嚴(yán)春滿劉曉敏

(西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

電容層析成像技術(shù)(Electrical Capacitance Tomography，ECT)是一種基于電容敏感場的過程層析成像技術(shù)，系統(tǒng)主要由電容傳感器單元、數(shù)據(jù)采集單元、計(jì)算機(jī)圖像重建單元三部分構(gòu)成，由于其結(jié)構(gòu)簡單、成本低、無輻射等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于多相流檢測等工業(yè)領(lǐng)域中[1－2]。

ECT成像系統(tǒng)通過電容傳感器獲取不同電極對間所有電容值，經(jīng)數(shù)據(jù)采集單元收集全部信息并傳送至計(jì)算機(jī)得到各介質(zhì)分布圖像[3]，故ECT圖像重建的核心是計(jì)算機(jī)圖像重建單元，其根據(jù)相應(yīng)的圖像重建算法反演出不同介質(zhì)分布圖像，從而實(shí)現(xiàn)多相流的可視化測量[4－5]。而工業(yè)應(yīng)用的關(guān)鍵是能快速有效的得到高精度的介質(zhì)分布圖像，故成像算法的改進(jìn)和優(yōu)化成為ECT圖像重建技術(shù)研究領(lǐng)域的主要關(guān)注方向之一。

目前，ECT圖像重建算法大致分為直接算法、迭代算法及智能算法，其中直接算法包括線性反投影(LBP)算法[5]、Tikhonov正則化[6]等。LBP算法結(jié)構(gòu)簡單、計(jì)算速度快，各流型成像質(zhì)量較差，一般只用于定性分析；Tikhonov正則化是解決非線性不適定問題的有效方法，但其參數(shù)選取不易，易影響重建精度。相對而言迭代算法成像效果更優(yōu)，如NewtonRaphson算法[7]、Landweber算法[8]。NewtonRaphson算法又被稱為迭代Tikhonov正則化，即借鑒Tikhonov思想為傳統(tǒng)NewtonRaphson算法添加一個單位矩陣，其重建圖像主觀效果與正則化相當(dāng)；Landweber算法是典型的迭代算法，其算法復(fù)雜度適中，常用于ECT成像。智能算法目前主要以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[9]為主，其成像效果較佳，但所需樣本獲取不易且訓(xùn)練時間較長。

Landweber算法是解決ECT非線性不適定問題最常用的迭代算法，但其迭代次數(shù)較多、穩(wěn)定性較差且重建圖像精度較低，為改善其不足提出了許多改進(jìn)算法。文獻(xiàn)[10]基于12電極傳感器系統(tǒng)將Runge-Kutta算法應(yīng)用于landweber，證明了其收斂性并探討了應(yīng)用于ECT的可行性；文獻(xiàn)[11]基于同倫攝動方法改進(jìn)landweber，推導(dǎo)出二階迭代公式并通過添加約束因子改善其半收斂性，提高重建圖像質(zhì)量。文獻(xiàn)[12]針對ECT病態(tài)問題，提出一種基于修正隱式Landweber成像算法，該算法易實(shí)現(xiàn)且穩(wěn)定性好。文獻(xiàn)[13]通過構(gòu)造壓縮算子改進(jìn)Landweber算法，達(dá)到全收斂并提高了重建精度。本文針對Landweber算法的不足之處，分析其原理并通過構(gòu)造殘差矩陣添加權(quán)重因子使其達(dá)到穩(wěn)定收斂條件，再根據(jù)Frozen Landweber迭代格式[14]，將其進(jìn)行內(nèi)外雙重循環(huán)，獲得本文改進(jìn)算法并將其應(yīng)用于ECT圖像重建，提高了穩(wěn)定收斂速度和重建圖像精度。數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明改進(jìn)算法的客觀評價指標(biāo)和主觀圖像重建質(zhì)量優(yōu)于 NewtonRaphson及Landweber算法；且選擇LBP、Tikhonov正則化作為不同迭代初值時，本文算法相比于Landweber算法具有初值不敏感性，更有利于ECT實(shí)際工業(yè)應(yīng)用；并分析了不同算法、不同初值對各流型的影響，進(jìn)而說明本文算法的有效性及實(shí)用價值。

