張 勰 肖恩媛 劉宏志 趙嶷飛 王夢琦

（1. 中國民航大學(xué)空中交通管理學(xué)院 天津 300300；2. 中國民航科學(xué)技術(shù)研究院民航發(fā)展規(guī)劃研究院 北京 100028）

0 引 言

掌握空中交通流量漲落波動特性對于優(yōu)化空域資源配置、提升運(yùn)行效率、保障飛行安全方面發(fā)揮著先導(dǎo)性、基礎(chǔ)性、關(guān)鍵性作用。而研究3 種可視圖（可視圖、水平可視圖、有限穿越可視圖）建網(wǎng)方法的適應(yīng)能力和演化能力對于掌握航班流量波動規(guī)律和刻畫流量波動動態(tài)演變模式是十分重要的一環(huán)，這有助于深刻理解整個(gè)空域交通系統(tǒng)的運(yùn)作原理與演化機(jī)制，為航班流量演變建模仿真及預(yù)測提供理論基礎(chǔ)與分析方法。

針對可視圖（visibility graph，VG）對時(shí)間序列建網(wǎng)方面的研究，2017年，邢雪等[1]結(jié)合可視圖理論來構(gòu)建交通流時(shí)間序列的關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，從復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)角度實(shí)現(xiàn)交通流時(shí)間序列的特性分析。2018 年，劉宏志等[2]利用可視圖和水平視圖（horizontal visibility graph,HVG）刻畫空中交通流波動。在此基礎(chǔ)上，有限穿越可視圖方法[3]（limited penetrable visibility graph，LPVG）也隨之發(fā)展起來，并且顯示出獨(dú)特的優(yōu)勢，近些年被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。2012年，周婷婷等[3]采用3 種可視圖網(wǎng)絡(luò)考察時(shí)間序列建網(wǎng)方法及其對周期、分形、混沌以及添加噪聲信號后的適應(yīng)能力。2016 年，Wang 等[4]采用了有限穿越可視圖和相空間方法將EEG 序列映射成網(wǎng)絡(luò)，研究AD 大腦潛在的混沌系統(tǒng)動態(tài)學(xué)。Ming等[5]對有限穿越可視圖進(jìn)行抗噪測試。2020年，Ren等[6]將有限穿越可視圖與序模體方法結(jié)合，結(jié)果證明有限穿越可視圖序模體方法有良好的魯棒性。

對于空中交通流量時(shí)間序列的動態(tài)演變和波動特征方面，2018年，張勰等[7]將復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論引入到時(shí)間序列的應(yīng)用當(dāng)中，使用motif 理論提取波動模式，結(jié)果發(fā)現(xiàn)時(shí)間序列中存在顯著的波動模式以及這些波動模式之間的轉(zhuǎn)換循環(huán)。隨后，2020年，圍繞機(jī)場空中交通流量時(shí)間序列的復(fù)雜性問題，Liu 等[8]在引入了多個(gè)粗?；倪^程中，提出了1 種改進(jìn)的MMPE 方法，有助于深入了解空中交通系統(tǒng)的演化機(jī)制，從而揭示時(shí)間序列多尺度復(fù)雜性的劇烈波動。2020 年，針對進(jìn)離場空中交通流量時(shí)間序列，劉宏志[9]從交通流波動動態(tài)演化、波動多尺度分形特征和多尺度復(fù)雜性的角度探討流量短期及長期的演變規(guī)律，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明該研究能夠?yàn)榱髁坎▌拥姆抡娼！㈩A(yù)測及管理提供科學(xué)的理論基礎(chǔ)和分析工具。

基于分析航路網(wǎng)絡(luò)特征方面，2020 年，王紅勇等[10]從復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的角度去構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)模型。2021 年，隋東等[11]引入復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)修復(fù)理論和交通流分配理論，提出了1 種航路網(wǎng)絡(luò)修復(fù)優(yōu)化策略。針對機(jī)場終端區(qū)空域內(nèi)進(jìn)離場的空中交通流，2014—2016年，有關(guān)學(xué)者分別采用建模仿真工具[12-13]、跟馳模型[14]、元胞傳輸模型[15]和實(shí)證分析[16]等方法研究終端區(qū)空中交通流量、密度和速度參數(shù)之間的動態(tài)演化關(guān)系。隨后，針對日前繁忙機(jī)場終端區(qū)常見的進(jìn)離場航線結(jié)構(gòu)，2020年，張洪海等[17]提出相應(yīng)TBO模式下的進(jìn)場交通流優(yōu)化模型，并為此構(gòu)建仿真運(yùn)行環(huán)境。

