范世杰，李鳳蓮

(北京信息科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，北京 100192)

0 引言

功能梯度材料(functionally graded materials,FGM)通常由金屬與陶瓷混合而成，具有較好的機(jī)械強(qiáng)度、耐熱性和抗氧化性，其屬性從一個(gè)表面到另一表面連續(xù)變化，很好地克服了復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)應(yīng)力集中問題。復(fù)合材料在電子、機(jī)械、通信、航空、航天和交通、醫(yī)療等領(lǐng)域得到了大量應(yīng)用，各領(lǐng)域?qū)π阅軆?yōu)越材料的需求也越來越高。壓電材料因其獨(dú)特的正逆壓電效應(yīng)，在智能材料領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用，將壓電材料與功能梯度材料相結(jié)合，使其具有獨(dú)特的機(jī)電耦合特性，具有重要的研究意義。

近年來，許多學(xué)者針對微結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性進(jìn)行了大量的深入研究。Majid等[1]基于修正偶應(yīng)力理論，利用廣義微分求積法，研究了不同梁剪切變形理論的S型功能梯度納米梁的自由振動(dòng)問題；賀丹等[2]利用高階剪切理論，建立了Reddy變截面微梁的自由振動(dòng)模型，分析了尺度效應(yīng)和橫向剪切變形對變截面微梁自由振動(dòng)的影響；Armagan等[3]針對層合復(fù)合材料和夾層微梁，在任意邊界條件下的自由振動(dòng)和屈曲響應(yīng)進(jìn)行了研究；Amir等[4]利用Hamilton原理、修正偶應(yīng)力理論和Kirchhoff-Love殼理論，對尺度參數(shù)影響下微雙曲殼的固有頻率和振型進(jìn)行了深入的研究；Olga等[5]基于修正的偶應(yīng)力理論和Kirchhoff-Love板理論，利用R函數(shù)理論和Ritz變分法，分析了非經(jīng)典形狀正交各向異性微板的自由振動(dòng)特性；Yuan等[6]利用諧波平衡法，研究了考慮尺寸效應(yīng)的含損傷四邊固支微板在直流電壓下非線性自由振動(dòng)特性；Mohammad等[7]利用瑞利-里茲法，分析了熱環(huán)境下不同邊界條件對功能梯度微梁的自由振動(dòng)的影響；Luan等[8]基于修正偶應(yīng)力理論和高階剪切變形理論，對功能梯度微夾芯板在機(jī)械和熱載荷作用下的靜態(tài)彎曲、自由振動(dòng)和屈曲行為進(jìn)行了研究；張大鵬等[9]根據(jù)Kirchhoff板理論和非局部彈性理論，建立了黏彈性基體上壓電納米板的熱-機(jī)電振動(dòng)特性分析模型，分析了不同參數(shù)對其振動(dòng)特性的影響。

本文根據(jù)復(fù)合剪切變形理論、Hamilton原理和修正偶應(yīng)力理論，對熱環(huán)境下四邊簡支壓電功能梯度微板的自由振動(dòng)特性進(jìn)行研究，并討論了不同參數(shù)對系統(tǒng)固有頻率的影響。

1 振動(dòng)理論模型的建立

壓電功能梯度微板模型如圖1所示，微板的長度為a，寬度為b，芯層厚度為hc，上下面板厚度為hE，微板厚度h=hc+2hE。忽略芯層與上下壓電層之間的膠黏層，上、下面板為壓電陶瓷材料，中間芯層為功能梯度材料，芯層由陶瓷和金屬混合而成，上表面為陶瓷，下表面為金屬，其材料屬性在厚度z方向上連續(xù)變化，Z1、Z2、Z3、Z4為微板z方向坐標(biāo)，芯層材料中陶瓷的體積分?jǐn)?shù)Vc表示為

圖1 壓電功能梯度微板模型

(1)

式中p為梯度指數(shù)。

功能梯度材料性質(zhì)如楊氏模量E、泊松比v、和質(zhì)量密度ρ等都通過厚度連續(xù)變化，材料性能可表示為

Y(z)=YcVc+Ym(1-Vc)

(2)

式中：Yc和Ym分別為陶瓷和金屬的材料屬性。他們與溫度分布的關(guān)系[10]可表示為

Yi=Y0(Y-1T-1+1+Y1T+Y2T2+Y3T3)

(3)

式中：i分別為不同材料下標(biāo)c、m；Y-1、Y0、Y1、Y2、Y3為材料性質(zhì)立方擬合的常數(shù)。

根據(jù)一維傅立葉熱傳導(dǎo)方程，芯層沿厚度方向的溫度分布可表示為

(4)