1 ECT關(guān)鍵問題

1.1 ECT正問題

ECT正問題是指根據(jù)介質(zhì)的介電常數(shù)分布與電容敏感場的邊界條件，利用特定的數(shù)學(xué)模型求解場域內(nèi)電磁分布，從而獲取各電極對之間的所有電容值[15]。根據(jù)靜電場Laplace方程，將正問題表示為:

式中:ε(x，y)為(x，y)處的介電常數(shù)分布，φ(x，y)為(x，y)處的電位分布。ECT正問題采用Dirichlet第一類邊界條件，相應(yīng)表達(dá)為:

式中:U為邊界激勵電壓；Γi為電極i所在的空間位置；Γs為屏蔽層的位置；Γg為保護(hù)電極位置。在已知邊界條件的前提下，求出在對電極i添加激勵時j電極上存在的電荷，計(jì)算公式為

式中:Γj為包圍電極j的封閉曲線，E為電場強(qiáng)度，＾n為Γj上的法向量。激勵電極i和檢測電極j之間形成的電容為:

式中:U ij為電極板i與j之間的電壓。由于ECT介質(zhì)分布復(fù)雜、非線性等特性，常通過有限元法完成敏感場的剖分及相關(guān)數(shù)值計(jì)算，本文選用三角形剖分單元，剖分結(jié)果如圖1所示。

圖1 ECT傳感器場域的三角形剖分圖

1.2 ECT反問題

ECT反問題即圖像重建，根據(jù)正問題得到的電容測量值結(jié)合靈敏度矩陣，通過計(jì)算機(jī)圖像重建單元反演出場域內(nèi)不同介質(zhì)的介電常數(shù)分布圖像[16]。電極對間的電容值與介質(zhì)的介電常數(shù)分布存在非線性關(guān)系:

將上式進(jìn)行Taylor展開，忽略高階項(xiàng)，并對其離散化、歸一化可得:

式中:λ為m維歸一化電容向量，本文m＝28，即所有電容值數(shù)量；S為m×n維歸一化靈敏度矩陣，g為n維歸一化介電常數(shù)向量。

1.3 Landweber算法

Landweber迭代算法的基本思路是將ECT反問題的求解轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)泛函極值的優(yōu)化問題。將式(6)轉(zhuǎn)化為如下目標(biāo)泛函:

相當(dāng)于求式(8)的極小值

f(g)的梯度為:

Landweber算法格式為:

式中:?k為迭代步長。

1.4 基于權(quán)重因子Landweber算法

從數(shù)學(xué)級數(shù)角度分析Landweber算法，假設(shè)A0為S－1的初始近似矩陣，令I(lǐng)為單位矩陣，構(gòu)建殘差矩陣P:

如果S－1存在，則可將式(11)寫為:

若殘差P的譜半徑ρ(P)＜1，則將(I－P)－1級數(shù)展開，S－1的第k項(xiàng)級數(shù)A k和第k＋1項(xiàng)級數(shù)A k＋1可分別寫為:

又因?yàn)?/p>

根據(jù)式(11)、式(13)、式(15)可得:

若以S－1第k＋1項(xiàng)級數(shù)A k＋1代替S－1，并結(jié)合式(13)則有下式成立:

將式(16)代入式(17)得:

若令A(yù)0＝?k ST，則式(18)可寫為:

式(19)為Landweber算法的迭代公式，按級數(shù)理論，Landweber算法的穩(wěn)定收斂條件為:

由于STS是一個對稱、非負(fù)定矩陣，(I－?k STS)2的特征值中必定包含1，即ρ(P)≥1。故Landweber算法不能滿足穩(wěn)定收斂條件。為解決Landweber算法此問題，構(gòu)造新算子，令A(yù)0＝W?k ST:

式中:W為權(quán)重因子，其選擇依據(jù)是1，經(jīng)實(shí)驗(yàn)對比，W∈(1，1.8)較為理想。將改進(jìn)后的算子P′替換式(17)中原算子P，可得

