顏 坤,馬家慶

(貴州大學(xué)電氣工程學(xué)院,貴州 貴陽 550025)

0 引言

近年來，隨著經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，國內(nèi)自動化水平迅速提升，以電機為核心的驅(qū)動控制領(lǐng)域取得了長足進(jìn)步，并且深入到各行各業(yè)。為了使永磁同步電機(permanent magnet synchronous machine,PMSM)性能指標(biāo)更加突出，不僅需要對控制器進(jìn)行研究，還需要匹配對應(yīng)性能指標(biāo)最優(yōu)的采樣率，以實現(xiàn)更高的效率。Utkin和Emelyanov[1-2]提出的滑模控制(sliding mode control,SMC)是一類可變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。目前，SMC已在許多領(lǐng)域成功實施，在滑動面設(shè)計方面，有學(xué)者選擇比例積分(proportional integral,PI)滑模面[3]，也有學(xué)者選擇比例微分(proportional differential,PD)滑模面[4]。已有學(xué)者證明，比例積分微分(proportional integral differential,PID)滑模面可提供比PD滑模面更快的響應(yīng)[5]。

本文提出了一種新型分?jǐn)?shù)階雙冪次快速趨近率，通過理論與仿真證明所提新型趨近率的穩(wěn)定性、可達(dá)性以及存在性。

在計算機控制系統(tǒng)中，為了使計算機能處理被控對象的輸入和輸出信號，首先要將誤差信號這一模擬量按一定的采樣周期T進(jìn)行采樣。采樣率控制系統(tǒng)的研究也開始得較早。通過單采樣率設(shè)計，保證了離散時間模型輸入狀態(tài)的穩(wěn)定性[6]。此外，也有學(xué)者提出頻域分解方法，以及傳遞函數(shù)的方法[7]。本文通過采樣率對最小相位系統(tǒng)理論分析，試驗驗證理論的可行性，并得出采樣率對永磁同步電機的滑?？刂菩阅苡绊懙慕Y(jié)論。

1 采樣率對控制系統(tǒng)理論分析

采樣定理是將連續(xù)時間信號轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散時間信號的有效工具[8]。當(dāng)永磁同步電機沒有負(fù)載時，其矢量控制模型可通過標(biāo)準(zhǔn)形式表達(dá)為：

(1)

式中：x(t)為系統(tǒng)狀態(tài)變量，x(t)∈Rn；u(t)為系統(tǒng)控制輸入,u(t)∈Rn；y(t)為系統(tǒng)輸出觀測量y(t)∈Ra；A∈Rn×n、B∈Rn×m、C∈Ra×n、G1∈Rn×b均為系統(tǒng)矩陣。

由于電機矢量控制系統(tǒng)中存在包含滑模非線性控制器在內(nèi)的非線性部分，所以f[x(t)]∈Rb總存在一個非負(fù)常數(shù)μ，使之滿足Lipschitz條件：

(2)

假設(shè)：系統(tǒng)矩陣(A,C)可觀和(A,G1)可控，且(A+αI,G1,C)滿足最小相位最小相位條件；I為單位矩陣；參數(shù)α>0。

對于無負(fù)載的矢量控制系統(tǒng)，設(shè)計采樣觀測器如式(3)所示。

(3)

式中：L=QCT∈Rn×a，Q為對稱對稱正定矩陣，并且可通過LQ Riccati方程求得。

在(A,C)可觀和(A,G1)可控的條件下，對于符合α>0和ε>0，始終存在一個對稱正定矩陣Q滿足LQ Riccati方程[8-9]。而存在對稱正定矩陣Q-1，滿足LQ Riccati方程的條件是當(dāng)且僅當(dāng)式(4)成立。

(4)

定義參數(shù)ε>0和δ>1。若滿秩矩陣C和G1滿足rank(CT)=rank(G1)，且(A+αI,G1,C)是最小相位系統(tǒng)，那么存在正定矩陣Q-1滿足以下條件：