圍繞交通流時(shí)間序列內(nèi)在特征的研究，2018年，王超等[18]研究了1 種基于改進(jìn)加權(quán)一階局域法的混沌交通流量時(shí)間序列預(yù)測模型。為了研究多尺度分析的時(shí)間序列與預(yù)測策略，2004 年，Weinreich 等[19]研究預(yù)測對于時(shí)間序列在不同時(shí)間尺度上所表現(xiàn)出來的依賴性。針對航空發(fā)動機(jī)時(shí)間序列預(yù)測中嵌入維數(shù)難于有效選取的問題，2010 年，張弦等[20]提出1 種基于嵌入維數(shù)自適應(yīng)最小二乘法支持向量機(jī)的預(yù)測方法。針對交通系統(tǒng)內(nèi)在特征，2020年，為了對空中交通系統(tǒng)自組織臨界特性進(jìn)行辨別和應(yīng)用，王興隆等[21]采用冪律特性直線的斜率判斷航班延誤、航班取消的管理水平；依據(jù)Hurst 指數(shù)大小，分析系統(tǒng)的航班延誤、航班取消在自組織臨界狀態(tài)下的相關(guān)性與演化規(guī)律，結(jié)果表明空中交通系統(tǒng)呈現(xiàn)耗散結(jié)構(gòu)。

綜上所述，針對可視圖對時(shí)間序列建網(wǎng)方面的研究，僅基于單一可視圖進(jìn)行分析，缺乏對多種可視圖多時(shí)間粒度角度的分析。對于空中交通流量時(shí)間序列的動態(tài)演變和波動特征方面，僅針對傳統(tǒng)可視圖，缺乏對改進(jìn)可視圖方法的引進(jìn)和可視圖理論的創(chuàng)新。基于分析航路網(wǎng)絡(luò)特征方面，較少從波動演化角度結(jié)合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論，缺乏對時(shí)間序列復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)波動演化的研究探索。圍繞交通流時(shí)間序列內(nèi)在特征的研究，多是針對時(shí)間序列分形、混沌等方面的改進(jìn)與創(chuàng)新，對于時(shí)間序列波動特性的研究目前還較少。

為從時(shí)間維度考察3種可視圖對于空中交通的動態(tài)演化適應(yīng)能力，本文面向3個(gè)時(shí)間粒度，采用可視圖建網(wǎng)方法將進(jìn)場航班流量時(shí)間序列映射成復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，分別從網(wǎng)絡(luò)整體統(tǒng)計(jì)特性和網(wǎng)絡(luò)局部結(jié)構(gòu)模式2 個(gè)視角開展研究，考察多粒度多維度不同可視圖對于流量時(shí)間序列的波動特性適應(yīng)性以及波動模式的演化能力。

1 時(shí)間序列可視圖復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型

1.1 時(shí)間序列

按照中國民航空管流量管理運(yùn)行規(guī)則[22]扇區(qū)流量統(tǒng)計(jì)方法，本文分別基于2018年12月1日當(dāng)日和及2018 年12 月1 日—31 日整月天津機(jī)場進(jìn)場航班流量數(shù)據(jù)（06：30—23：50），天津機(jī)場進(jìn)場航班流量數(shù)據(jù)，分別采用5，10，20 min時(shí)間間隔統(tǒng)計(jì)3個(gè)時(shí)間粒度的航班流量時(shí)間序列，3個(gè)粒度的時(shí)間序列長度分別為208，104，52，時(shí)間粒度5 min，見圖1。航班當(dāng)日流量時(shí)間序列見式（1）。

圖1 天津?yàn)I海國際機(jī)場進(jìn)場航班流量時(shí)間序列Fig.1 The arrival flight flow volume time series of ZBTJ

式中：xi為第i個(gè)時(shí)段內(nèi)終端區(qū)進(jìn)場流量（架次/min）；M為時(shí)間序列的長度（節(jié)點(diǎn)數(shù)量）。

1.2 3種可視圖復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)

1.2.1 可視圖復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)

Lacasa 等[23]提出了可視圖建網(wǎng)方法（visibility graph，VG）。可視圖將復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與時(shí)間序列形成1種相互對應(yīng)的關(guān)系，這使得從復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分析得到的結(jié)論可以用來分析原始時(shí)間序列的性質(zhì)。

可視圖準(zhǔn)則定義如下[8]：如果在ti和tj之間的任何觀測值都滿足如下標(biāo)準(zhǔn)，則在ti和tj得到的觀測值xti和xtj彼此可見，并且可用可視線連接成為VG中的連接點(diǎn)對，定義見式（2）。