1.5 改進(jìn)Landweber算法

Frozen Landweber迭代是將薩馬斯基技巧應(yīng)用到Landweber中，針對非線性不適定

問題F(x)＝y(tǒng)，得出迭代公式如下:

由上述理論可知，ECT重建算法中的電容向量λ和圖像分布向量g之間存在非線性關(guān)系為式(6)，故用靈敏度矩陣S取代F′(g)，Sg取代F(g)，再結(jié)合式(22)，則式(23)可改寫為本文改進(jìn)Landweber算法:

算法流程圖如圖2所示。

圖2 算法流程圖

2 仿真實(shí)驗(yàn)

2.1 不同算法對比實(shí)驗(yàn)

為定量描述Landweber算法、NewtonRaphson算法及本文算法的成像質(zhì)量，采用重建圖像的相對誤差(Relative Error，RE)及相關(guān)系數(shù)(Correlation Coefficient，CC)作為兩項(xiàng)客觀評價指標(biāo)。其計(jì)算公式如(25)與(26)所示:

式中:g表示通過圖像重建算法獲得的介電常數(shù)分布為管道內(nèi)真實(shí)介電常數(shù)分布分別為g和＾g的平均值，D為g和的維度。

圖像重建的有效性由迭代次數(shù)、算法的穩(wěn)定收斂性及其對應(yīng)的相對誤差和相關(guān)系數(shù)體現(xiàn)，迭代次數(shù)的選取由數(shù)值實(shí)驗(yàn)確定。為直觀驗(yàn)證本文算法的有效性及迭代次數(shù)對算法的穩(wěn)定性和重建圖像質(zhì)量的影響，選取常見的四種流型:層流(a)、環(huán)流(b)、芯流(c)以及泡流(d)。經(jīng)反復(fù)實(shí)驗(yàn)分析，繪制以5步為間隔取100次迭代內(nèi)Landweber算法、Newton-Raphson算法及本文算法在不同迭代次數(shù)下各流型的相對誤差及相關(guān)系數(shù)曲線(圖3～圖6)并分析算法的穩(wěn)定性和有效性。

圖3 流型a相對誤差和相關(guān)系數(shù)

圖4 流型b相對誤差和相關(guān)系數(shù)

圖5 流型c相對誤差和相關(guān)系數(shù)

圖6 流型d相對誤差和相關(guān)系數(shù)

由圖3～圖6可見各算法對各流型在100次迭代內(nèi)的穩(wěn)定收斂性，對于流型a、b本文算法均迭代10次達(dá)到收斂，NewtonRaphson算法迭代15次收斂，且本文算法的相對誤差和相關(guān)系數(shù)得到明顯改善；對于流型c本文算法及NewtonRaphson算法分別迭代10、15次達(dá)到收斂，且本文算法的相關(guān)系數(shù)有一定程度的提升，能夠在迭代5次時達(dá)到最優(yōu)；對于流型d本文算法在迭代10次快速趨于穩(wěn)定，與NewtonRaphson算法相比，兩種算法的客觀評價指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)時相差范圍大概分別為0.027 6、0.041 5，故本文算法具有一定的準(zhǔn)確度；對于流型a、b、c、d本文及NewtonRaphson算法較Landweber算法都能達(dá)到穩(wěn)定收斂狀態(tài)，且本文算法對于各流型均在迭代10次較快達(dá)到收斂，收斂速度明顯優(yōu)于NewtonRaphson算法和Landweber算法，體現(xiàn)本文算法的快速收斂性。

為客觀比較不同算法的成像效果，將各算法分別迭代100次對4種典型物場分布進(jìn)行圖像重建如表1。

由表1可見，LBP算法只能粗略反映介質(zhì)分布形狀；NewtonRaphson算法能大致反映重建圖像的邊緣信息，略優(yōu)于LBP，但存在內(nèi)部偽影較多；Landweber算法在一定程度上改善了主觀成像質(zhì)量，總體成像效果優(yōu)于前兩種對比算法，但仍存在部分失真；本文算法能較清楚的反映各介質(zhì)分布的內(nèi)部和邊緣信息，與原始圖像更接近，成像效果較佳，只是對流型d仍存在一定程度的邊緣失真，還有待改進(jìn)。綜上，經(jīng)實(shí)驗(yàn)對比分析本文算法對各流型的主觀仿真效果與客觀數(shù)值模擬結(jié)果一致且具有穩(wěn)定收斂性，表明本文算法對ECT成像具有較好的重建能力。

