李 杰， 孫 煒， 范凱旋， 商慶清

(南京林業(yè)大學(xué)機械電子工程學(xué)院，江蘇 南京 210037)

1 研究背景

短電弧加工是指在具有一定氣、液比例且?guī)毫Φ幕旌衔锕ぷ鹘橘|(zhì)的作用下，利用兩個電極之間產(chǎn)生的受激發(fā)短電弧放電群組或混合有火花放電的放電群組，來蝕除金屬或非金屬導(dǎo)電材料的一種電加工方法，是一種新型的強焰流、電子流、離子流、弧流混合放電加工方法，屬于特種加工行業(yè)電加工技術(shù)范疇。

短電弧加工技術(shù)主要用于加工各類水泥磨輥、立磨輥、渣漿泵葉輪、大型冷軋工作輥、高速線材輥及其他大型工件上的高強度、高硬度的難加工金屬材料，如電焊、等離子堆焊后的表面金屬材料，可以高效率地對此類大型磨輥、軋輥外圓表面進行修復(fù)、再制造加工[1]。

作為一種大功率高效電加工方法，短電弧加工過程中峰值電流可達上千安培，消耗大量熱量與能量，其間伴隨的能量損耗不容忽視，這些能耗也會引起電源整機溫度上升，降低電源內(nèi)部元器件的使用壽命，影響電源整機穩(wěn)定性，會對整個短電弧加工過程產(chǎn)生很大影響。因此，研究最少短電弧放電次數(shù)模型是發(fā)展短電弧技術(shù)的關(guān)鍵[2]。

1.1 問題引出

當(dāng)使用半徑為60.5 mm的球形短電弧對半徑為1 000 mm的圓形材料實現(xiàn)完全覆蓋，且短電弧加工所形成的球形電弧的球心落在待蝕除金屬或非金屬導(dǎo)電材料的平面上時，此問題可以轉(zhuǎn)化為求解平面問題，即使用半徑為r的小圓對半徑為R的大圓區(qū)域?qū)崿F(xiàn)完全覆蓋時，采用何種方式能夠使半徑為r的小圓個數(shù)最少，此處r=60.5 mm，R=1 000 mm。

多個圓形之間的密排方式有相切與相交兩種，其中，以相切的方式進行密排必然會導(dǎo)致出現(xiàn)間隙；因此，本文研究的問題轉(zhuǎn)化為小圓之間以何種方式相交時，能夠令小圓使用個數(shù)最小，同時實現(xiàn)對大圓的完全覆蓋。多個圓形相交時，產(chǎn)生的交點之間的連線能夠形成圓的內(nèi)接封閉多邊形；而當(dāng)多個大小相同的圓形相交時，其交點之間的連線所形成的多邊形為正多邊形時，能夠使圓形之間因相交產(chǎn)生的重復(fù)覆蓋面積達到最小。

1.2 六邊形覆蓋模型

在已知二維平面的覆蓋問題上，利用正n邊形覆蓋特定區(qū)域且要求使用正n邊形的個數(shù)最少，需要滿足x個正n邊形的頂點都位于同一個點上，使得恰好能拼接成360°的一個圓周。由于正n邊的內(nèi)角度數(shù)為：

(1)

所以在一個頂點處的x個正n邊形應(yīng)滿足方程：

(2)

解得：

(3)

其中x必須為整數(shù)，則其解只有以下幾種情況：

n=3，x=6
n=4，x=4
n=6，x=3

(4)

由以上解可以得出，當(dāng)小圓交點連線形成的封閉多邊形為正三角形、正方形、正六邊形時，頂點都位于同一個點上，使得恰好能拼接成360°的一個圓周，3種情況示意圖如圖1所示。

圖1 3種情況示意圖

使用相同大小的圓相交，使每個小圓內(nèi)的交點分別連接成小圓的內(nèi)接正三角形、正方形和正六邊形，此時相鄰兩個小圓的重疊面積占整個圓面積的占比為：

(5)

當(dāng)n=3、n=4或n=6時，λn結(jié)果如下：

(6)

相鄰兩個圓的重疊面積占整個圓面積的百分比越小，所需要的小圓個數(shù)越少，式(6)表明正六邊形能夠通過使用最少結(jié)點覆蓋整個大圓范圍的面積。因此，當(dāng)短電弧小圓半徑為r時，以它的內(nèi)接正六邊形對大圓區(qū)域進行覆蓋，可實現(xiàn)重疊覆蓋率最小的完全覆蓋，即正六邊節(jié)點覆蓋模型。每一個短電弧的覆蓋率ηs為短電弧小圓內(nèi)接正六邊形面積As與短電弧小圓Al之比，即：

(7)