式中：xti為在時(shí)間周期t內(nèi)第i個(gè)時(shí)段內(nèi)終端區(qū)進(jìn)場流量數(shù)值（架次/min）。

可視圖利用柱狀體來表示流量節(jié)點(diǎn)數(shù)值的大小，用柱狀圖表示時(shí)間周期內(nèi)節(jié)點(diǎn)流量的起伏變化。若2個(gè)柱體頂端相互可見且無任何阻擋，則認(rèn)為2個(gè)節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中存在可視線。值得指出的是，節(jié)點(diǎn)與自己構(gòu)成的自環(huán)不能當(dāng)作可視線，可視線不得穿越任何柱體。例舉5 min時(shí)間粒度航班流量時(shí)間序列見圖2。

圖2 空中交通流量時(shí)間序列映射得到的可視圖Fig.2 Visibility graphs mapped from flight flow volume time series

1.2.2 水平可視圖復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)

Luque 等[24]在可視圖方法基礎(chǔ)上提出了水平可視圖（horizontal visibility graph，HVG），見圖3，其節(jié)點(diǎn)和可視線的定義與可視圖類似，并在此基礎(chǔ)上要求2 個(gè)柱體之間的可視線必須為水平狀態(tài)，期間不能有阻擋。值得注意的是，同一時(shí)間周期內(nèi)時(shí)間序列的VG可視線能夠包含HVG可視線，即HVG網(wǎng)絡(luò)總是VG網(wǎng)絡(luò)的1個(gè)子網(wǎng)絡(luò)[3]。

其水平可視性準(zhǔn)則[24]可以定義見式（3）。

式中：xti為在時(shí)間周期t內(nèi)第i個(gè)時(shí)段內(nèi)終端區(qū)進(jìn)場流量數(shù)值。任何在ti和tj之間的xtk并沒有穿越xti和xtj的直線，則該水平直線就是HVG中的1條有效可視線。例舉5 min時(shí)間粒度航班流量時(shí)間序列，見圖3。

圖3 空中交通流量時(shí)間序列映射得到的水平可視圖Fig.3 Horizontal visibility graphs mapped from flight flow volume time series

1.2.3 有限穿越可視圖復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)

有限穿越可視圖（limited penetrable visibility graph，LPVG）在可視圖的基礎(chǔ)上，定義了穿越距離N。若時(shí)間序列中2 節(jié)點(diǎn)連線截?cái)嗟臄?shù)目（即被其他節(jié)點(diǎn)截?cái)嗟膫€(gè)數(shù)）滿足d≤N，則說明2 個(gè)節(jié)點(diǎn)可連通[6]。這表明，當(dāng)2個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的連接視線被截?cái)嗟拇螖?shù)不超過有限次數(shù)N時(shí)，2 個(gè)節(jié)點(diǎn)之間是存在有效可穿越可視線的。例舉N=1時(shí)，5min時(shí)間粒度航班流量時(shí)間序列見圖4。

圖4 空中交通流量時(shí)間序列映射得到的有限穿越可視圖Fig.4 Limited penetrable visibility graphs mapped from flight flow volume time series

參數(shù)N的設(shè)置能夠有效地減少噪聲對時(shí)間序列的影響[3]。參數(shù)N越大，允許穿越的節(jié)點(diǎn)數(shù)量就越多，時(shí)間序列節(jié)點(diǎn)之間的整體關(guān)聯(lián)性就會越強(qiáng)，但是N選擇過大會相對地弱化相鄰節(jié)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)性，即N的選擇應(yīng)在合理提升抗噪能力的同時(shí)最大程度上保留可視圖局部結(jié)構(gòu)的原貌。

2 基于流量時(shí)間序列整體波動統(tǒng)計(jì)特性的3種可視圖適應(yīng)性評估

可視圖作為可直接將時(shí)間序列關(guān)系映射成復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的工具，能夠不同程度地反映出時(shí)間序列的波動特性。為了考察3種可視圖表征空中交通流時(shí)間序列復(fù)雜結(jié)構(gòu)特征的能力及對其動態(tài)波動的適應(yīng)性，采用矩陣從屬陣和k-core 等方法對不同可視圖方法流量時(shí)間序列整體波動整體統(tǒng)計(jì)特性適應(yīng)癥進(jìn)行評估。

2.1 3種可視圖映射的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征

2.1.1 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征實(shí)驗(yàn)分析

利用可視圖可視線無方向性特征構(gòu)造對等性可視化矩陣圖，對3種可視圖及其不同N取值LPVG進(jìn)行塊建模，利用塊建模網(wǎng)絡(luò)矩陣表征網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，有效地分析網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特征。全部分為上下2個(gè)部分，上部分方塊表征節(jié)點(diǎn)之間的連接關(guān)系，且沿對角線呈對稱分布狀態(tài)，下部分對應(yīng)不同時(shí)間粒度時(shí)間序列。