(5)

(6)

通過式(5)和式(6)，求出正定矩陣Q和參數(shù)ε。若存在采樣周期T滿足不等式(7)條件，則說明對任意常數(shù)μ的誤差估計系統(tǒng)是全局指數(shù)穩(wěn)定。對于不等式(7)，一定存在一個足夠小的采樣周期T。則T為式(7)的最優(yōu)解[9]。

(7)

2 滑?？刂破髟O(shè)計及仿真分析

2.1 滑?？刂破髟O(shè)計

本文提出一種新型分?jǐn)?shù)階雙冪次快速趨近率，為：

(8)

式中:k1>0；k2>0；0

系統(tǒng)能快速趨近滑模面。當(dāng)系統(tǒng)接近滑模面時，趨近速度能較快降低并穩(wěn)定在滑模面附近，而冪函數(shù)能明顯解決系統(tǒng)抖振問題。

通過李雅普洛夫(Lyapunov)函數(shù)，證明提出的新型趨近率的可達(dá)性和存在性：

(9)

對式(9)求導(dǎo)，并將式(8)代入式(9)，有：

(10)

用滑?？刂破鞔?zhèn)鹘y(tǒng)矢量控制中速度環(huán)的PI控制器。定義以下非線性滑模面切換函數(shù)：

s=cx1+x2c>0

(11)

式中：c為待定參數(shù)；x1為系統(tǒng)狀態(tài)變量。

定義PMSM狀態(tài)變量：

(12)

式中:ωref為電機參考轉(zhuǎn)速，通常為常量；ωma為電機實際轉(zhuǎn)速。

對式(11)求導(dǎo)，并將式(12)代入式(11)。令s=σ,有：

(13)

(14)

2.2 PMSM滑模變結(jié)構(gòu)控制仿真分析

圖1 滑?？刂破鞣抡婺Ｐ虵ig.1 Simulation model of sliding mode controller

三種控制器速度響應(yīng)曲線如圖2所示。圖2中，分別為基于PI控制器、基于指數(shù)趨近率的滑模控制器以及基于新型趨近率的滑?？刂破鞯乃俣软憫?yīng)曲線。在0.2 s處，同時加入10 N·m的負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

圖2 三種控制器速度響應(yīng)曲線Fig.2 Speed response curves of three controllers

由圖2可知，采用PI控制器、基于指數(shù)趨近率的滑模控制器以及基于新型趨近率的滑?？刂破飨碌碾姍C速度響應(yīng)時間分別為0.018 s、0.014 s、0.007 s，超調(diào)量分別為253 r/min、222 r/min、6 r/min。在0.2 s加負(fù)載后，本文設(shè)計的滑模控制器的魯棒性能明顯高于PI控制器。

三種控制器電機定子三相電流如圖3所示。由圖3可知，新型趨近率的定子三相電流脈動較小。新型趨近率控制器電機空載啟動到穩(wěn)定時間約為0.02 s，而PI控制器和基于指數(shù)趨近率的滑模控制器分別為0.07 s、0.06 s；0.2 s后加入負(fù)載。對比結(jié)果表明新型趨近率的定子三相電流脈動質(zhì)量更好。

圖3 三種控制器電機定子三相電流Fig.3 Three-phase current of the stator motor of the three controllers

三種控制器電機電磁轉(zhuǎn)矩如圖4所示。

由于啟動時新型趨近率超調(diào)量微小，在0.2 s時加入10 N·m負(fù)載后，新型趨近率的抖振相對最小，效果最穩(wěn)定；PI控制器抖振大，波動明顯。

