劉小剛，申順，朱陽陽

(南京航空航天大學(xué)，航空發(fā)動機熱環(huán)境與熱結(jié)構(gòu)工業(yè)和信息化部重點實驗室，南京，210016)

0 序言

金屬材料的微觀結(jié)構(gòu)通常由晶粒、第二相粒子和夾雜物等組成，研究表明，材料的強度、疲勞等力學(xué)性能與晶粒形貌、大小及滑移取向等息息相關(guān)[1].獲取材料力學(xué)性能的傳統(tǒng)方法往往是通過大量試驗，這會耗費大量的時間和經(jīng)濟成本.隨著計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，許多學(xué)者開始嘗試采用數(shù)值模擬的方法建立材料微觀組織模型，進而模擬和預(yù)測材料的力學(xué)性能，這樣可以節(jié)約經(jīng)費和縮短試驗周期.因此，通過模擬的方法建立材料微觀組織模型具有非常重要的意義.

材料的微觀組織建模方法多種多樣，目前比較有代表性的方法有基于凝固過程的微觀組織模擬方法、電子背散射衍射圖(electron backscattered diffraction，EBSD)法和Voronoi 圖法等[2].一些研究學(xué)者基于凝固過程的數(shù)值模擬法建立了多種材料的微觀組織并實現(xiàn)了晶體的形核長大過程模擬，可獲得三維晶粒形貌[3-6].還有一些研究學(xué)者采用EBSD 法獲得了材料的微觀晶體形貌及晶粒取向等信息，并建立了具有代表性的微觀體積單元[7-10].基于凝固過程的微觀組織模擬法雖然能夠模擬晶粒的真實生長過程，物理意義明確，但往往要考慮熱模型及邊界條件，計算量巨大，目前只能用于建立小尺度晶體模型.而EBSD 法雖然能夠準(zhǔn)確得到試樣的微觀組織圖像，但是其獲取的微觀組織只能代表所使用的試樣，并不具有普遍適用性.Voronoi 圖法的種子生成多邊形的過程與真實多晶體材料的結(jié)晶過程具有一定的相似性[10]，并且還具體計算速度快，構(gòu)圖方法多，模型便于導(dǎo)入有限元軟件進行后續(xù)分析等優(yōu)點.因此，采用該方法建立材料的微觀組織日益受到研究者的青睞.Hoshide 等人[11]采用Voronoi 圖法建立了多種材料的微觀組織模型，對缺口件的多軸疲勞進行了裂紋萌生有限元模擬，較好的模擬了裂紋形貌.史君林等人[12]基于Voronoi圖法建立了面心立方金屬微觀多晶體模型，并采用晶體塑性模擬了材料單軸拉伸過程中的應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng).Kramberger 等人[13]和牟園偉等人[14]采用Voronoi 圖法建立了馬氏體鋼的微觀組織模型，成功應(yīng)用于鋼的疲勞裂紋萌生過程模擬，對平板試件疲勞壽命預(yù)測值與試驗結(jié)果吻合較好.王東等人[15]基于Voronoi 圖法構(gòu)建了陶瓷刀具材料的基體微觀結(jié)構(gòu)，有效表征了基體的晶粒尺寸及其分布等微觀結(jié)構(gòu)參數(shù).劉俊卿等人[16]采用Voronoi 圖法模擬了F82H 鋼的微觀組織模型并賦予模型材料參數(shù)和晶粒取向，修正了以拉伸硬化為主的疲勞裂紋起裂模擬方法.鐘飛[17]基于Voronoi 圖法建立了高溫合金微觀組織模型并進行了晶體塑性有限元仿真，實現(xiàn)了高溫合金疲勞裂紋萌生過程模擬.