連接關(guān)系矩陣-時(shí)間序列圖例舉5 min時(shí)間序列見圖5～6。圖中矩陣對角線上的矩陣點(diǎn)不代表自環(huán)，全圖上下2 個(gè)部分利用不同灰度的從屬陣作為子單位，3 種時(shí)間粒度從屬陣個(gè)數(shù)分別為9，8，7，實(shí)線指向的節(jié)點(diǎn)表示從屬陣的區(qū)分節(jié)點(diǎn)，區(qū)分節(jié)點(diǎn)的計(jì)算見式（4）。

圖5 3種可視圖的網(wǎng)絡(luò)矩陣結(jié)構(gòu)圖Fig.5 Network matrix structure diagrams of three visibility graphs

圖6 不同N取值的LPVG網(wǎng)絡(luò)矩結(jié)構(gòu)圖Fig.6 Limited penetrable visibility graph network matrix structure diagrams with different N values

式中：i，j為節(jié)點(diǎn)數(shù)；xi為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)（時(shí)段）內(nèi)流量值（架次/min）；Ci為節(jié)點(diǎn)流量值大于左右節(jié)點(diǎn)流量值的最小次數(shù)；M為時(shí)間序列節(jié)點(diǎn)的總數(shù)（總長度），M=208，104，52；其中15表示經(jīng)驗(yàn)值。

實(shí)線劃分從屬陣且指向從屬陣中最高流量值節(jié)點(diǎn)，刻畫了空中交通流量時(shí)間序列從屬陣的流量峰值，全部從屬陣節(jié)點(diǎn)連接關(guān)系動態(tài)變化表征時(shí)間序列整體波動動態(tài)特征，通過計(jì)算從屬陣實(shí)際可視線比率來評估可視線密度的變化。見圖5～6，時(shí)間序列X坐標(biāo)排序方式表示從屬陣可視線比率從大到小的排列，其計(jì)算見式（5）。

式中：l為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)與n個(gè)（i＜n≤N）節(jié)點(diǎn)連接線段的數(shù)量；j為第j個(gè)從屬陣；N為從屬陣內(nèi)部總節(jié)點(diǎn)數(shù)量。

對從屬陣內(nèi)所有節(jié)點(diǎn)的可視線比率按照式（5）進(jìn)行計(jì)算，得到3種可視圖可視線比率的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，見表1，同時(shí)對不同N取值LPVG見表2。

表1 3 種可視圖從屬陣可視線比率Tab.1 Subordinate array visibility lines ratios of three visibility graphs

表2 不同N 取值LPVG 從屬陣可視線比率Tab.2 Limited penetrable visibility graph subordinate array visibility lines ratios with different N values

3 種時(shí)間粒度可視線比率LPVG（N=1）比VG高出54.9%，37.0%，27.4%，VG與LPVG（N=1）可視線比率變化呈現(xiàn)正比關(guān)系。二者均能夠表征節(jié)點(diǎn)之間的連接屬性，具備刻畫空中交通流時(shí)間序列復(fù)雜結(jié)構(gòu)特征的能力。由圖5 和表1 可見：HVG 從屬陣可視線密度極低，因?yàn)镠VG要求滿足相同數(shù)值節(jié)點(diǎn)相連的連接條件，導(dǎo)致存在可視線間斷的情形，不符合采用空中交通流量時(shí)間序列節(jié)點(diǎn)連接屬性表征波動漲幅特性的基本要求。

在LPVG連接關(guān)系中，N值越大，允許穿越的節(jié)點(diǎn)數(shù)量越多，相應(yīng)的可視線數(shù)量增多和可視線比率變大，但這種變化會削弱相鄰節(jié)點(diǎn)原始的關(guān)聯(lián)屬性，因此定義細(xì)節(jié)損失率見式（6）。

式中：j為第j個(gè)從屬陣；ρj為第j個(gè)從屬陣的可視線密度；ρ0為當(dāng)N=1 時(shí)相應(yīng)的第j個(gè)從屬陣的可視線比率。

利用式（5）～（6）繪制LPVG連接關(guān)系下不同N取值從屬陣的細(xì)節(jié)損失率見圖7，其中實(shí)線表示數(shù)值為0.5 的細(xì)節(jié)損失率，N=1 可視線比率為N=2～6的對比參數(shù)，所以N=1細(xì)節(jié)損失率為0。

圖7 不同N 取值的LPVG從屬陣細(xì)節(jié)損失率Fig.7 Limited penetrable visibility graph subordinate array detail loss rates with different N values

N=1 時(shí)數(shù)值所占節(jié)點(diǎn)數(shù)量（208，104，52）百分比分別為0.48%，0.96%，1.92%。利用LPVG 連接關(guān)系N=1 可視線比率數(shù)值作為對比參量，N值的選擇需要確保細(xì)節(jié)損失率至少在0.5以內(nèi)，保證相鄰節(jié)點(diǎn)的信息失真率在此范圍內(nèi)變化達(dá)到較為真實(shí)反映節(jié)點(diǎn)的連接屬性的條件。

