羅 民，洪 流

(武漢理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖北 武漢 430070)

隨著科技水平的高速發(fā)展，許多機(jī)械加工的精度要求日漸提高，薄壁結(jié)構(gòu)件因其具有質(zhì)量輕、強(qiáng)度大等優(yōu)點(diǎn)，在許多高端技術(shù)產(chǎn)業(yè)中有著很廣泛的使用。在薄壁件的加工制造過(guò)程中，當(dāng)材料切削去除比率過(guò)高時(shí)，容易產(chǎn)生加工振動(dòng)與撓度，嚴(yán)重影響機(jī)械系統(tǒng)以及加工的精度，同時(shí)振動(dòng)產(chǎn)生的噪音也會(huì)有害于操作人員的健康，因此控制加工中產(chǎn)生的振動(dòng)影響顯得尤為重要。

目前較為先進(jìn)的零件撓度控制方法有夾具的布局設(shè)計(jì)、刀具路徑優(yōu)化以及切削參數(shù)的選擇，其思想為提高加工件的剛度或降低加工件工作時(shí)施加的切削力[1-2]。在動(dòng)態(tài)加工中的振動(dòng)一般可以通過(guò)加工工藝優(yōu)化和結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)來(lái)修正控制，Rashid等[3]根據(jù)壓電致動(dòng)器和自適應(yīng)控制算法開(kāi)發(fā)了一種主動(dòng)控制系統(tǒng);Yang等[4]研究了多模態(tài)薄壁零件的銑削振動(dòng)衰減，設(shè)計(jì)了一種同渦流阻尼器相結(jié)合的雙自由度調(diào)諧質(zhì)量阻尼器；Kolluru等[5]在待加工薄壁件邊緣添加了6個(gè)阻尼器，以抑制銑削過(guò)程中產(chǎn)生的振動(dòng)，使其振動(dòng)信號(hào)的均方根值得到了大幅降低。

調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的引入對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)起到了有效的抑制和控制作用，且比傳統(tǒng)的優(yōu)化主體結(jié)構(gòu)和加強(qiáng)主構(gòu)件剛度等有著更高的經(jīng)濟(jì)適用性。被動(dòng)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的參數(shù)由需減振的主結(jié)構(gòu)參數(shù)決定，在其固有激勵(lì)頻率下能達(dá)到最佳的減振效果，當(dāng)激勵(lì)不在共振頻率范圍，其減震效果有所減弱甚至惡化主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。相比于主動(dòng)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器對(duì)硬件和軟件的復(fù)雜要求，被動(dòng)控制阻尼器的設(shè)計(jì)更加簡(jiǎn)單，更易于在加工中實(shí)現(xiàn)較好的減振效果。

筆者選用一種可變剛度機(jī)構(gòu)E-Spring[6]，設(shè)計(jì)了一種新型變剛度被動(dòng)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器,其可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)其兩個(gè)E-Spring的角度來(lái)改變其剛度，從而抑制主體結(jié)構(gòu)振動(dòng)，并且通過(guò)幾次振動(dòng)試驗(yàn)驗(yàn)證了該設(shè)計(jì)。變剛度調(diào)諧質(zhì)量阻尼器整體結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單可靠，加工簡(jiǎn)單，實(shí)驗(yàn)中，變剛度調(diào)諧質(zhì)量阻尼器對(duì)實(shí)驗(yàn)臺(tái)起到明顯減振效果，達(dá)到了預(yù)期的效果。

1 PTMD的動(dòng)力學(xué)分析以及設(shè)計(jì)準(zhǔn)則

1.1 動(dòng)力學(xué)方程

TMD(tuned mass damper)減振系統(tǒng)是一種經(jīng)典的二階質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)，其原理如圖1所示，其動(dòng)力學(xué)方程可以表示為：

圖1 TMD減振原理

kp[xp(t)-xb(t)]-ksxs/p(t)=0

(1)

(2)

式中：mp、cp、kp和ms、cs、ks分別為待減振主結(jié)構(gòu)和TMD的質(zhì)量、阻尼以及剛度；xp(t)為主結(jié)構(gòu)振動(dòng)的位移；xs/p(t)為主結(jié)構(gòu)和TMD的相對(duì)位移；xb(t)為基底部的諧波激勵(lì)，xb(t)=Xbsin(ωt)，ω為諧波激勵(lì)頻率，Xb為幅值。

令xp(t)=Xpei(ωt-φ),xs/p(t)=Xs/p(t)ei(ωt-φ)，并將式(1)和工(2)寫(xiě)成矩陣形式[7]：

(3)