式中K(z)為服從溫度分度的導(dǎo)熱系數(shù)。

Tt為芯層上表面Z3的溫度，Tb為芯層下表面Z2的溫度。利用多項(xiàng)式冪級數(shù)展開式，求解方程(4)，則沿厚度方向的溫度分布可表示為：

(5)

(6)

式中：N為收斂性級數(shù)項(xiàng)數(shù)；Kc、Km分別為陶瓷和金屬的熱傳導(dǎo)系數(shù)。

在偶應(yīng)力理論的發(fā)展過程中，不同偶應(yīng)力理論中材料長度參數(shù)性質(zhì)與數(shù)目均不相同，這使得偶應(yīng)力理論很難在工程中得到廣泛應(yīng)用，Yang等[11]基于經(jīng)典偶應(yīng)力理論，提出了只需要一個(gè)尺度參數(shù)且包含對稱偶應(yīng)力張量的修正偶應(yīng)力理論，這一理論大大降低了微結(jié)構(gòu)模型的計(jì)算難度。根據(jù)修正偶應(yīng)力理論，對稱應(yīng)力張量偏分量Г、對稱曲率張量分量ζ可分別表示為

(7)

式中：l為材料長度尺度參數(shù)；?ij為位移場相關(guān)旋轉(zhuǎn)向量的分量；G為剪切模量。

考慮橫向剪切變形效應(yīng)，位移場u、v、w和電勢函數(shù)Φ可以假設(shè)為

(8)

基于假設(shè)的位移場和電勢，根據(jù)小變形位移—應(yīng)變關(guān)系得：

(9)

由廣義胡克定律，芯層的本構(gòu)關(guān)系為

(10)

式中λ為熱膨脹系數(shù)。剛度系數(shù)可表示為

(11)

根據(jù)第二類壓電方程[13]，壓電材料的本構(gòu)關(guān)系為

式中：H為矩陣轉(zhuǎn)置；c為彈性剛度矩陣；ε為應(yīng)變向量；e為壓電應(yīng)力常數(shù)矩陣；g為介電常數(shù)矩陣；D為電位移向量。

只考慮z方向電勢分布：

(13)

壓電微板的勢能、動(dòng)能和外力功可表示為：

(14)

式中：δU1、δU2、δU3、δU4分別為上壓電層應(yīng)變能、FGM芯層應(yīng)變能、下壓電層應(yīng)變能以及電勢能，可分別表示為：

(15)

根據(jù)Hamilton變分原理，壓電功能梯度微板的熱環(huán)境下動(dòng)力學(xué)方程可表示為：

(16)

式中：

q,s=x,y,z

(17)

根據(jù)Navier法，四邊簡支微板的位移分量為：

(18)

求解該矩陣，即可得到功能梯度板自由振動(dòng)時(shí)的固有頻率。式中矩陣元素如下所示：

(AT11+AT12)(α2+β2)

k13=-k31=-B11α3-B12αβ2-2B66αβ2+

(BT11+BT12)(α3+αβ2)

DT22)β2

k15=k51=D12αβ+D66αβ-

k16=k61=E31α

(AT11+AT12)(α2+β2)

k23=-k32=(BT11+BT12)(α2β+β3)-

B21α2β-B22β3-2B66α2β

k24=k42=D21αβ+D66αβ-

k26=k62=E32β

k33=-G11(α4+β4)-α2β2(G12+G21+4G66)+

(AT11+AT12)α2+(AT21+AT22)β2-T1(α4+

β4+2α2β2)+(GT11+GT12)(α4+α2β2)+

k34=-k43=L11α3+L21αβ2+2L66αβ2+

k35=-k53=L12α2β+L22β3+2L66α2β+

k36=k63=-(Ez31α2+Ez32β2)

-(RT11+RT12)α2-(RT21+RT22)β2

k46=k64=Ef31α

(RT11+RT12)α2-(RT21+RT22)β2

m11=m22=I0，m13=-m31=-αI1，m14=

m41=m25=m52=J1

m12=m21=m24=m42=m15=m51=

m45=m54=0

m23=-m32=-I1β,m33=-I2(α2+β2)-I0

m34=-m43=K1α,m35=-m53=K1β

m44=m55=J2

式中：

[Aij,Bij,Dij,Gij,Lij,Oij,Rij]=

[T1,T2,T3,T4,T5,T6,T7,T8]=

[ATij,BTij,DTij,GTij,LTij,RTij]=

2 數(shù)值計(jì)算與仿真

為驗(yàn)證理論模型的正確性，利用有限元軟件COMSOL對微板振動(dòng)進(jìn)行仿真模擬。

壓電功能梯度微板的幾何尺寸為：a=352 μm，b=0.7a，板厚h=hc+2hE，壓電材料厚度hE=0.2 μm，F(xiàn)GM芯層厚度hc=17.6 μm。壓電材料PZT-G1195N的參數(shù)為：EE=63 GPa，vE=0.3，ρE=7 600 kg/m3，d=254×10-12m/V，μ=15.3×10-9F/m。FGM芯層材料為陶瓷(Si3N4)與金屬(SUS304)混合而成，其材料參數(shù)如表1所示。無特別說明，梯度指數(shù)p=1，尺度參數(shù)l=0.5h。