使用正六邊形密排方式代替小圓對大圓區(qū)域進行完全覆蓋，即要求大圓邊界要在最外側(cè)正六邊形最遠端頂點內(nèi)。正六邊形的密排方式有以下3種方式：

(1)正六邊形中心位于大圓圓心處，其他正六邊形依次向外擴展；

(2)3個正六邊形頂點位于大圓圓心處，其他正六邊形依次向外擴展；

(3)正六邊形頂點位于大圓內(nèi)任意位置且不與大圓圓心重合，其他正六邊形依次向外擴展。

由于圓和正六邊形都是中心對稱圖形，當(dāng)大圓圓心在任意位置時，必有一象限需要額外六邊形覆蓋，因此方式3用來完全覆蓋大圓的正六邊形個數(shù)無法達到最小值，因此本節(jié)著重討論方式1與方式2的六邊形覆蓋情況。方式1和方式2的簡要示意圖如圖2所示。

圖2 兩種方式示意圖

1.3 模型求解

使用AutoCAD軟件繪圖驗證示意如圖3所示，對半徑為1 000 mm的大圓用外接圓為60.5 mm的正六邊形進行填充，此時正六邊形中心與大圓圓心重合，實現(xiàn)對大圓的完全覆蓋。對圖4中的六邊形的個數(shù)進行計數(shù)，得367個，可以證明經(jīng)過MATLAB計算所獲得的程序能夠得到與實際值相同的結(jié)果，程序可靠。

圖3 正六邊形中心與大圓圓心重合

當(dāng)正六邊形的頂點位于大圓圓心處時，經(jīng)MATLAB計算得出最少需要378次半徑為60.5 mm的短電弧加工才能夠?qū)Π霃綖? 000 mm的圓形材料實現(xiàn)完全覆蓋。

使用AutoCAD軟件繪圖驗證如圖4所示，對半徑為1 000 mm的大圓用外接圓為60.5 mm的正六邊形進行填充，此時3個正六邊形頂點與大圓圓心重合，實現(xiàn)對大圓的完全覆蓋。對圖4中的六邊形的個數(shù)按行進行計數(shù)，得到共需378個短電弧才能夠?qū)崿F(xiàn)完全覆蓋。

圖4 三個正六邊形頂點與大圓圓心重合

1.4 模型對比

兩種模型結(jié)果見表1。

表1 兩種模型結(jié)果

由表1可以看出，相比模型二，模型一不僅正六邊形使用個數(shù)更少，且對正六邊形的利用率更高。因此，當(dāng)使用半徑為60.5 mm的短電弧加工方式加工半徑為1 000 mm的圓形材料時，模型一能夠使加工次數(shù)達到最少，最少的加工次數(shù)為367次。

2 問題拓展

同理，當(dāng)短電弧半徑改為65.5 mm、70.5 mm和75.5 mm，圓形材料半徑不變時，依然可以使用正六邊形模型。

2.1 短電弧半徑為65.5 mm

短電弧半徑為65.5 mm時，首先使用MATLAB進行求解，圓心位置不同時，得到最小加工次數(shù)分別為313個和321個；使用AutoCAD繪圖軟件繪圖驗證，大圓圓心位于正六邊形中心和大圓圓心位于正六邊形頂點時，求解結(jié)果對比見表2。

表2 短電弧半徑為65.5 mm時的結(jié)果

由上表可以得出，短電弧半徑為65.5 mm的時候，至少需要313次短電弧加工才可以對半徑為1 000 mm的圓形材料實現(xiàn)表面完全覆蓋加工，此時大圓圓心位置在正六邊形中心位置，即采用模型一方式比模型二方式更好。

2.2 短電弧半徑為70.5 mm

短電弧半徑為70.5 mm時，首先使用MATLAB進行求解，得到最小次數(shù)分別為283個和282個，使用AutoCAD繪圖軟件進行繪圖驗證，大圓圓心位于正六邊形中心和大圓圓心位于正六邊形頂點時，求解結(jié)果對比見表3。

表3 短電弧半徑為70.5 mm時的結(jié)果

由上表可以得出，短電弧半徑為70.5 mm的時候，至少需要282次短電弧加工才可以對半徑為1 000 mm的圓形材料實現(xiàn)表面完全覆蓋加工，此時大圓圓心位置在正六邊形頂點位置，即采用模型二方式比模型一方式更好。

2.3 短電弧半徑為75.5 mm

短電弧半徑為75.5 mm時，首先使用MATLAB進行求解，得到最小次數(shù)分別為253個和246個，使用AutoCAD繪圖軟件進行繪圖驗證，大圓圓心位于正六邊形中心和大圓圓心位于正六邊形頂點時，求解結(jié)果對比見表4。

表4 短電弧半徑為75.5 mm時的結(jié)果

由上表可以得出，短電弧半徑為75.5 mm的時候，至少需要246次短電弧加工才可以對半徑為1 000 mm的圓形材料實現(xiàn)表面完全覆蓋加工，此時大圓圓心位置在正六邊形頂點位置。

總結(jié)，當(dāng)短電弧半徑分別為60.5 mm、65.5 mm、70.5 mm和75.5 mm時，短電弧最少覆蓋次數(shù)見表5。

表5 短電弧最少覆蓋次數(shù)

如何更好的獲得短電弧最少覆蓋次數(shù)，然后可以根據(jù)此方法優(yōu)化改進短電弧加工方式，減少加工成本，一直是短電弧加工制造探索的重點。近年來，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)因其優(yōu)秀的數(shù)據(jù)擬合與預(yù)測性能，已在許多領(lǐng)域得到了較好的應(yīng)用，如果能將這種技術(shù)應(yīng)用于短電弧最少覆蓋次數(shù)的研究，將會大大減少短電弧加工成本的支出。