對(duì)其求解后可以得到系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)方程：

(4)

式(4)為不計(jì)主結(jié)構(gòu)阻尼的近似解析解，當(dāng)引入主結(jié)構(gòu)的阻尼后，系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)只能得到數(shù)值解而無(wú)法得到準(zhǔn)確的解析解。

1.2 PTMD的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則

1934年，學(xué)者Den[8]在Frahm提出的由質(zhì)量塊和彈簧組成的TMD模型[9]上設(shè)計(jì)添加了一個(gè)粘性阻尼器，以拓寬其工作頻帶，被認(rèn)為是最早的較為完整的TMD模型。在1998年，Rana等通過(guò)數(shù)值分析，計(jì)算出了TMD的最優(yōu)參數(shù)設(shè)計(jì)公式，PTMD(pounding tuned mass damper)即是通過(guò)他們提出的最優(yōu)參數(shù)公式設(shè)計(jì)出來(lái)的TMD[10]。

根據(jù)最優(yōu)參數(shù)設(shè)計(jì)公式，在主結(jié)構(gòu)受到基底諧波激勵(lì)作用時(shí)，PTMD的最佳剛度ks和阻尼cs可以表示為：

(5)

cs=2foptξoptωpms

(6)

主體結(jié)構(gòu)直接受到外部諧波激勵(lì)時(shí)，最佳的頻率比f(wàn)opt和阻尼比ξopt可表示為：

(7)

(8)

式中：ωs和ωp分別為PTMD以及待減振主結(jié)構(gòu)的固有頻率；μ為TMD與主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量比,μ=ms/mp,fopt=ωs/ωp。

調(diào)諧質(zhì)量阻尼器在實(shí)際應(yīng)用中，隨著TMD質(zhì)量增大，其工作的頻帶越寬，達(dá)到的減振效果越好，但由于TMD的質(zhì)量通常會(huì)增加到主結(jié)構(gòu)上，過(guò)大的質(zhì)量會(huì)導(dǎo)致空間占用、安裝難度大等不利因素，因此TMD的質(zhì)量要在達(dá)到期望的減振效果的情況下盡可能的輕，一般認(rèn)為當(dāng)μ取值超過(guò)15%時(shí)，TMD的設(shè)計(jì)是無(wú)效的，通常情況下μ取值為5%。確定μ后將式(7)、式(8)代入式(5)、式(6)即可得到PTMD的最佳剛度和阻尼。

一般情況下，變剛度調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的固有頻率和主結(jié)構(gòu)的固定頻率比值在0.8～1.2范圍內(nèi)，即：

(9)

筆者在PTMD的設(shè)計(jì)中，PTMD的固有頻率和主結(jié)構(gòu)固有頻率比值取1，根據(jù)主結(jié)構(gòu)的固有頻率以及PTMD的質(zhì)量，即可得到PTMD的最佳減振剛度。

2 PTMD的結(jié)構(gòu)及設(shè)計(jì)

2.1 TSM及有限元仿真

筆者設(shè)計(jì)的新型PTMD中的變剛度機(jī)構(gòu)TSM(tunable stiffness mechanism)采用一種異形懸臂梁結(jié)構(gòu)E-Spring[8]，其結(jié)構(gòu)由外圈異形懸臂梁、中心圓臺(tái)以及中間的連接梁構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示，尺寸參數(shù)如表1所示。在工作時(shí)，其圓心位置保持不變，E-Spring可繞其圓心旋轉(zhuǎn)，對(duì)懸臂梁內(nèi)壁施加沿圓心向外的力，通過(guò)旋轉(zhuǎn)E-Spring角度來(lái)改變懸臂梁上的受力點(diǎn)位置，從而改變其彎曲、剪切和軸向參數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)剛度的變化，達(dá)到控制剛度的效果。

圖2 E-Spring結(jié)構(gòu)示意圖

表1 E-Spring尺寸參數(shù)

E-Spring具有調(diào)節(jié)響應(yīng)速度快、剛度調(diào)節(jié)范圍廣以及結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，且其剛度范圍可以通過(guò)壁厚、材質(zhì)、異形懸臂梁的寬度等各種設(shè)計(jì)參數(shù)決定。文中E-Spring選用柔性懸臂梁設(shè)計(jì)，在厚度h不變的情況下，減小中間圓柱的半徑同時(shí)增加了連接梁的寬度，以保證E-Spring的剛度以及作為TSM的實(shí)用性。

