王大浩, 平雪良

(江南大學 機械工程學院 江蘇省食品先進制造裝備技術(shù)重點實驗室，江蘇 無錫 214122)

0 引 言

目前視覺伺服的研究主要包括有：1)基于位置的視覺伺服(position-based visual servo,PBVS)；2)基于圖像的視覺伺服(IBVS)；3)混合視覺伺服， PBVS與IBVS組合使用[1]。IBVS方案由于其固有的對攝像機標定缺陷的魯棒性，它相比其他兩種方案效率更高。由于視覺伺服主要基于相機獲得的圖像上感興趣的特征位置提取的視覺信息，Chaumette F[2]提出了一個關(guān)鍵問題即某些硬可見性約束的滿足，這是因為感興趣的特征應(yīng)始終位于攝像機運動期間的相機視場中，盡管處理硬約束非常具有挑戰(zhàn)性，其研究仍有不斷的進展。Allibert G等人[3]在模型預測控制框架下研究了視場(field of view，F(xiàn)OV)約束，在Chesi G[4],Kazemi M等人[5]的研究中，攝像機運動在3D空間中的路徑規(guī)劃以及隨后在圖像平面上的投影都被用來計算不違反FOV約束的攝像機運動。但上述策略在很大程度上依賴于3D重建和相機校準參數(shù)的知識，計算量大，在快速實時實現(xiàn)中的適用性也不令人滿意。

與IBVS方案相關(guān)的另一個重要問題是閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。在沒有系統(tǒng)的過程來準確地施加預定義的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能規(guī)范的情況下，Morel G等人[6]假定了任務(wù)錯誤的一些界限。朝著這個方向，傳統(tǒng)的IBVS方案中通常是適當?shù)卣{(diào)優(yōu)控制增益，但對于所實現(xiàn)的性能沒有任何先驗的保證。Bechlioulis C P等人[7]提出了多輸入多輸出誤差轉(zhuǎn)換系統(tǒng)，來達到穩(wěn)定約束的效果，高學輝等人[8]提出的一種Hammerstein系統(tǒng)的自適應(yīng)控制，同樣通過誤差轉(zhuǎn)換來保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。王紅旗等人[9]通過Kalman濾波設(shè)計了穩(wěn)定的控制器。

本文研究的對象為IBVS方案，與上述研究不同，提出了一種新的預設(shè)規(guī)定性能函數(shù)，通過該函數(shù)將誤差轉(zhuǎn)換為預設(shè)收斂區(qū)間，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計視覺伺服控制器，通過證明來驗證控制器的可行性。

1 系統(tǒng)描述

1.1 系統(tǒng)模型

基于圖像的視覺伺服是以針孔模型(圖1)為基礎(chǔ)進行的，給出空間中的任意一組三維坐標Pi=[xi,yi,zi]T,i=1,2,…,n，它們在像素坐標為si=[ui,vi]T,i=1,2,…,n，由式(1)得出

si=[ui,vi]T=f/zi[xi,yi]T

(1)

圖1 攝像機成像幾何模型

式中f為攝像機的焦距。因此，攝像機的運動對圖像平面上的特征坐標的影響為

(2)

式中V=[Tx，Ty,Tz,ωx,ωy,ωz]T為攝像機的運動速度。

定義圖像的整體特征向量

(3)

式中L(z,s)為整體交互矩陣。由于相機的視野范圍有限，圖像坐標滿足如下約束

umin≤ui≤umax,i=1,2,…,n

vmin≤vi≤vmax,i=1,2,…,n

(4)

式中umin，vmin，umax，umax分別為圖像平面坐標的上下界(單位：像素)。因此，在設(shè)計IBVS的方案時，必須確保滿足可見性約束。

1.2 動態(tài)系統(tǒng)局部連續(xù)性

考慮系統(tǒng)的初值問題

其中,Ωψ?R為非空開集。

定理1[11]：如果H(t,ψ)滿足；1)函數(shù)ψ在t∈R滿足局部Lipschitz函數(shù);2)函數(shù)ψ∈Ωψ在t的各個區(qū)間上分段連續(xù);3)函數(shù)ψ∈Ωψ在t的各個區(qū)間上局部可積；那么ψ(t)在區(qū)間[0,τmax)存在最大解且滿足ψ(t)∈Ωψ,?t∈[0,τmax)。

2 規(guī)定性能函數(shù)

定義圖像的特征誤差如下

(5)

對于所有t≥0，通過下列不等式給出規(guī)定性能函數(shù)

(6)

其中

(7)

(8)

這樣，確保了

(9)

(10)

圖2 規(guī)定性能函數(shù)