2.1.2 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征實(shí)驗(yàn)分析結(jié)果

綜上所述，其計(jì)算結(jié)果如下。

1）時(shí)間粒度為5 min時(shí)（208節(jié)點(diǎn)）N=2 和N=3的從屬陣細(xì)節(jié)損失率均值分別為0.270 和0.461，N值數(shù)值所占節(jié)點(diǎn)數(shù)量百分比為0.962%和1.442%；

2）當(dāng)時(shí)間粒度為10 min時(shí)（104節(jié)點(diǎn)），N=2～6細(xì)節(jié)損失率均值范圍在0.145～0.337，N=2～6 數(shù)值所占節(jié)點(diǎn)數(shù)量百分比為1.923%～5.770%；

3）當(dāng)時(shí)間粒度為20 min 時(shí)（52 節(jié)點(diǎn)），N=2～6細(xì)節(jié)損失率均值范圍在0.072～0.130，N=2～6 數(shù)值所占節(jié)點(diǎn)數(shù)量百分比為3.846%～11.538%。

時(shí)間粒度設(shè)置為10，20 min 能夠保證N=2～6情況下細(xì)節(jié)損失率都小于0.5，這是因?yàn)闀r(shí)間粒度選擇過大導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)后的流量時(shí)間序列縮短，原始時(shí)間序列整體節(jié)點(diǎn)連接特征被削弱，所以N=2～6 不同N取值情況下，被削弱整體統(tǒng)計(jì)特征的流量時(shí)間序列不能夠表達(dá)出更多的細(xì)節(jié)特性，以至于從屬陣細(xì)節(jié)損失率能夠保持在0.5以內(nèi)。

基于上述對3 種可視圖網(wǎng)絡(luò)及其不同N 取值LPVG網(wǎng)絡(luò)整體結(jié)構(gòu)的分析，結(jié)論如下。

1）VG與LPVG能夠表征節(jié)點(diǎn)之間的連接屬性，能夠具備刻畫空中交通流時(shí)間序列復(fù)雜結(jié)構(gòu)特征的能力，HVG不符合采用空中交通流量時(shí)間序列節(jié)點(diǎn)連接屬性表征波動漲幅特性的基本要求。

2）對于LPVG而言，N選取數(shù)值與節(jié)點(diǎn)數(shù)量占比在0.48%～1.442%區(qū)間既能夠保證細(xì)節(jié)損失率在0.5范圍內(nèi)，又能確保在不損失時(shí)間序列相鄰節(jié)點(diǎn)連接信息屬性的前提下，最大程度表征該時(shí)間序列的動態(tài)波動特征，針對該交通流時(shí)間序列研究中推薦使用208（時(shí)間粒度為5 min）節(jié)點(diǎn)N=1～3 的LPVG網(wǎng)絡(luò)。

2.2 k-core 評估3 種可視圖對于流量波動特征的適應(yīng)性

2.2.1 流量波動特征實(shí)驗(yàn)分析

在可視圖中，節(jié)點(diǎn)的流量值差異越大，漲落起伏越劇烈，可視線越密集。因此，可視線的密度反映了流量時(shí)間序列的波動強(qiáng)度。為了刻畫流量時(shí)間序列的整體波動強(qiáng)度，采用k-core算法[25]對所得到的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行節(jié)點(diǎn)聚類分析。該算法利用節(jié)點(diǎn)的度刻畫單個(gè)節(jié)點(diǎn)的連接關(guān)系，度越大，節(jié)點(diǎn)的可視線越多，節(jié)點(diǎn)階數(shù)越大，因此可用k階核量化流量的波動強(qiáng)度。

k階核定義：對于圖G=（V，L）（V是節(jié)點(diǎn)，L是連邊），定義n=|V|，m=|L|，W 是節(jié)點(diǎn)集合，則定義子圖H=（W，L|W）當(dāng)且僅當(dāng)?Degree_V（V∈H）≥k,且H是1 個(gè)具有這樣屬性的最大子網(wǎng)絡(luò)時(shí)，稱H 為節(jié)點(diǎn)集合W誘導(dǎo)的1個(gè)k階核。各節(jié)點(diǎn)所屬核的階數(shù)為其所能參與的最高的k階。該方法能夠得到節(jié)點(diǎn)度不小于k的最大子網(wǎng)絡(luò)。

基于上節(jié)結(jié)論，后續(xù)內(nèi)容不涉及水平可視圖，同時(shí)LPVG連接關(guān)系時(shí)使用208（時(shí)間粒度為5 min）節(jié)點(diǎn)N=1～3。采用k-core 波動強(qiáng)度算法考察VG 與LPVG對波動動態(tài)的適應(yīng)性。2種可視圖采用k-core算法分類的可視化網(wǎng)絡(luò)見圖8，表3 為k-core 統(tǒng)計(jì)特性。

