晶格并計(jì)算DtN映射[14].對(duì)于如圖2(a)所示，若每邊離散N個(gè)點(diǎn)，DtN映射Λ可近似為一個(gè)4N×4N的矩陣，即

(4)

一般來(lái)說(shuō)，邊界上每條邊上的點(diǎn)在選取上都會(huì)避開(kāi)頂點(diǎn)進(jìn)行均勻選擇.

在建立了單元晶格的DtN映射后，對(duì)于計(jì)算域中內(nèi)部的邊，可以利用兩個(gè)相鄰單元晶格的DtN映射來(lái)匹配?vu；在計(jì)算域邊界的邊上，則使用一個(gè)單元的DtN映射和嚴(yán)格的邊界條件即(2)，(3)來(lái)匹配?vu.最終在單元晶格的邊上，得到了一個(gè)這樣的線性方程組

A(ω)U=0，

(5)

其中，U是計(jì)算域S中所有邊上u的列向量；A是依賴于ω的矩陣.以圖1為例，若計(jì)算域是p行q列的單元晶格組成的，則總邊數(shù)m=2pq+p+q，那么U是一個(gè)mN×1的列向量，A是一個(gè)mN×mN的方陣.

結(jié)構(gòu)的共振頻率ω需要通過(guò)求解方程(5)的非零解來(lái)得到，當(dāng)A是一個(gè)奇異矩陣時(shí)，可以使用非線性方程

λ1(A(ω,r,ε))=0

(6)

來(lái)迭代求解根ω.其中，λ1是A(ω)的特征值的絕對(duì)值中最小的特征值.當(dāng)固定半徑r時(shí)，對(duì)于公式(6)，需要求解出對(duì)應(yīng)于實(shí)頻率ω的一組解(ω,ε).這是因?yàn)锽IC是有著完美的局域性且沒(méi)有能量泄露，而復(fù)頻率ω表示為ω=ω0-iγ，其中虛部則表示能量泄露，故判斷BIC的條件是γ=0.

對(duì)于固定半徑r，以缺陷晶格的介電常數(shù)ε為變量，當(dāng)找到對(duì)應(yīng)于實(shí)頻率模式的共振模，便找到了BIC.因此，當(dāng)以半徑為變量，對(duì)范圍內(nèi)的每個(gè)半徑值，只要能找到對(duì)應(yīng)于實(shí)頻率ω的解，便有了一組能夠激發(fā)BIC的點(diǎn)缺陷參數(shù)對(duì)(r,ε)，如此就確定了能夠激發(fā)波導(dǎo)中BIC的點(diǎn)缺陷的半徑和介電常數(shù)范圍.

3 邊界條件

以圖1(b)為例，討論x=3L右側(cè)的半無(wú)限光子晶體波導(dǎo)的邊界條件，對(duì)于波導(dǎo)的一個(gè)周期xj

(7)

其中，uj和?xuj是xj處的電場(chǎng)值及其法向?qū)?shù)；M是一個(gè)2mN×2mN的矩陣.

基于算子M，可以計(jì)算波導(dǎo)的Bloch模，對(duì)于周期性的結(jié)構(gòu)，波導(dǎo)中的波場(chǎng)是Bloch模的疊加，一個(gè)Bloch模就是方程(1)的一個(gè)特解，即

φ(x,y)=Φ(x,y)eiβx，

(8)

其中Φ在x上關(guān)于L具有周期性，β是常數(shù).因此對(duì)于μ=eiβL來(lái)說(shuō)，有

φj+1=μφj,?xφj+1=μ?xφj，

(9)

因此Bloch?？梢酝ㄟ^(guò)特征值方程

(10)

求解；其中，特征值μ=eiβL，φ和?xφ為xj處的值，I是單位矩陣.通過(guò)利用Bloch模，可以將光子晶體中微腔的波場(chǎng)展開(kāi)為

(11)

當(dāng)頻率ω為復(fù)頻率時(shí)，條件|μ|≤1并不總是有效的，因?yàn)榇藭r(shí)原本在實(shí)頻率下隨x的增加而衰減的模也會(huì)隨著x的增加而增長(zhǎng)，故需要進(jìn)行修正.由于BIC的共振頻率的虛部通常是非常小的，對(duì)于這樣的復(fù)頻率ω，它的Bloch模的特征值與它對(duì)應(yīng)實(shí)部的頻率的Bloch模的特征值非常接近，因此修正的方法是計(jì)算并篩選復(fù)頻率ω實(shí)部所對(duì)應(yīng)的Bloch 模來(lái)作為復(fù)頻率所對(duì)應(yīng)的Bloch模[18].