Voronoi 圖法優(yōu)點眾多，應(yīng)用也較為廣泛，但是傳統(tǒng)的Voronoi 圖法多被用于建立單一晶粒度的等軸晶組織，在對較為復(fù)雜的微觀組織如焊接接頭焊縫區(qū)混合晶區(qū)進行模擬時存在很大的局限性.航空發(fā)動機中常用電子束焊工藝為典型熔化焊，其焊縫區(qū)包括熔合區(qū)(fusion zone，F(xiàn)Z)柱狀晶、熱影響區(qū)(heat affected zone，HAZ)細(xì)等軸晶及母材區(qū)(base metal，BM)粗等軸晶.也正因為電子束焊接頭微觀組織非均勻?qū)е缕淞W(xué)性能非均勻.因此采用改進的Voronoi 圖法建立焊接接頭混合晶區(qū)微觀組織模型，進而開展其疲勞裂紋萌生過程數(shù)值模擬，文中研究旨在發(fā)展一種電子束焊接頭微觀組織建模方法，并為其疲勞性能評估提供新的思路.

1 Voronoi 圖法微觀組織建模

1.1 Voronoi 圖法基本原理

Voronoi 圖法，又被稱為泰森多邊形法[18]，由俄羅斯數(shù)學(xué)家M.G.Voronoi 基于凸多邊形分割空間的算法提出的一種將空間填滿切割的方法，用于表達(dá)空間要素之間距離的鄰近關(guān)系.Voronoi 圖法在圖像處理、資源配置和材料科學(xué)等領(lǐng)域運用廣泛.

Voronoi 圖的基本原理是在一個給定的平面上隨機定義N個離散點，設(shè)為P=(P1，P2，···，PN)，其中P為N個離散點的集合.這N個離散點將平面切割成了N個區(qū)域，每一個離散點Pi都對應(yīng)一個區(qū)域，用S(Pi)代 表任意離散點Pi所分割的空間.其中每一個分割區(qū)域S(Pi)中都包含了除給定離散點外的其它點P，用d(P，Pi) 表示點P到 點Pi之間的距離.根據(jù)Voronoi 圖法的定義，每一個區(qū)域內(nèi)的任意點P到分割這個區(qū)域的離散點Pi的距離要小于這個點到其它離散點Pj的距離，用式(1)進行表示.

根據(jù)上述的公式對整個平面區(qū)域進行切割計算，最終將平面分為N個凸多邊形.切割后的平面可以表示為.

1.2 Voronoi 圖構(gòu)圖方法

構(gòu)建Voronoi 圖的步驟如圖1 所示.首先，在給定的平面區(qū)域上隨機定義N個離散點；其次，將相鄰兩個點相互連接構(gòu)建三角網(wǎng)；再次，找到相鄰三角形的垂直平分線并連接，即得到Voronoi 圖.

圖1 Voronoi 圖構(gòu)建Fig.1 Voronoi diagram construction.(a) define discrete points；(b) connect triangle mesh；(c) partition the Voronoi diagram

1.3 等軸晶組織微觀組織建模

為了驗證Voronoi 圖法能夠建立材料的微觀結(jié)構(gòu)，現(xiàn)利用Voronoi 圖法建立GH4169 高溫合金的微觀組織模型.平均晶粒尺寸可以通過金相試驗在Image Pro Plus 晶粒測量軟件中獲取.圖2 為GH4169 高溫合金的微觀組織形貌，通過photoshop軟件對金相圖隨機選取一定數(shù)量的晶粒，并將選取出的晶粒圖片導(dǎo)入到Image Pro Plus 中對每個晶粒進行編號并測量尺寸，重復(fù)以上過程多次隨機選取晶粒進行尺寸測量(100～ 200 個)，統(tǒng)計不同尺寸范圍內(nèi)的晶粒數(shù)量，最終求得的平均值即為平均晶粒尺寸.根據(jù)上述方法測得GH4169 母材的平均晶粒尺寸為60 μm.

