尹 鵬，鄭銀環(huán)，秦信春

(武漢理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖北 武漢 430070)

隨著科技的不斷進(jìn)步，對(duì)零件加工精度、加工工藝和效率的要求越來(lái)越高，精密數(shù)控機(jī)床的加工精度及整體性能取決于機(jī)床的各個(gè)方向上的進(jìn)給系統(tǒng)，研究精密數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)靜動(dòng)態(tài)特性，對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)優(yōu)化分析，從而提高機(jī)床的精密性，這是十分必要的。

針對(duì)精密數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)仿真優(yōu)化分析問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了很多工作，羅亮等[1]提出了一種改進(jìn)的集中質(zhì)量建模方法，該方法考慮了滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)基座的質(zhì)量、柔性及進(jìn)給系統(tǒng)部件間反向間隙對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響，并完善了滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)集中質(zhì)量模型等效參數(shù)的計(jì)算方法，其不足在于未能充分考慮進(jìn)給系統(tǒng)溫度場(chǎng)熱特性影響。Huang[2]對(duì)機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的熱源進(jìn)行了分析，提出了一種進(jìn)給系統(tǒng)的熱變形預(yù)測(cè)模型，并用實(shí)驗(yàn)對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證。李醒飛等[3]提出了一種引入溫度變化參數(shù)來(lái)修正滾珠絲杠的溫度場(chǎng)熱誤差預(yù)測(cè)模型，并以溫度分布實(shí)驗(yàn)對(duì)該模型進(jìn)行驗(yàn)證。

在機(jī)床實(shí)際工作中，進(jìn)給系統(tǒng)受到力和熱的共同作用，為了能全面準(zhǔn)確地反映進(jìn)給系統(tǒng)的靜動(dòng)態(tài)特性，筆者對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)場(chǎng)與溫度場(chǎng)共同作用下進(jìn)行建模分析，建立進(jìn)給系統(tǒng)熱-結(jié)構(gòu)耦合場(chǎng)有限元模型，并對(duì)其進(jìn)行靜力學(xué)分析、模態(tài)及諧響應(yīng)分析，結(jié)合所分析的結(jié)果，分析出進(jìn)給系統(tǒng)中的薄弱環(huán)節(jié)并給出相應(yīng)的改善建議。

1 進(jìn)給系統(tǒng)等效模型建立

1.1 進(jìn)給系統(tǒng)基本結(jié)構(gòu)

刀架X方向進(jìn)給系統(tǒng)在工作過(guò)程中承受各種切削力，其在實(shí)際工作中承受的載荷最大。刀架X方向進(jìn)給系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)帶來(lái)的進(jìn)給誤差及振動(dòng)直接影響其切削進(jìn)給運(yùn)動(dòng)的精度及穩(wěn)定性，最終影響加工零件的尺寸精度及表面粗糙度。因此，選取刀架系統(tǒng)X方向進(jìn)給系統(tǒng)進(jìn)行建模及分析, 刀架X方向進(jìn)給系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 刀架進(jìn)給系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

1.2 進(jìn)給系統(tǒng)結(jié)合部等效剛度和阻尼計(jì)算

1.2.1 固定結(jié)合部等效剛度和阻尼計(jì)算

依據(jù)“吉村允孝法”，通過(guò)計(jì)算固定結(jié)合部上的接觸壓力得到固定結(jié)合部單位面積的剛度和阻尼，再利用結(jié)合面積積分法計(jì)算出各結(jié)合部的等效剛度和等效阻尼[4]，計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 固定結(jié)合部的剛度和阻尼

1.2.2 滾動(dòng)結(jié)合部等效剛度計(jì)算

進(jìn)給系統(tǒng)直線導(dǎo)軌副的結(jié)構(gòu)及受力如圖2所示，其中滾珠總數(shù)為z，滾珠與滾道接觸壓力角為β，滑塊受到從托板上傳遞過(guò)來(lái)外部法向載荷Fz的作用，單個(gè)滾珠施加到導(dǎo)軌及滾道的法向作用力為Fn1、Fn2、Fn3和Fn4。根據(jù)直線導(dǎo)軌副結(jié)合部的受力對(duì)稱性，有Fn1=Fn2，F(xiàn)n3=Fn4。由導(dǎo)軌副結(jié)合部在豎直方向上受力平衡得：

Fz+z·Fn3sinβ=z·Fn1sinβ

(1)

圖2 直線導(dǎo)軌滑塊結(jié)構(gòu)受力圖

依據(jù)Hertz接觸理論，所有滾珠承載的預(yù)緊力F0近似均勻分布，同時(shí)滾珠與滾道接觸點(diǎn)之間的法向壓力均為P0，由預(yù)緊力F0引起單個(gè)滾珠的初始變形量均為δ0，F(xiàn)0與P0之間關(guān)系為：