表1 Si3N4和SUS304溫度相關(guān)的材料參數(shù)

微結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性受尺度參數(shù)影響很大，尺度參數(shù)影響下理論結(jié)果、無尺度參數(shù)影響熱環(huán)境下(△T=0)壓電功能梯度微板前8階固有頻率，以及在COMSOL中無尺度參數(shù)影響仿真結(jié)果對照如表2所示。從表中可以看出，無尺度影響下固有頻率理論結(jié)果與有限元模擬結(jié)果的誤差最大為2.42%，驗(yàn)證了理論模型的準(zhǔn)確性。有、無尺度參數(shù)影響下，系統(tǒng)固有頻率數(shù)值結(jié)果相差較大，且在高階更加明顯，這也可以說明尺度參數(shù)對微結(jié)構(gòu)固有頻率計(jì)算影響很大。

表2 微板理論解與仿真模擬解固有頻率對比 MHz

3 參數(shù)變化的影響

基于建立的壓電功能梯度微板理論模型，在保證其余參數(shù)不變的情況下，通過參數(shù)變化，分析尺厚比、芯層厚度、壓電片厚度與梯度指數(shù)對微板系統(tǒng)自由振動(dòng)頻率的影響。

尺度參數(shù)是微結(jié)構(gòu)研究中一個(gè)重要參數(shù)，它對微結(jié)構(gòu)材料的性能影響很大。圖2為不同溫度下尺度參數(shù)對微板固有頻率的影響。從圖中可以看出，隨著尺厚比的增大，系統(tǒng)固有頻率穩(wěn)定增大，在l/h=4后，系統(tǒng)固有頻率變化速率減弱，即板厚較小時(shí)，尺度參數(shù)影響較大。但是溫度變化對基頻影響較小。

圖2 不同溫度下尺厚比對系統(tǒng)固有頻率的影響

FGM作為微板的主體材料，其厚度變化對整個(gè)結(jié)構(gòu)的性能有著很大的影響，圖3為不同溫度下芯層厚度對微板固有頻率的影響。從圖中可以看出，隨著芯層厚度的增大，系統(tǒng)固有頻率整體變化趨勢一致，都逐漸增大，且增幅較快。

圖3 不同溫度下芯層厚度對系統(tǒng)固有頻率的影響

壓電材料是智能結(jié)構(gòu)中傳感與驅(qū)動(dòng)最常用的材料，壓電片厚度變化將改變電場對整體結(jié)構(gòu)性能的影響，圖4為不同溫度下壓電片厚度對微板固有頻率的影響?？梢钥闯?，隨著溫度增高，固有頻率降低；隨著壓電片厚度增大，系統(tǒng)固有頻率稍有增大，但整體變化幅度較小，變化范圍在0.25～0.3 MHz，在變化過程中稍有一些波動(dòng)，這是由于壓電層與功能梯度層之間的變形，在計(jì)算時(shí)進(jìn)行了忽略引起的。

圖4 不同溫度下壓電片厚度對系統(tǒng)固有頻率的影響

功能梯度材料的梯度指數(shù)改變，即FGM混合材料的分布方式發(fā)生變化，使得結(jié)構(gòu)整體的剛度發(fā)生改變，進(jìn)而影響到整個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)特性，圖5為不同溫度下功能梯度指數(shù)對微板固有頻率的影響。從圖中可以看出，隨著梯度指數(shù)的增大，不同溫度對固有頻率的影響逐漸降低，固有頻率整體變化趨勢一致，迅速減小后逐漸穩(wěn)定在某一頻率附近。

圖5 不同溫度下功能梯度指數(shù)對系統(tǒng)固有頻率的影響

4 結(jié)束語

本文基于修正偶應(yīng)力理論和復(fù)合剪切變形理論，根據(jù)Hamilton原理建立了熱環(huán)境下壓電功能梯度微板的動(dòng)力學(xué)理論模型，通過有限元仿真模擬，驗(yàn)證了理論模型的正確性。在此基礎(chǔ)上，分析了參數(shù)變化對整個(gè)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響。在不同溫度下，尺厚比增大與芯層厚度增大，系統(tǒng)固有頻率迅速增加且增幅較大；功能梯度指數(shù)增大，固有頻率迅速減小后趨近于某一頻率附近，而壓電片厚度的增加使得系統(tǒng)固有頻率不斷波動(dòng)上升，且固有頻率變化幅度較小。