圖2 GH4169 微觀組織Fig.2 GH4169 microstructure metallography

根據(jù)GH4169 微觀組織形貌，建立大小為0.6 mm×0.5 mm 的區(qū)域模型.GH4169 的平均晶粒尺寸為60 μm，模型內(nèi)包含的等軸晶約為100 個等軸晶.如圖3 所示，根據(jù)試驗測得的實際晶粒尺寸，利用Voronoi 圖法建立的GH4169 等軸晶組織模型.對比模型與金相試驗照片可以看出，利用Voronoi 圖法建立的模型與實際組織具有較高的相似性.

圖3 Voronoi 圖法生成的等軸晶模型Fig.3 Equiaxed crystal model generated by Voronoi diagram method

2 改進的Voronoi 圖法微觀組織建模

2.1 改進的Voronoi 圖法

傳統(tǒng)的Voronoi 圖法能快速建立材料的微觀模型，但是多用于建立等軸晶模型.典型的電子束焊接頭焊縫區(qū)微觀組織較為復(fù)雜，一般包括柱狀晶、細(xì)等軸晶及粗等軸晶等[19].傳統(tǒng)的Voronoi 圖法難以實現(xiàn)焊縫區(qū)微觀組織建模，文中對此進行改進，以建立焊接接頭焊縫區(qū)的微觀組織模型.具體改進方法如下.

(1)通過在平面上劃分種子生長區(qū)域的方式來模擬不同形貌的晶粒.

(2)根據(jù)試驗觀測到的實際焊接接頭微觀組織，構(gòu)建與真實結(jié)構(gòu)對應(yīng)的分區(qū)，通過控制不同分區(qū)的種子的密度和位置，建立焊接接頭的不同組織區(qū)域的微觀模型，再通過整合分區(qū)的方法得到完整的焊接接頭微觀組織模型.

圖4 為GH4169 電子束焊接頭典型宏觀形貌.圖5 為焊縫區(qū)A，B，C，D 4 個不同位置微觀組織.如圖5 所示，其中C 點熔合區(qū)為柱狀晶，A，B 點熱影響區(qū)為細(xì)等軸晶，D 點母材區(qū)為粗等軸晶.GH4169電子束焊接頭的微觀組織有明顯的形貌差異，同時存在柱狀晶和等軸晶，兩者在形態(tài)上相差較大.為了建立柱狀晶模型，首先將一個矩形平面區(qū)域劃分成多個小矩形，根據(jù)柱狀晶形貌特征，在寬度方向上劃分兩個矩形，以保證生成的柱狀晶的形態(tài)符合其細(xì)長粗大的特點，然后向劃分后的小矩形內(nèi)布置種子點.在布置種子點時需要控制種子點在每個小矩形內(nèi)的位置和數(shù)量，一般來說，柱狀晶的形狀并不規(guī)整，在撒種子點時盡量使種子點的位置偏離其所在小矩形的重心，否則生成的柱狀晶會過于均勻.同時，若是柱狀晶內(nèi)還存在一些枝晶結(jié)構(gòu)，此時可以在一個小矩形內(nèi)布置兩個種子點，其中一個種子點靠近重心，另一個種子點遠(yuǎn)離重心，即會生成帶枝晶結(jié)構(gòu)的柱狀晶.圖6 為用改進后的Voronoi圖法得到的柱狀晶模型.

圖4 GH4169 電子束焊接頭典型宏觀形貌Fig.4 Typical macro morphology of GH4169 electron beam welding joint

圖5 焊接接頭不同區(qū)域微觀組織Fig.5 Microstructure metallography of different positions of welded joints.(a) zone of point A；(b) zone of point B；(c) zone of point C；(d) zone of point D

圖6 柱狀晶生成模型Fig.6 Columnar crystal formation model.(a) divide rectangles；(b) create columnar grains

2.2 焊接接頭微觀組織建模

為了驗證改進的Voronoi 圖法的適用性，以GH4169 電子束焊接頭為例，建立焊接接頭微觀組織模型.按照改進的Voronoi 圖法，GH4169 電子束焊接頭的具體建模步驟如下.