利用SolidWorks?軟件繪制出E-Spring的三維模型，并將模型導(dǎo)入ANSYS有限元仿真軟件，有限元仿真模型如圖3所示。在對(duì)材料參數(shù)進(jìn)行設(shè)置后，以E-Spring的圓心為原點(diǎn)，連接梁較長(zhǎng)一邊為Y軸建立坐標(biāo)系，并每間隔22.5°在懸臂梁內(nèi)側(cè)施加一個(gè)沿E-Spring軸心向外的單位力，采集每次懸臂梁受力點(diǎn)的形變位移數(shù)據(jù)繪制到表格。

圖3 有限元仿真模型

利用電子拉力計(jì)與固定基座以及限位塊對(duì)E-Spring實(shí)物的實(shí)際剛度進(jìn)行測(cè)試，剛度攔伸測(cè)試裝置如圖4所示。實(shí)驗(yàn)的E-Spring實(shí)物采用PLA(polylactic acid)材料3D打印加工，測(cè)試記錄在不同角度下拉伸5 mm時(shí)拉力計(jì)的讀數(shù)，并計(jì)算其剛度。不同角度下E-Spring仿真和實(shí)驗(yàn)剛度如表2和圖5所示。

圖4 剛度拉伸測(cè)試裝置

表2 不同角度下E-Spring的仿真和實(shí)驗(yàn)剛度

圖5 仿真與實(shí)驗(yàn)剛度曲線圖

仿真與實(shí)驗(yàn)測(cè)試的角度為22.5°～180.0°，從圖5可知，在22.5°～110.0°區(qū)間，仿真剛度曲線與實(shí)驗(yàn)曲線基本吻合，剛度由0.6 N/mm增加至1.4 N/mm左右，在110.0°～180.0°區(qū)間，實(shí)驗(yàn)剛度略大于仿真剛度，在180.0°時(shí)，實(shí)驗(yàn)剛度達(dá)到了2.36 N/mm，仿真剛度達(dá)到2.23 N/mm，分析其原因可能為3D打印材料以及實(shí)驗(yàn)臺(tái)精度影響造成的誤差，同時(shí)在剛度變大后，微小的實(shí)驗(yàn)誤差也會(huì)被放大，最終導(dǎo)致仿真和實(shí)驗(yàn)的剛度曲線在110.0°至180.0°沒(méi)有達(dá)到理想的吻合狀態(tài)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和仿真數(shù)據(jù)最大偏差為5.5%，滿足實(shí)驗(yàn)的精度要求。

2.2 PTMD的主結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

新型PTMD結(jié)構(gòu)采用將兩個(gè)E-Spring疊加的設(shè)計(jì)方式，由于E-Spring的異形懸臂并不是等寬的，而是隨著旋轉(zhuǎn)角度的增加而逐漸變寬，難以使用一個(gè)固定的卡扣夾住懸臂作為受力點(diǎn)，因此選用一個(gè)連接件將兩個(gè)E-Spring的懸臂梁連接在一起，使兩個(gè)E-Spring的懸臂梁形成一個(gè)夾具卡住中間的連接軸。E-Spring連接示意圖如圖6所示。

圖6 E-Spring連接示意圖

兩個(gè)E-Spring分別通過(guò)3D打印的固定件固定在滑軌上，連接軸則與滑塊相固定，并且連接軸上設(shè)計(jì)留有平臺(tái)，方便實(shí)驗(yàn)中配重塊的固定。在初始狀態(tài)下，E-Spring懸臂梁間的空隙正好卡住連接軸保持滑塊不會(huì)來(lái)回晃動(dòng)，并且懸臂梁不受力保持原本的形狀。

將PTMD固定在待減振結(jié)構(gòu)上，隨著主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，PTMD也隨之振動(dòng)，同時(shí)將作用力回饋施加到主結(jié)構(gòu)上達(dá)到減振效果，由于PTMD中的連接件只能對(duì)E-Spring施加沿軸心向外的拉力而不能施加向內(nèi)的壓力，因此在工作時(shí)兩個(gè)E-Spring的懸臂梁并不是同時(shí)工作而是交替受力拉伸隨后回彈。PTMD整體結(jié)構(gòu)示意圖如圖7所示。

圖7 PTMD整體結(jié)構(gòu)示意圖

3 PTMD減振實(shí)驗(yàn)臺(tái)的設(shè)計(jì)與實(shí)驗(yàn)研究

3.1 減振實(shí)驗(yàn)臺(tái)的主體結(jié)構(gòu)