(2)

當(dāng)導(dǎo)軌副上受外載荷Fz作用時(shí)，上下排滾珠的變形量分別為δ1、δ2，同時(shí)滑塊豎直方向的位移為δn，則結(jié)合部變形協(xié)調(diào)方程為：

(δ1-δ0)sinβ=(δ0-δ2)sinβ=δn

(3)

根據(jù)Hertz接觸理論，上下排滾珠的變形量δ1、δ2為：

(4)

式中：K、a為Hertz系數(shù)；u1、u2分別為滾珠與導(dǎo)軌滑塊的泊松比；E1、E2分別為滾珠與導(dǎo)軌滑塊的彈性模量；∑ρ為滾珠與導(dǎo)軌滑塊的接觸點(diǎn)處的綜合曲率；Q為導(dǎo)軌及滾道受到滾珠的施加法向載荷。

聯(lián)立式(2)～式(4)可求得δ0、δ1、δ2，可得導(dǎo)軌滑塊結(jié)合部的法向剛度為：

Kn=F/δn

(5)

式中，F(xiàn)為法向外載荷。

滑塊相對(duì)于導(dǎo)軌的切向位移為：

δT=(δn-δ0)cosβ

(6)

則導(dǎo)軌滑塊結(jié)合部的切向剛度為：

(7)

進(jìn)給系統(tǒng)中滾珠直徑d為6.87 mm;接觸角β為45°；z為48；F0為3 kN。滾動(dòng)導(dǎo)軌副結(jié)合部剛度如表2所示。

表2 滾動(dòng)導(dǎo)軌副的基本參數(shù)及剛度參數(shù)

1.3 進(jìn)給系統(tǒng)熱邊界條件計(jì)算

進(jìn)給系統(tǒng)在工作時(shí)的熱源主要有：①伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)發(fā)熱Q1；②滾動(dòng)軸承的摩擦生熱Q2；③絲杠螺母副的摩擦生熱Q3；④導(dǎo)軌滑塊副的摩擦生熱Q4。

1.3.1 伺服電機(jī)熱流密度計(jì)算

電機(jī)的發(fā)熱量Q1[5]為：

(8)

式中：η為伺服電機(jī)的工作效率；Mm為輸出力矩；n為伺服電機(jī)的轉(zhuǎn)速；α為伺服電機(jī)的發(fā)熱量修正系數(shù)，通常情況下取α=0.3。

伺服電機(jī)的基本參數(shù)和計(jì)算所得熱流密度如表3所示。

表3 伺服電機(jī)的基本參數(shù)和熱流密度

1.3.2 軸承熱流密度計(jì)算

采用Palmgren經(jīng)驗(yàn)公式[6]計(jì)算軸承的單位時(shí)間發(fā)熱量Q2為：

(9)

式中：nz為軸承轉(zhuǎn)速；M1為與軸承負(fù)載有關(guān)的摩擦力矩；Mv為與軸承類型、轉(zhuǎn)速及潤(rùn)滑性質(zhì)有關(guān)的黏性摩擦力矩。

M1可按式(10)計(jì)算：

M1=fFβdm

(10)

式中：f為與載荷及軸承類型有關(guān)的系數(shù)；dm為軸承中徑；Fβ為軸承摩擦力矩的計(jì)算載荷。

Mv可按式(11)計(jì)算：

(11)

式中：f0為與軸承類型和潤(rùn)滑方式有關(guān)的經(jīng)驗(yàn)常數(shù)；v0為工作溫度下潤(rùn)滑劑的運(yùn)動(dòng)黏度。

軸承基本參數(shù)和計(jì)算熱流密度如表4所示[7]。

表4 軸承的基本參數(shù)和熱流密度

1.3.3 絲杠螺母熱流密度計(jì)算

滾珠絲杠的單位時(shí)間發(fā)熱量Q3[5]為：

Q3=1.047×10-4Mn

(12)

式中：M為滾珠絲杠的摩擦力矩；n為滾珠絲杠的轉(zhuǎn)速。

滾珠絲杠中的總摩擦力矩M按式(13)計(jì)算：

M=2Z(Me+Mg)cosβ

(13)

式中:Z為滾珠數(shù)目；Me為摩擦阻力矩；Mg為幾何滑移摩擦力矩；β為絲杠的螺旋角度。

分別對(duì)摩擦力矩Me和幾何滑移摩擦力矩Mg進(jìn)行計(jì)算：

(14)

(15)

式中：μ，v為由滾珠與滾道的接觸尺寸決定的系數(shù)；∑ρ為各主曲率之和；E1、E2分別為絲桿和螺母的彈性模量；F0為單個(gè)滾珠所受的法向力；R為滾道和滾珠的綜合曲率半徑。