表3 k-core 統(tǒng)計(jì)特性Tab.3 The statistic characteristics of k-core

圖8 3種可視圖k-core網(wǎng)絡(luò)圖Fig.8 Three visibility graphs k-core network graphs

VG，LPVG（N=1），LPVG（N=2），LPVG（N=3）網(wǎng)絡(luò)k-core 算法中core 分類數(shù)量分別為8，13，17，20，同時(shí)最高頻數(shù)k-core 分別為5 階核（44次）、10 階核（53 次）、16 階核（44 次）和20 階核（58次）。允許穿越節(jié)點(diǎn)（N）數(shù)量增加1，最高頻數(shù)k階核分別能夠增長100%（5階核）、60%（6階核）和25%（4 階核）?？梢晥D可穿越距離（N）越大，節(jié)點(diǎn)k階核種類越多，最高頻次k階核階數(shù)越高，刻畫流量時(shí)間序列的波動的動態(tài)特征就越細(xì)致。

依據(jù)以下計(jì)算步驟，進(jìn)一步考察2 種可視圖時(shí)對時(shí)間序列整體波動態(tài)勢的適應(yīng)性，見圖9～10。

1）將2018 年12 月1 日—31 日相同時(shí)段的時(shí)間序列采用VG與LPVG連接關(guān)系，利用k-core算法得出相應(yīng)階數(shù)。

2）1個(gè)月節(jié)點(diǎn)階數(shù)見式（7）。

式中：Ki為1 個(gè)月的求和k階核；i為時(shí)間節(jié)點(diǎn)，1 ≤i≤M；M為時(shí)間序列長度208；j為日期（1—31日）。

3）1個(gè)月的流量值見式（8）。

式中：Xi為1 個(gè)月流量平均值；架次/min；i為時(shí)間節(jié)點(diǎn)，1 ≤i≤M；M為3 個(gè)時(shí)間序列長度208；j為日期（1—31日）。

4）繪制計(jì)算結(jié)果，并且用不同灰度標(biāo)注。再利用方差評估1個(gè)月k-core浮動變化波動適應(yīng)性評估值。

圖9 為時(shí)間序列1 個(gè)月k-core 整體波動趨勢，4種情形都能夠通過k-core算法表現(xiàn)時(shí)間序列整體波動趨勢，k-core 在N=3 情形下呈現(xiàn)最大值。在此基礎(chǔ)上，考察4種情形1個(gè)月k-core浮動變化波動適應(yīng)性評估值見圖10。

圖9 時(shí)間序列整體波動態(tài)勢Fig.9 Overall fluctuation trend of the time series

圖10 為4 種情形下1 個(gè)月的k-core 浮動變化波動適應(yīng)性評估值。VG 均值為2.665，LPVG 關(guān)系N=1 為4.810、N=2 為6.973、N=3 為9.883。隨著N值的增大，波動適應(yīng)性評估值提高80.5%（2.145）、45.0%（2.163）和41.7%（2.910）。

圖10 方差評估波動適應(yīng)性Fig.10 Variance assessment fluctuation adaptability

2.2.2 流量波動特征實(shí)驗(yàn)分析結(jié)果

綜上所述，基于上述對3種可視圖網(wǎng)絡(luò)及其不同N取值LPVG流量波動特性實(shí)驗(yàn)的分析，結(jié)論如下。

1）可視圖可穿越距離（N=1～3）越大，k-core浮動變化波動適應(yīng)性評估值越高，對于時(shí)間序列動態(tài)波動的適應(yīng)性能力越強(qiáng)，越能夠有效精準(zhǔn)刻畫時(shí)間序列動態(tài)波動特性。

2）基于上述對VG及其N=1～3取值LPVG網(wǎng)絡(luò)波動適應(yīng)能力的分析可知，VG 與LPVG（N=1～3）都能夠表征空中交通流量時(shí)間序列的波動強(qiáng)度，刻畫時(shí)間序列的動態(tài)波動特征。

3）VG 與LPVG（N=1～3）網(wǎng)絡(luò)對時(shí)間序列波動適應(yīng)性評估值為2.665，4.810，6.973，9.883。

3 2 種可視圖網(wǎng)絡(luò)對流量局部結(jié)構(gòu)波動動態(tài)演化能力評估

為了揭示VG 與LPVG（N=1～3）網(wǎng)絡(luò)對于流量時(shí)間序列局部動態(tài)演化能力，采用序模體方法，從網(wǎng)絡(luò)局部結(jié)構(gòu)角度分析研究二者對于交通流的動態(tài)演化能力。