3 控制器設(shè)計

對于式(3)的系統(tǒng)，考慮視場約束、圖像特征誤差以及期望的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)性能，控制器設(shè)計如下

V(s,t)=-kL+E,k>0

(11)

式中L+為圖像雅可比矩陣的偽逆矩陣，E為誤差矩陣

(12)

其中，歸一化的圖像特征誤差

這樣可以保證式(6)所指示的特征誤差局部漸近穩(wěn)定，因此規(guī)定了瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能，且沒有違反視場約束。

接下來證明系統(tǒng)誤差收斂于規(guī)定性能函數(shù)。首先定義歸一化特征誤差向量

對歸一化的特征誤差進行時間上的微分，代入式(3)、式(11)、式(12),則ξ的閉環(huán)動力系統(tǒng)為

(13)

定義開放集合Ωξ(-1,1)2n，證明分兩步進行，首先證明控制方案的局部穩(wěn)定，接著證明提出的控制方案的全局穩(wěn)定。

h(t,ξ)在t上連續(xù)，ξ在集合Ωξ滿足局部Lipschitz函數(shù)，根據(jù)定理1可得：

ξ(t)在區(qū)間[0,τmax)存在最大解使得ξ(t)∈Ωξ,?t∈[0,τmax)成立。

(14)

根據(jù)文獻[13]，可以得到

其中,O(e,t)|e=0=0,?t≥0,代入式(14)，得到

同時，控制律為

(15)

最后，對e=0時進行線性化，得到[13]

(16)

(17)

取式(12)中的反對數(shù)函數(shù)，可得

(18)

其中

最后，根據(jù)式(12)可得控制輸入式(11)對所有t∈[0,τmax)也是有界的。接下來證明τmax推廣到∞的情況。

4 實驗驗證

為了驗證理論結(jié)果以及提出的規(guī)定性能的IBVS方案的有效性，使用UR5六自由度機械臂進行實驗，該機械手末端配備一個校準的Kinect相機以觀察平面目標，如圖3所示，目標有4個彩色圓形組成，圓心坐標表示特征圖像的坐標。

圖3 UR5手眼機器人系統(tǒng)

期望的相機位姿為p*[0,0,0.4,0,0,0]，因此，在上述相機期望姿勢下捕獲的圖像提取的期望特征坐標為s*=[92.5,-92.5,-92.5,-92.5,92.5,92.5,-92.5,92.5],目標的初始相機位姿為p(0)=[-0.229,0.11,0.518,0.375,0.324,-0.497]目標在像素坐標系下的初始坐標為s(0)=[-99.0,-116.5,-197.0,-52,-25.5,-12.5,-123.5,42.5]。

如前文所述，選擇每個圖像的期望特征坐標作為性能函數(shù)的初始值，這樣所有特征都保留在相機的視野范圍內(nèi)。具體來說，圖像平面的參數(shù)最值為umax=319,umin=-319，vmax=239,vmin=-239。

此外，性能參數(shù)ρ∞選取為5個像素。因此，最終每個特征的中心將被限制在圖像平面中所需位置周圍10像素邊緣的正方形內(nèi)。最后，選擇遞減率l=0.45，正如預期的那樣，特征坐標誤差被保留在相應(yīng)的性能區(qū)域(參見圖4(a))，因此特征被限制在如圖5所示的攝像機視野內(nèi)，圖6中表明了相應(yīng)輸入信號。

圖4 二種方案下特征坐標與誤差

圖5 圖像平面上的特征坐標變化

圖6 控制信號

圖4(b)為傳統(tǒng)視覺伺服方案參考規(guī)定性能控制方案的實驗，從圖中可得出誤差最終收斂于規(guī)定范圍，但途中出現(xiàn)了特征離開相機視野的不確定性，且收斂速度遠遠慢于規(guī)定性能的方案，從而說明了本文所設(shè)計的控制方案的正確性和有效性，在滿足視場約束的條件下實現(xiàn)了快速收斂。

5 結(jié) 論

通過將攝像機的硬約束轉(zhuǎn)換為等效的誤差函數(shù)模型進行簡化計算，該方案能夠在滿足圖像特征坐標誤差下實現(xiàn)規(guī)定的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。基于規(guī)定性能的函數(shù)模型，分析局部誤差與全局誤差的收斂穩(wěn)定性，設(shè)計了魯棒的狀態(tài)反饋控制器。所提出的控制律具有復雜度低及先驗保證性能，因此，可以有效地應(yīng)用于快速嵌入式控制系統(tǒng)中。未來的研究將致力于解決相機模型的參數(shù)不確定性。