滾珠絲杠的基本參數(shù)和計(jì)算所得熱流密度如表5所示。

表5 滾珠絲杠基本參數(shù)和熱流密度

1.3.4 導(dǎo)軌滑塊熱流密度的計(jì)算

導(dǎo)軌滑塊副的單位發(fā)熱量Q4[5]為：

(16)

式中：μ為動(dòng)摩擦系數(shù)，μ=0.004；F為施加在單個(gè)導(dǎo)軌摩擦面上的負(fù)載，具體見(jiàn)表2；v為滑塊在導(dǎo)軌上滑動(dòng)速度，v=0.4 m/s；J為熱功當(dāng)量，J=4.2 J/cal。

計(jì)算所得導(dǎo)軌滑塊副熱流密度如表6所示。

表6 滑塊的熱流密度

2 進(jìn)給系統(tǒng)熱-結(jié)構(gòu)耦合有限元模型建立

在Solidworks中建立進(jìn)給系統(tǒng)的三維模型，并對(duì)模型進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化，導(dǎo)入到ANSYS Workbench平臺(tái)，利用Workbench中Transient Thermal、Static Structural、Modal和Harmonic Response模塊建立進(jìn)給系統(tǒng)熱-結(jié)構(gòu)耦合有限元模型，具體過(guò)程如下：

(1)為了減少仿真計(jì)算量，提高分析精度和效率，忽略零件部分工藝，將實(shí)體模型中對(duì)仿真結(jié)果影響較小的地方做適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，簡(jiǎn)化后結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 進(jìn)給系統(tǒng)三維模型簡(jiǎn)化圖

(2)采用Workbench中Hex Dominant(六面體主體法)進(jìn)行網(wǎng)格劃分，對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有限元模型中各零件進(jìn)行材料屬性設(shè)置，如表7所示。

表7 材料參數(shù)表

(3)進(jìn)給系統(tǒng)結(jié)合部等效建模。根據(jù)計(jì)算得到的結(jié)合部剛度阻尼參數(shù)，使用ANSYS Workbench中接觸設(shè)置Spring功能建立固定結(jié)合部等效剛度阻尼模型和滾動(dòng)結(jié)合部的等效剛度模型[8-9]。

(4)根據(jù)所計(jì)算的熱邊界條件，在Harmonic Response模塊完成進(jìn)給系統(tǒng)有限元模型熱邊界條件設(shè)定。

(5)結(jié)構(gòu)場(chǎng)邊界條件設(shè)定。將刀架系統(tǒng)上其他部件進(jìn)行簡(jiǎn)化，作為一個(gè)分布式質(zhì)量單元添加到刀架托板上。對(duì)導(dǎo)軌、軸承座及電機(jī)固定座實(shí)施固定約束，添加沿Y軸負(fù)方向的重力加速度、絲杠預(yù)緊力及各方向上最大工作載荷，約束及載荷施加情況如圖4所示。

圖4 進(jìn)給系統(tǒng)的約束及載荷施加

3 進(jìn)給系統(tǒng)靜力學(xué)分析

根據(jù)建立的進(jìn)給系統(tǒng)熱-結(jié)構(gòu)耦合有限元模型，得到進(jìn)給系統(tǒng)的變形與等效應(yīng)力如圖5、圖6所示。

圖5 進(jìn)給系統(tǒng)的變形云圖

圖6 進(jìn)給系統(tǒng)等效應(yīng)力云圖

由圖5可知，進(jìn)給系統(tǒng)的絲杠和導(dǎo)軌上的總變形量很小，主要變形由托板底端向頂端呈現(xiàn)階梯式增大，在靠近絲杠側(cè)的頂端綜合變形量最大為44.326 μm，整體變形呈現(xiàn)出了很強(qiáng)的不均勻性，其原因主要由于進(jìn)給系統(tǒng)各處部位溫升的不同及材料特性差異導(dǎo)致進(jìn)給系統(tǒng)不同位置發(fā)生不均勻的熱膨脹[10]，特別是在托板左側(cè)有絲杠螺母發(fā)熱帶來(lái)熱應(yīng)力的影響，使得絲杠螺母附近變形偏大，同時(shí)使得左側(cè)頂端的變形明顯要大于右側(cè)頂端。

由圖6可知，系統(tǒng)整體應(yīng)力分布比較均勻且基本在29.388 MPa的范圍內(nèi)，應(yīng)力集中主要分布在絲杠兩軸端與固定軸承接觸處，這是由于兩側(cè)的固定軸承限制了滾珠絲杠熱變形的自由膨脹，從而使絲杠兩端受擠壓產(chǎn)生了最大等效應(yīng)力，該部位許用應(yīng)力[σ]=345 MPa，滿足強(qiáng)度要求。