Shen-Orr 等[26]提出了模體（motif）概念，Iacovacci等[27]受到啟發(fā)提出了序模體概念，在此基礎(chǔ)上Ren等[6]提出了有限穿越可視圖序模體。在可視圖節(jié)點(diǎn)按時(shí)間順序排列的情況下，構(gòu)造1個(gè)滑動窗口，依序滑動，在每個(gè)窗口中得到的網(wǎng)絡(luò)子結(jié)構(gòu)（即子網(wǎng)絡(luò)）就是1個(gè)有可視圖序模體。

針對VG與LPVG（N=1～3）映射得到的4個(gè)可視圖網(wǎng)絡(luò)，此時(shí)4 種網(wǎng)絡(luò)能夠存在的最小序模體節(jié)點(diǎn)數(shù)量為3，4，5，6。因?yàn)楫?dāng)N=1 時(shí)，時(shí)間序列2 個(gè)節(jié)點(diǎn)之間只相隔1 個(gè)節(jié)點(diǎn)的可視線必定存在，這表明LPVG（N=1）網(wǎng)絡(luò)要刻畫波動模式的差異需要4個(gè)節(jié)點(diǎn)以上長度的序模體，N=2～3 以此類推。

3.1 序模體類型

在得到的VG 網(wǎng)絡(luò)中3，4，5 節(jié)點(diǎn)序模體出現(xiàn)的類型總數(shù)2種、5種和22種，LPVG（N=1）網(wǎng)絡(luò)4，5，6 節(jié) 點(diǎn) 序 模 體 分 別 有2 種、6 種 和32 種，LPVG（N=2）網(wǎng)絡(luò)5，6，7 節(jié)點(diǎn)序模體分別有2 種、6 種和34種，LPVG（N=3）網(wǎng)絡(luò)6，7，8節(jié)點(diǎn)序模體分別有2種、6 種和34 種。例舉LPVG（N=1）的所有序模體類型見圖11。

圖11 LPVG（N=1）流量時(shí)間序列中出現(xiàn)的序模體類型Fig.11 Sequential motif types of limited penetrable visibility graph（N=1）presented in the flow time series

3.2 4 種情形下表征流量波動模式動態(tài)演化的能力評估

將流量時(shí)間序列中每1個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的空中交通流量視為1個(gè)節(jié)點(diǎn)，而節(jié)點(diǎn)之間的連接關(guān)系由2種可視圖中的可視線準(zhǔn)則確定，分別按照不同節(jié)點(diǎn)長度寬度設(shè)置滑動窗口，移動步長為1，當(dāng)滑動窗口移動經(jīng)過所有的節(jié)點(diǎn)，則得到時(shí)間序列中出現(xiàn)的所有序模體。將不同序模體類型作為波動模式動態(tài)轉(zhuǎn)化圖中的不同節(jié)點(diǎn)，按照滑動窗口的移動所體現(xiàn)的類型轉(zhuǎn)移關(guān)系，繪制不同序模體類型之間的轉(zhuǎn)移方向，即波動模式動態(tài)轉(zhuǎn)化圖中相應(yīng)節(jié)點(diǎn)之間的有向邊，當(dāng)滑動窗口完成在整個(gè)時(shí)間序列上的移動后，即可得到空中交通流量波動模式動態(tài)轉(zhuǎn)化圖。表4描述了在不同單位尺度下每種模式的統(tǒng)計(jì)特征，包括每種類型出現(xiàn)次數(shù)和轉(zhuǎn)移次數(shù)的均值（μ）和標(biāo)準(zhǔn)差（σ）。

在表4 中，VG 與LPVG（N=1～3）允許穿越的節(jié)點(diǎn)數(shù)量（N取值）越大序模體長度越長，序模體越長導(dǎo)致序模體類型出現(xiàn)次數(shù)的均值（μ）以及序模體類型轉(zhuǎn)移頻次（μ）變小，說明N取值較大會影響LPVG網(wǎng)絡(luò)對于時(shí)間序列局部結(jié)構(gòu)波動動態(tài)的演化結(jié)果。例舉LPVG（N=1）多元序模體轉(zhuǎn)移矩陣圖以及4種情形下序模體轉(zhuǎn)移概率圖見圖12～13。

圖12 序模體矩陣圖Fig.12 Sequential motif matrix diagram

表4 序模體動態(tài)演化的統(tǒng)計(jì)特征Tab.4 Statistical characteristics of sequential motifs dynamic evolutions