基于方程(11)的Bloch模展開(kāi)，有

(12)

其中，φk=Φk(xj,y)，μk=eiβkL，因此可以定義算子T使得

Tφk=μkφk,k=1,2,….

由于T是線性的，則有uj+1=Tuj，且由(7)中給出的DtN算子M可以得到

?xuj=L+uj，其中L+=M11+M12T.

(13)

通過(guò)同樣的方法，也可以得到左邊界上的L-算子.綜上，得到了終止PhC波導(dǎo)的嚴(yán)格邊界條件.

4 數(shù)值算例

本節(jié)計(jì)算了幾種結(jié)構(gòu)算例[20]中能夠激發(fā)BIC的點(diǎn)缺陷的結(jié)構(gòu)參數(shù)范圍.

第一個(gè)算例如圖1所示，計(jì)算區(qū)域?yàn)?×15個(gè)正方形單元晶格.利用本文方法，以點(diǎn)缺陷半徑rd為變量，得出當(dāng)rd在[0.056,0.5]范圍內(nèi)變化時(shí)，都可以找到一個(gè)介電常數(shù)εd，使得結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)BIC，如圖3所示.取參考文獻(xiàn)中的半徑rd=0.18L，得到εd=3.035 8，wL/2πc=0.374 3，這與文獻(xiàn)[19]中的結(jié)果一致，該點(diǎn)電場(chǎng)圖如圖3中右側(cè)所示.

圖3 圖1所示結(jié)構(gòu)εd與rd的關(guān)系圖和rd=0.18L時(shí)電場(chǎng)圖

第二個(gè)算例如圖4(a)所示，計(jì)算區(qū)域?yàn)?×15個(gè)正方形單元晶格.利用本文方法，以點(diǎn)缺陷半徑rd為變量，得出當(dāng)rd在[0.044,0.5]和[0.127,0.5]范圍內(nèi)變化時(shí)，都可以找到一個(gè)介電常數(shù)εd，使得結(jié)構(gòu)中分別出現(xiàn)了奇BIC和偶BIC，如圖4(b)和4(c)所示.取參考文獻(xiàn)中的半徑rd=0.18L，分別在εd=1.990 9，wL/2πc=0.374 1激發(fā)出了奇BIC，以及εd=5.615 2，wL/2πc=0.327 3時(shí)激發(fā)出了偶BIC，結(jié)果與參考文獻(xiàn)[19]中的結(jié)果一致，其中這兩個(gè)BIC的電場(chǎng)圖如圖4(b)和4(c)中插圖所示.

(a) 缺陷平行波導(dǎo)結(jié)構(gòu)圖 (b) 奇BIC的εd與rd關(guān)系圖 (c) 偶BIC的εd與rd關(guān)系圖

算例三是一個(gè)缺陷相對(duì)于坐標(biāo)x→-x，y→-y反對(duì)稱排列的結(jié)構(gòu)，如圖5(a)所示.這里將計(jì)算區(qū)域截?cái)酁?×15個(gè)正方形單元晶格.利用本文方法，以點(diǎn)缺陷半徑rd為變量，得出當(dāng)rd在[0.051,0.5]范圍內(nèi)變化時(shí)，都可以找到一個(gè)介電常數(shù)εd，使得結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)BIC，如圖5(a)所示.取參考文獻(xiàn)中的半徑rd=0.18L，得到εd=2.517 9，wL/2πc=0.374 2，這與參考文獻(xiàn)[19]中的結(jié)果一致，其中這點(diǎn)電場(chǎng)圖如圖5(b)中插圖所示.

(a)缺陷反對(duì)稱排列結(jié)構(gòu)圖 (b) εd與rd的關(guān)系圖

5 結(jié)語(yǔ)

將DtN映射方法應(yīng)用于二維光子晶體波導(dǎo)中BIC的計(jì)算與分析,確定了在光子晶體波導(dǎo)中能夠激發(fā)波導(dǎo)中BIC的點(diǎn)缺陷的結(jié)構(gòu)參數(shù).本文的方法使得不需要在整個(gè)平面上進(jìn)行計(jì)算，而只需要在截?cái)鄥^(qū)域內(nèi)計(jì)算，而即便在較小的計(jì)算域中，也只需要在單元晶格的邊界上進(jìn)行離散，而不需要考慮晶格內(nèi)部，從而最終在單元晶格邊界上建立起小規(guī)模的特征值問(wèn)題，降低了計(jì)算量和難度.本文只是對(duì)理想的二維結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算分析，下一步考慮將這種方法擴(kuò)展到三維的結(jié)構(gòu)上去，研究三維波導(dǎo)管中的連續(xù)譜束縛態(tài).