在振動(dòng)實(shí)驗(yàn)中，振動(dòng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)的主體結(jié)構(gòu)一般由彈性模塊和質(zhì)量模塊構(gòu)成，質(zhì)量模塊可以選擇鋼材鋁材等材料，彈性模塊大致分為彈簧和懸臂梁兩種。當(dāng)需要垂直方向的振動(dòng)時(shí)選擇彈簧作為彈性模塊，當(dāng)需要水平方向振動(dòng)時(shí)則選擇矩形懸臂梁。綜合考慮實(shí)驗(yàn)的簡(jiǎn)單性與經(jīng)濟(jì)性，本實(shí)驗(yàn)中選用的實(shí)驗(yàn)臺(tái)為矩形懸臂梁-鋼板的組合，如圖8所示。4塊矩形懸臂梁與上鋼板和底板通過(guò)固定件和螺栓連接，在保證牢固的基礎(chǔ)上同時(shí)方便拆卸，底板同樣通過(guò)螺栓與激振器固定連接。矩形懸臂梁采用鋼板加工，長(zhǎng)240 mm，寬48 mm，厚3 mm，經(jīng)計(jì)算單只懸臂梁的剛度約為4 830 N/m，減振實(shí)驗(yàn)臺(tái)的主體結(jié)構(gòu)質(zhì)量測(cè)得約為10.5 kg，并且在上鋼板上預(yù)留有螺栓孔位，方便后期質(zhì)量調(diào)整鋼塊的安裝與拆卸。

圖8 實(shí)驗(yàn)臺(tái)主結(jié)構(gòu)

實(shí)驗(yàn)臺(tái)主結(jié)構(gòu)的阻尼和剛度難以直接測(cè)量，一般利用自由衰減振動(dòng)的方法測(cè)量。其原理為對(duì)實(shí)驗(yàn)臺(tái)上鋼板施加一段位移或者力，讓主結(jié)構(gòu)做自由衰減振動(dòng)，然后通過(guò)貼在主結(jié)構(gòu)上的加速度傳感器采集到的信號(hào)處理得到主結(jié)構(gòu)的固有頻率和阻尼。初步實(shí)驗(yàn)采用木槌敲擊主結(jié)構(gòu)的方式，但采集到的信號(hào)并不理想出現(xiàn)了很多干擾信號(hào)，隨后采用對(duì)上鋼板施加一段位移的方法，得到了較為順滑的主結(jié)構(gòu)自由衰減振動(dòng)加速度信號(hào)。施加位移后，主結(jié)構(gòu)為單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)，對(duì)待減振主結(jié)構(gòu)位移信號(hào)進(jìn)行頻譜分析得到其固有頻率，主結(jié)構(gòu)頻譜如圖9所示。從圖9可知，主結(jié)構(gòu)的固有頻率為6.25 Hz。

圖9 主結(jié)構(gòu)頻譜圖

實(shí)驗(yàn)中，質(zhì)量比μ取5%，即預(yù)期PTMD質(zhì)量為0.52 kg左右，經(jīng)實(shí)測(cè)加上配重塊后其質(zhì)量為0.475 kg。將μ代入式(6)得到PTMD的阻尼為3.57 N·m/s。將主結(jié)構(gòu)和PTMD的參數(shù)代入式(4),并利用Matlab繪制出主結(jié)構(gòu)在安裝PTMD前后幅頻特性曲線，如圖10所示。從圖10可知，在共振頻率處位移比達(dá)到42.2，在安裝PTMD后主結(jié)構(gòu)的位移比為4.9，降低了88.4%，在頻率比0.85～1.05范圍內(nèi)達(dá)到減振效果，激勵(lì)頻率超過(guò)這個(gè)范圍時(shí)，會(huì)增大主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。

圖10 安裝PTMD前后的幅頻特性曲線

3.2 PTMD減振實(shí)驗(yàn)

在PTMD設(shè)計(jì)制造加工完成以及測(cè)得振動(dòng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)主結(jié)構(gòu)的固有頻率后，開(kāi)始研究PTMD在振動(dòng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)上的減振效果，振動(dòng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)如圖11所示，其頻率在1～100 Hz，振幅在0～5 mm內(nèi)自由調(diào)節(jié)。

圖11 減振實(shí)驗(yàn)臺(tái)