4 進(jìn)給系統(tǒng)模態(tài)分析

運(yùn)用Workbench中的Modal模塊進(jìn)行模態(tài)分析，得到進(jìn)給系統(tǒng)的前6階振型數(shù)據(jù)和振型圖如圖7和表8所示。

從圖7可知，進(jìn)給系統(tǒng)各階振型中變形區(qū)域均集中在托板上端及中間區(qū)域，且振幅變動(dòng)不是很大，最大變形為11.54 mm，同時(shí)從各階振型及對(duì)應(yīng)的最大振幅可以看出，與X、Y方向的振動(dòng)相比，托板上端，特別是兩側(cè)伸出端，更易在Z方向

圖7 進(jìn)給系統(tǒng)熱—結(jié)構(gòu)耦合模態(tài)振型圖

表8 進(jìn)給系統(tǒng)前6階固有頻率及振型

上發(fā)生較大振幅的振動(dòng)，其原因在于托板頂端部分從Z向上看類似外伸梁結(jié)構(gòu)，缺少固定支承，托板在X、Y方向上均有固定約束，因此相比X、Y方向更易因外部載荷施加產(chǎn)生較大變形及振動(dòng)?？偟膩?lái)說(shuō)，進(jìn)給系統(tǒng)整體具有比較好的動(dòng)剛度。

5 進(jìn)給系統(tǒng)諧響應(yīng)分析

采用Workbench中的Harmonic Response模塊進(jìn)行諧響應(yīng)分析，基于所建立的熱-結(jié)構(gòu)耦合有限元模型，施加X(jué)、Y、Z3個(gè)方向上的切削力作為激振力和激振頻率，將正弦掃頻頻率范圍設(shè)定為0～800 Hz，步數(shù)設(shè)定為25步，得到進(jìn)給系統(tǒng)在X、Y、Z3個(gè)方向上的幅頻曲線圖，如圖8所示。

圖8 進(jìn)給系統(tǒng)幅頻曲線圖

從圖8可知，當(dāng)外界激勵(lì)頻率在288 Hz或640 Hz或690 Hz附近時(shí)，進(jìn)給系統(tǒng)依次會(huì)在X、Y、Z方向上出現(xiàn)共振現(xiàn)象，且最大振幅接近15 μm，出現(xiàn)在X方向上，其余兩個(gè)方向上的振幅均在6 μm范圍內(nèi)，這3處共振頻率與模態(tài)分析得出的固有頻率比較可知，進(jìn)給系統(tǒng)本身不會(huì)出現(xiàn)這3個(gè)共振頻率。但考慮到實(shí)際機(jī)床加工過(guò)程中，進(jìn)給系統(tǒng)因工況不同需要在不同的轉(zhuǎn)速及動(dòng)載荷下進(jìn)行工作時(shí)，易受到不可預(yù)知外界激勵(lì)力的作用時(shí)出現(xiàn)共振。因此在實(shí)際加工過(guò)程中應(yīng)通過(guò)調(diào)節(jié)相應(yīng)轉(zhuǎn)速及動(dòng)載荷盡可能避免共振的出現(xiàn)。

6 結(jié)論

從受力分析及前四階模態(tài)振型圖可知，進(jìn)給系統(tǒng)的主要變形集中在托板上端及兩側(cè)伸出端，其原因在于兩側(cè)伸出端受力時(shí)為懸臂梁模式，受外載荷時(shí)不能受到很好的支承，從而造成上端的振幅偏大。可以將上端導(dǎo)軌的布置位置上移，以提高系統(tǒng)的整體剛度和固有頻率，達(dá)到減小系統(tǒng)振動(dòng)的目的。

從圖7中的第五、六階模態(tài)振型圖及圖8可知，當(dāng)受到高頻激勵(lì)時(shí)，托板上各處都易發(fā)生變形且3個(gè)方向的振幅會(huì)出現(xiàn)明顯的增大?？梢赃x用剛度較高的合金材料來(lái)避免變形及振動(dòng)，在實(shí)際加工過(guò)程中應(yīng)通過(guò)調(diào)節(jié)相應(yīng)轉(zhuǎn)速及動(dòng)載荷盡可能避免共振的出現(xiàn)。

由于絲杠螺母發(fā)熱點(diǎn)比較集中，導(dǎo)致絲杠螺母附近變形偏大，使得托板兩側(cè)變形不均勻，易降低托板的定位精度和抗振性，從而影響機(jī)床的加工精度。為減少絲杠螺母與導(dǎo)軌滑塊之間的摩擦熱量，可以在螺母和導(dǎo)軌上采用稀油潤(rùn)滑，保證絲杠和導(dǎo)軌的傳動(dòng)精度。