(1)熔合區(qū)、熱影響區(qū)和母材區(qū)的創(chuàng)建.根據(jù)金相圖測量3 種晶區(qū)的具體尺寸范圍，使用ABAQUS有限元軟件創(chuàng)建與晶區(qū)形狀對應(yīng)的3 個區(qū)域.

(2)柱狀晶及等軸晶的生成.采用改進的Voronoi 圖法在一定的矩形區(qū)域內(nèi)根據(jù)所測得的晶粒尺寸劃分足夠多的小矩形，然后以隨機數(shù)形式在小矩形內(nèi)撒種子點，控制種子點的位置建立對應(yīng)的等軸晶模型.通過第一步中創(chuàng)建出母材區(qū)和熱影響區(qū).柱狀晶區(qū)的生成如前文所述在長度方向劃分兩個矩形，并使矩形的大小與實際柱狀晶尺寸接近，保證能夠建立細(xì)長的柱狀晶模型.

(3)混合晶區(qū)的整合.上述步驟完成后，得到3 個分散的晶區(qū)，此時需要通過ABAQUS 有限元軟件中布爾運算的功能進行晶區(qū)的整合，對3 個分區(qū)進行部件合并，最終得到完整的混合晶區(qū)模型.

(4)有限元模型的建立.建立混合晶區(qū)幾何模型后，可以分別對3 個晶區(qū)賦予不同的材料參數(shù)，劃分有限元網(wǎng)格及施加邊界條件，在ABAQUS 有限元軟件中進行數(shù)值模擬計算.

圖7 為焊接接頭建模流程圖.首先，根據(jù)改進的Voronoi 圖法分別生成等軸晶和柱狀晶；其次，通過布爾運算得到完整的混合晶區(qū)模型；最后，對3 個晶區(qū)賦予不同的材料參數(shù)，在ABAQUS 中進行有限元計算.

圖7 焊接接頭建模流程圖Fig.7 Flow chart of welding joint modeling

圖8 為按照焊接接頭建模流程圖得到的熔合區(qū)、熱影響區(qū)和母材區(qū)的模型.通過布爾運算的方式合并分區(qū)得到了如圖9 所示的焊接接頭不同微區(qū)的整體的微觀組織模型.從圖9 可以看出，熔合區(qū)生成了粗大的柱狀晶，熱影響區(qū)生成了細(xì)等軸晶，而母材區(qū)則是粗等軸晶.

圖8 分區(qū)建模示意圖Fig.8 Schematic diagram of zoning modeling.(a) fusion zone；(b) heat affected zone；(c) base material

圖9 焊接接頭完整模型Fig.9 Complete model of welded joint

通過與圖4 及圖5 的GH4169 電子束焊接頭金相圖進行對比，用改進的Voronoi 圖法建立的焊接接頭微觀組織模型和真實組織結(jié)構(gòu)有較高的相似度，證明了改進的Voronoi 圖法建立焊接接頭微觀組織模型的合理性.

3 焊接接頭裂紋萌生過程數(shù)值模擬

在上述所建立的焊接接頭模型的基礎(chǔ)上，將對焊縫區(qū)施加適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，進行有限元模擬計算，結(jié)合Tanaka-Mura 模型[20-21]，對焊接接頭模型進行裂紋萌生數(shù)值模擬并預(yù)測壽命.

根據(jù)Tanaka-Mura 裂紋萌生理論，位錯會在晶粒內(nèi)不斷塞積，引起畸變能的增加，晶粒內(nèi)每條滑移帶裂紋萌生對應(yīng)循環(huán)次數(shù)可以用式(2)表示.