通過對多元序模體轉(zhuǎn)移態(tài)勢進(jìn)行描繪，VG 以及LPVG（N=1～3）的3，4，5，6節(jié)點(diǎn)序模體只有2種序模體類型，并且轉(zhuǎn)移概率幾乎相同，所以不具備研究價(jià)值。而VG以及LPVG（N=1～3）的5，6，7，8節(jié)點(diǎn)序模體所包含的序模體種類為22，32，34，34，由于序模體轉(zhuǎn)移類型過多，而主要的轉(zhuǎn)移模式次數(shù)過少，導(dǎo)致序模體類型轉(zhuǎn)移的識別不夠明顯，轉(zhuǎn)移概率過低。故對4種情形可視圖序模體長度優(yōu)先選擇4，5，6，7 節(jié)點(diǎn)。4 種情形可視圖序模體長度為4，5，6，7節(jié)點(diǎn)的序模體轉(zhuǎn)移概率分布圖見圖14。

通過圖14對4種情形序模體轉(zhuǎn)移概率分布情況的描繪，VG網(wǎng)絡(luò)序模體轉(zhuǎn)移概率方差為0.079 67，且大于LPVG（N=1～3）的3組方差（0.049 8，0.051 89，0.071 47），4 種情形可視圖序模體方差最小值為LPVG 的N=1 情況，且能夠低于其他3 組網(wǎng)絡(luò)平均0.0179。

圖14 序模體轉(zhuǎn)移概率分布圖Fig.14 Transition probability distribution curve of sequential motifs

圖13 序模體轉(zhuǎn)移概率圖Fig.13 Transition probability graphs of sequential motifs

3.3 4 種情形下表征流量波動模式動態(tài)演化的能力評估結(jié)果

綜上所述，對VG及其N=1～3 取值LPVG網(wǎng)絡(luò)局部波動動態(tài)演變能力分析，結(jié)論如下。

1）由于序模體過長在空中交通混沌特性的影響下對于預(yù)測沒有意義，VG 及其N=1～3 取值LPVG 網(wǎng)絡(luò)序模體長度推薦使用選擇4，5，6，7 節(jié)點(diǎn)長度；

2）LPVG（N=1）網(wǎng)絡(luò)5-node 序模體能夠確保序模體類型數(shù)量以及序模體類型出現(xiàn)次數(shù)和序模體類型轉(zhuǎn)移頻次以及處于1 個(gè)合理數(shù)值范圍內(nèi)，同時(shí)序模體轉(zhuǎn)移概率方差低于其他3 組網(wǎng)絡(luò)平均0.017 9，能維持1個(gè)穩(wěn)定均勻變化的水平。

4 結(jié)束語

1）針對天津機(jī)場進(jìn)場航班流量數(shù)據(jù)，LPVG 網(wǎng)絡(luò)N 選取數(shù)值與節(jié)點(diǎn)數(shù)量占比在0.48%～1.442%區(qū)間能夠保證細(xì)節(jié)損失率在0.5范圍內(nèi)，即使用LPVG網(wǎng)絡(luò)208（時(shí)間粒度為5 min）節(jié)點(diǎn)N=1～3。

2）VG 與LPVG（N=1～3）均能有效刻畫航班流量時(shí)間序列的波動強(qiáng)度，其對時(shí)間序列波動動態(tài)特性的適應(yīng)性評估值分別為2.665，4.810，6.973，9.883。

3）由于序模體過小導(dǎo)致類型轉(zhuǎn)移概率趨于相同，過長在交通流混沌特性的影響下對于預(yù)測沒有意義，故VG及其N=1～3 取值LPVG網(wǎng)絡(luò)序模體長度推薦使用選擇4，5，6，7節(jié)點(diǎn)長度。LPVG（N=1）網(wǎng)絡(luò)5-node序模體能夠確保序模體類型數(shù)量以及序模體類型出現(xiàn)次數(shù)和序模體類型轉(zhuǎn)移頻次以及處于1個(gè)合理數(shù)值范圍內(nèi)，同時(shí)序模體轉(zhuǎn)移概率方差平均低于其他3組網(wǎng)絡(luò)0.017 9。

綜上所述，針對以日或月為單位的航班流量時(shí)間序列整體波動動態(tài)特性的分析，以及網(wǎng)絡(luò)局部波動動態(tài)演化的研究，使用較小時(shí)間粒度映射成時(shí)間序列，并且選擇使用LPVG 網(wǎng)絡(luò)，N取值為1，深入分析波動模式轉(zhuǎn)移概率矩陣和準(zhǔn)確揭示空中交通時(shí)間維度的演變規(guī)律可以對航班的延誤預(yù)測提供依據(jù)，并對航班實(shí)際運(yùn)行管理提供先導(dǎo)性作用。

本文研究只涉及1 d 及1 個(gè)月的進(jìn)場航班流量數(shù)據(jù)，所以后續(xù)以此進(jìn)行航班流量時(shí)間序列波動特性預(yù)測所得到的精度將會受到影響。后續(xù)考慮使用1年或者更長時(shí)段的航班交通流量數(shù)據(jù)，并且增加其他相關(guān)信息，如天氣條件、進(jìn)離場排序等。