3 控制系統(tǒng)的平臺搭建與試驗驗證

搭建以TMS320F28335為控制核心的PMSM試驗平臺。平臺由計算機、直流穩(wěn)壓電源、驅(qū)動板、控制板、PMSM、磁粉制動器搭建組成。

本次試驗電機的型號為ACSM80。電機額定電壓為220 V，額定功率為0.75 kW,額定轉(zhuǎn)矩為2.4 N·m，最大轉(zhuǎn)矩為7.2 N·m，額定轉(zhuǎn)速為3 000 r/min，額定電流為4.22 A，相電阻為0.901 Ω，相電感為6.552 mH，極對數(shù)為4對。

這里對電機的速度響應(yīng)在不同采樣率下進(jìn)行試驗分析，即分別測試永磁同步電機在滑模變控制器下7～12 kHz的速度響應(yīng)。試驗中，通道1是電機速度響應(yīng)，對應(yīng)電機實際轉(zhuǎn)速為1 050 r/min，通過磁粉制動控制器給電機加入4 N·m的負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

通道1垂直間隔單位為200 mV,水平間隔單位為500 ms。電機轉(zhuǎn)速降通過示波器電壓線性表示，單位為mV。通過試驗可以看出，電機在7～12 kHz采樣率加負(fù)載時電機的響應(yīng)時間分別是715 ms、650 ms、640 ms、660 ms和920 ms。因此，電機在9 kHz采樣率時電機響應(yīng)時間較快。電機在7～12 kHz采樣率加負(fù)載時電機的轉(zhuǎn)速降低分別是56.6 mV、63.3 mV、63.3 mV、80 mV、86.6 mV和96 mV。因此，電機在7 kHz采樣率時其穩(wěn)態(tài)誤差最低。

試驗還測試了當(dāng)電機轉(zhuǎn)速為1 050 r/min時加速60 r/min的加速響應(yīng)情況。從試驗中可看出，電機在滑模變控制器下7～12 kHz的提速響應(yīng)時間分別是238 ms、265 ms、325 ms、318 ms、375 ms和248 ms。顯然，采樣率在7 kHz時響應(yīng)時間最短。而在采樣率分別是9 kHz、10 kHz、11 kHz和12 kHz時，電機提速出現(xiàn)了超調(diào)量，采樣率越高其超調(diào)量越明顯。試驗驗證在電機減速的時候也具有相同的結(jié)論。

由于受到軟硬件限制，不排除采樣頻率受到周期中斷的影響。但采樣率范圍設(shè)置在7～12 kHz時，針對轉(zhuǎn)速超調(diào)量、響應(yīng)時間等某一項性能指標(biāo)有最優(yōu)采樣周期。就上述試驗而言，永磁同步電機加負(fù)載在采樣率為9 kHz時，電機響應(yīng)時間比較短；在系統(tǒng)允許的范圍內(nèi)適當(dāng)降低采樣率，可使電機轉(zhuǎn)速穩(wěn)定性相對較高；在電機加減調(diào)速時，一定范圍內(nèi)的采樣率越高，則其響應(yīng)時間越長，其超調(diào)量也越明顯。

4 結(jié)論

本文提出一種新型趨近率，設(shè)計滑?？刂破鞑⑵鋺?yīng)用于永磁同步電機矢量控制系統(tǒng)速度環(huán)，再由理論與仿真試驗證明其有效性及可行性。通過研究采樣率對永磁同步電機滑?？刂菩阅苡绊?，證明了存在任意非負(fù)常數(shù)u，使得誤差估計是穩(wěn)定收斂的。最佳采樣周期T可通過求解多階線性矩陣不等式得到，即誤差估計穩(wěn)定收斂的最佳采用周期存在。試驗分析了采樣頻率在7～12 kHz電機加減速以及加減負(fù)載時的速度響應(yīng)，得出針對某項性能相對最優(yōu)的結(jié)論：永磁同步電機加載在采樣率為9 kHz時電機響應(yīng)時間較短；加減調(diào)速時，在一定范圍內(nèi)采樣率越高，其響應(yīng)時間越長，且超調(diào)量越明顯。本文設(shè)計適用于工程應(yīng)用。