式中：N為滑移帶開裂形成裂紋時所對應(yīng)的循環(huán)次數(shù)；G為 剪切模量；Ws為 單位面積的起裂能；ν為泊松比；d為每個晶粒內(nèi)滑移帶的長度；Δτ為循環(huán)加卸載平均剪切應(yīng)力變程；k為位錯滑移阻力。其中，除滑移帶長度以及剪切應(yīng)力變程外，其余參量均為與材料相關(guān)的常數(shù)，一旦得到與微觀組織結(jié)構(gòu)有關(guān)的d和 Δτ兩個參量，即可得到滑移帶開裂時的循環(huán)次數(shù)N.

考慮到計算量，模擬所用的焊接接頭模型為實際電子束焊接頭的1/2 模型.圖10 為1/2 模型的邊界條件，在模型左邊界施加對稱約束，右邊界施加載荷，最大名義應(yīng)力為1 024 MPa.

圖10 模型邊界條件Fig.10 Model boundary conditions

GH4169 電子束焊接頭沿滑移帶單位面積起裂能Ws=6.5 kJ/m2，剪切模量G=79 GPa，泊松比ν=0.3，位錯滑移阻力k=428 MPa.設(shè)定當(dāng)連續(xù)裂紋長度超過0.5 mm，即視為裂紋萌生階段結(jié)束，此時的壽命為裂紋萌生壽命.

圖11 為模擬得到的裂紋萌生過程.當(dāng)N=875周次時，第一條裂紋萌生于熱影響區(qū)，該裂紋與疲勞加載方向近似為 45°，因為沿這個方向剪切應(yīng)力最大，這與文獻(xiàn)[22]中的試驗結(jié)果也較為吻合.隨著循環(huán)數(shù)的增加，在其它晶粒內(nèi)隨機萌生分散的微裂紋，如圖11b 所示.受到應(yīng)力集中的影響，在已開裂的晶粒附近又萌生了新裂紋，此時，出現(xiàn)了微裂紋群集現(xiàn)象，如圖11c 所示.微裂紋群集后，導(dǎo)致應(yīng)力集中效應(yīng)進一步增強，群集的微裂紋開始聯(lián)合為較長的主裂紋，如圖11d 所示.隨后，主裂紋逐漸開始擴展，其它裂紋則停止聯(lián)合.當(dāng)N=51 714 周時，主裂紋長度超過0.5 mm，達(dá)到終止條件，如圖11f 所示.

圖11 焊接接頭裂紋萌生過程Fig.11 Crack initiation process of welded joint.(a) N=875 cycle；(b) N=12 925 cycle；(c) N=32 894 cycle；(d) N=41 998 cycle；(e) N=48 818 cycle；(f) N=51 714 cycle

在相同條件下對GH4169 電子束焊接頭進行疲勞試驗[23]，得到的平均裂紋萌生壽命約為48 047周，文中模擬結(jié)果為51 714 周，與試驗結(jié)果吻合較好.

4 結(jié)論

(1)采用Voronoi 圖法對GH4169 母材等軸晶組織進行模擬，所建立的等軸晶幾何模型和實際金相試驗觀測到的微觀組織有較高的相似性.

(2)對傳統(tǒng)的Voronoi 圖法進行改進，依據(jù)GH4169 電子束焊接頭金相試驗結(jié)果將焊縫區(qū)劃分為不同微觀區(qū)域，控制不同微區(qū)種子點的密度和位置生成混合晶區(qū)的微觀組織模型，通過布爾運算合并微區(qū)，建立了焊縫區(qū)混合晶區(qū)微觀組織模型.將所建立的模型與金相試驗結(jié)果進行對比，混合晶區(qū)模型與真實組織有較高的相似性.

(3)將上述建立的焊縫區(qū)微觀組織模型導(dǎo)入有限元軟件中，結(jié)合Tanaka-Mura 位錯滑移模型進行給定邊界條件下的有限元計算，能夠較好的模擬電子束焊接頭疲勞裂紋萌生過程并預(yù)測其壽命.