由上文可知，實(shí)驗(yàn)主結(jié)構(gòu)的固有頻率為6.25 Hz，實(shí)驗(yàn)中將振動(dòng)臺(tái)的激振頻率調(diào)至6.25 Hz共振頻率，通過(guò)微調(diào)旋鈕慢慢增大振動(dòng)臺(tái)的振幅，待調(diào)節(jié)至PTMD中的TSM機(jī)構(gòu)也明顯振動(dòng)且不會(huì)過(guò)大時(shí)，停止扭動(dòng)振幅微調(diào)旋鈕，打開(kāi)Labview軟件采集加速度傳感器的加速度信號(hào)，設(shè)置每秒采集1 000個(gè)信號(hào)，每次采集10 s共10 000個(gè)加速度信號(hào)。由PTMD的參數(shù)設(shè)計(jì)式(9)可知，其最佳的減振剛度ks為900 N/m ，即對(duì)應(yīng)E-Spring旋轉(zhuǎn)至75°左右，PTMD可以對(duì)振動(dòng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)達(dá)到最佳的減振效果，所設(shè)計(jì)的PTMD在E-Spring旋轉(zhuǎn)22.5°至180.0°區(qū)間的剛度為601～2 235 N/m，滿足實(shí)驗(yàn)中期望最佳減振剛度。在失調(diào)情況下，即PTMD調(diào)至其他剛度時(shí)，實(shí)驗(yàn)臺(tái)不能達(dá)到明顯的減振效果，甚至可能惡化主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。本次實(shí)驗(yàn)測(cè)試PTMD調(diào)整至最佳剛度，即E-Spring旋轉(zhuǎn)至75°(900 N/m)與PTMD失調(diào)時(shí)，即45°(750 N/m)時(shí)兩個(gè)角度，采集加速度傳感器的加速度信號(hào),導(dǎo)入Matlab分析PTMD對(duì)振動(dòng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)的實(shí)際減振效果。PTMD最佳剛度和失調(diào)時(shí)主結(jié)構(gòu)振幅對(duì)比圖如圖12和圖13所示。

圖12 PTMD最佳剛度時(shí)主結(jié)構(gòu)振幅對(duì)比圖

圖13 PTMD失調(diào)時(shí)主結(jié)構(gòu)振幅對(duì)比圖

由E-Spring旋轉(zhuǎn)至75°主結(jié)構(gòu)振幅與未安裝PTMD時(shí)主結(jié)構(gòu)振幅對(duì)比分析可知，實(shí)驗(yàn)臺(tái)的主結(jié)構(gòu)振幅由24 mm降至13 mm，降低了49%，與仿真結(jié)果有一定差距，分析可能為實(shí)驗(yàn)誤差以及實(shí)驗(yàn)中PTMD剛度調(diào)節(jié)誤差所致，但實(shí)驗(yàn)PTMD也達(dá)到了對(duì)主結(jié)構(gòu)較為明顯的減振效果。在失調(diào)情況下，即E-Spring調(diào)至45°時(shí)，主結(jié)構(gòu)的振幅變?yōu)?9 mm，沒(méi)有明顯的減振效果，與理論推導(dǎo)的結(jié)果基本一致。

4 結(jié)論

針對(duì)在精密薄壁件機(jī)械加工中，材料的切削去除比率較大時(shí)容易產(chǎn)生加工振動(dòng)的問(wèn)題，影響加工精度的問(wèn)題，筆者設(shè)計(jì)提出了一種變剛度被動(dòng)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器，通過(guò)旋轉(zhuǎn)E-Spring的角度改變PTMD的剛度，達(dá)到最佳的減振控制效果。實(shí)驗(yàn)表明，在實(shí)驗(yàn)臺(tái)主結(jié)構(gòu)固有頻率為6.25 Hz時(shí)，將振動(dòng)臺(tái)調(diào)至其共振頻率，PTMD在剛度調(diào)至900 N/m，實(shí)驗(yàn)臺(tái)的振幅由24 mm明顯降低至13 mm，達(dá)到了理想的實(shí)驗(yàn)臺(tái)減振效果，同時(shí)實(shí)驗(yàn)測(cè)試了在失調(diào)情況下PTMD對(duì)主結(jié)構(gòu)振幅的影響，結(jié)果表明在剛度未調(diào)節(jié)至最佳減振剛度時(shí)，PTMD基本沒(méi)有降低主結(jié)構(gòu)的振幅。所設(shè)計(jì)的變剛度調(diào)諧質(zhì)量阻尼器使用于激勵(lì)頻率范圍不大的機(jī)械加工環(huán)境，具有提升加工穩(wěn)定性的效果。