3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型

3.1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論

BP(BackPropagation)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種在生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的啟發(fā)下建立的數(shù)據(jù)處理模型，并依據(jù)逆向算法訓(xùn)練的多層前饋型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。BP網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖5所示，其結(jié)構(gòu)通常由輸入層、隱含層和輸出層組成。信息正向傳播，而誤差反向傳播。在正向傳播過程中，向輸入層中輸入n組數(shù)據(jù)樣本作為輸入信號，經(jīng)隱含層計算后傳遞至輸出層，輸入層與隱含層及隱含層與輸出層之間均采用權(quán)重進行連接。當(dāng)在輸出層未能得到預(yù)期的訓(xùn)練結(jié)果時，計算輸出層的誤差變化值，并將誤差反向傳播。之后，根據(jù)誤差修改各層之間的權(quán)重，直至輸出信號達到期望目標(biāo)，停止訓(xùn)練并輸出結(jié)果。其優(yōu)點可以概括為自學(xué)習(xí)和自適應(yīng)性強、容錯率高、具有較高的計算精度和儲存速度[3]，所以本文將使用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為預(yù)測模型。

圖5 BP網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

3.2 生成訓(xùn)練數(shù)據(jù)

當(dāng)圓形材料R與短電弧小圓半徑r變化時，最少短電弧覆蓋次數(shù)就是一個二元方程，其最少次數(shù)與圓形材料R與短電弧小圓半徑r都有關(guān)系，即：

n=f(r，R)

(8)

且圓形材料R與短電弧小圓半徑r是基本參數(shù)，兩者沒有相關(guān)性。

利用MATLAB生成當(dāng)圓形材料半徑R=1 000 mm時，短電弧的半徑r從40.5～239.5 mm，計算出最少短電弧覆蓋次數(shù)，共200個數(shù)據(jù)，然后當(dāng)圓形材料半徑R=1 001 mm時，短電弧的半徑r從40.5～239.5 mm生成200個數(shù)據(jù)，計算出最少短電弧覆蓋次數(shù)，以此類推，直到圓形材料半徑R=1 199 mm時，總共生成40 000(200*200)組輸入為大圓半徑R與小圓半徑r，輸出為短電弧最少覆蓋次數(shù)的數(shù)據(jù)。部分?jǐn)?shù)據(jù)見表6。

表6 部分訓(xùn)練數(shù)據(jù)

3.3 模型的建立與預(yù)測

模型建立前，需要確定輸入層、輸出層、隱含層節(jié)點數(shù)等參數(shù)[6]。

對于輸入層，需要各個變量之間沒有相關(guān)性或較低相關(guān)性，圓形材料R與短電弧小圓半徑r是基本參數(shù)，兩者沒有相關(guān)性，同時直接影響最少覆蓋次數(shù)[5]。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一個隱含層就可以以任意精度逼近任意的非線性函數(shù)，其隱含層節(jié)點數(shù)目可以根據(jù)式(9)確定，經(jīng)多次實驗，最終確定隱含層節(jié)點數(shù)為5。

(9)

式中：m為隱含層節(jié)點數(shù)目；n為輸入層神經(jīng)元數(shù)目；l為輸出層神經(jīng)元數(shù)目；α為1～10之間的常數(shù)。

將數(shù)據(jù)導(dǎo)入Neural Fitting Tool工具箱，輸入為大圓半徑R與小圓半徑r，輸出為短電弧最少覆蓋次數(shù)，并進行隨機排列，將排列后的數(shù)據(jù)集按70∶15∶15的比例分給訓(xùn)練集、驗證集與測試集。

隨后將這些數(shù)據(jù)集代入一個具有1層5節(jié)點數(shù)的網(wǎng)絡(luò)，進行訓(xùn)練，其網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)如圖6所示，模型中各結(jié)構(gòu)參數(shù)見表7，訓(xùn)練過程如圖7所示，各組訓(xùn)練結(jié)果如圖8所示。

圖6 網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)

表7 模型結(jié)構(gòu)參數(shù)取值

圖7 訓(xùn)練過程

圖8 各組訓(xùn)練結(jié)果

最后可以得到訓(xùn)練組、驗證組與測試組的相關(guān)系數(shù)分別為0.999 82、0.999 83、0.999 82，從而可以得出BP網(wǎng)絡(luò)對于短電弧最少覆蓋次數(shù)具有精確預(yù)測能力。

4 結(jié)論

驗證并選用正六邊形模型對短電弧最少覆蓋次數(shù)進行求解，利用MATLAB計算出不同短電弧半徑下最少覆蓋次數(shù)，并生成40 000組訓(xùn)練數(shù)據(jù)，利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，對數(shù)據(jù)集進行訓(xùn)練與預(yù)測，結(jié)果預(yù)測較好，因此可以使用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對短電弧最少覆蓋次數(shù)進行預(yù)測。