表1 各算法圖像重建結(jié)果

2.2 不同初值對比實(shí)驗(yàn)

不同算法的性能由其穩(wěn)定收斂性直觀體現(xiàn)，在實(shí)際工業(yè)應(yīng)用中，ECT圖像重建算法的穩(wěn)定收斂性受到初值選擇的直接影響。由上述實(shí)驗(yàn)可知對4種流型在100次迭代內(nèi)，NewtonRaphson算法和本文算法在迭代后期均趨于穩(wěn)定，而Landweber算法對于各流型在迭代后期相對誤差呈下降趨勢、相關(guān)系數(shù)呈上升趨勢，故為進(jìn)一步比較本文算法與Landweber算法穩(wěn)定收斂性及初值選擇對二者的影響，成倍增加迭代次數(shù)，分別以LBP、Tikhonov正則化為初值，10倍為間隔取100～105內(nèi)的客觀評價指標(biāo)實(shí)驗(yàn)結(jié)果并繪制圖7、圖8(層流、環(huán)流、芯流、泡流分別表示為a、b、c、d)。

圖7 以LBP為初值各流型相對誤差和相關(guān)系數(shù)對比

圖8 以Tikhonov正則化為初值各流型相對誤差和相關(guān)系數(shù)對比

通過對比圖7、圖8，無論選擇LBP算法還是Tikhonov正則化作為初值，對于各流型Landweber算法的相對誤差和相關(guān)系數(shù)整體波動性較大，整體穩(wěn)定性較差，故對初值較敏感；而本文算法對各流型的客觀評價指標(biāo)均僅迭代10次時就快速達(dá)到穩(wěn)定收斂狀態(tài)，迭代速度和穩(wěn)定性不隨初值選擇而改變，算法性能明顯優(yōu)于Landweber算法，可見本文算法對初值選擇的不敏感性，更具有工業(yè)實(shí)用價值。為進(jìn)一步驗(yàn)證本文及Landweber算法對各流型初值選擇的影響，將a、b、c、d四種流型分別以LBP、Tikhonov正則化為初值各迭代10次，繪制客觀對比圖9。

圖9 不同初值各流型相對誤差和相關(guān)系數(shù)客觀對比

由圖9客觀對比分析可知對4種流型，選擇以LBP算法為初值時，本文算法較Landweber算法客觀評價指標(biāo)更優(yōu)；相對比而言以Tikhonov正則化為初值時對流型a、d，Landweber算法的客觀性指標(biāo)稍優(yōu)于本文算法5%左右；對于流型b、c，本文算法的相對誤差和相關(guān)系數(shù)均優(yōu)于Landweber算法。整體而言，選擇不同初值時本文算法一定程度上優(yōu)于對比算法，從而驗(yàn)證了初值選擇對本文算法的影響。

3 結(jié)論

電容層析成像(ECT)技術(shù)中反問題(即圖像重建)屬于一類非線性不適定問題，不易對其進(jìn)行直接 求解，常將其轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)泛函極值的優(yōu)化問題，再利用 Landweber算法求解。本文針對Landweber算法迭代次數(shù)較多、半收斂性等問題，根據(jù)Frozen Landweber格式，將薩馬斯基技巧應(yīng)用到基于權(quán)重因子的Landweber算法中，提出一種改進(jìn)電容層析成像算法，加快了穩(wěn)定收斂速度。經(jīng)數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，改進(jìn)算法的客觀評價指標(biāo)和主觀圖像重建質(zhì)量均優(yōu)于 NewtonRaphson算法和Landweber算法，且改進(jìn)算法具有初值不敏感性，不同初值對各流型的相對誤差和相關(guān)系數(shù)均僅迭代10次時就達(dá)到穩(wěn)定收斂，驗(yàn)證本文算法的有效性，最后論證了不同算法、不同初值對4種流型的影響，體現(xiàn)本文算法的實(shí)用價值。