曾蓮秀 王太清

教學(xué)內(nèi)容：

人教版數(shù)學(xué)義務(wù)教育教科書六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)廣角——數(shù)與形教學(xué)內(nèi)容與自制益智器具“魔術(shù)拼板”融合教學(xué)。

教學(xué)目標(biāo)：

1.在具體情境中讓學(xué)生理解數(shù)與形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，會(huì)利用圖形來(lái)解決一些有關(guān)數(shù)的計(jì)算問(wèn)題，會(huì)利用數(shù)來(lái)解決有關(guān)圖形的辨析問(wèn)題。

2.在數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)換中，讓學(xué)生欣賞數(shù)形結(jié)合的美妙，感悟數(shù)與形的密切聯(lián)系。

教學(xué)過(guò)程：

一、談話激趣，揭示課題

（教師播放“魔術(shù)拼板”視頻）

師：你們看到了什么？是啊，像變魔術(shù)似的，還是用這四塊板，看起來(lái)都拼成同樣大的三角形，可第二次拼圖中怎么少了一塊？出現(xiàn)一個(gè)空的小正方形呢！要破解這個(gè)魔術(shù)，咱們先來(lái)學(xué)習(xí)“數(shù)與形”。

二、理解體會(huì)“數(shù)缺形時(shí)少直觀”

1.探究“從1開始，連續(xù)奇數(shù)相加的和等于加數(shù)個(gè)數(shù)的平方”

課件出示填空題：觀察題中加數(shù)有什么特點(diǎn)，并填出括號(hào)中的數(shù)。

1+3=（? ）=（? ）2

1+3+5=（? ）=（? ）2

1+3+5+7=（? ）=（? ）2

1+3+5+7+9=（? ）=（? ?）2

師：這些算式有什么特點(diǎn)？

生：連續(xù)奇數(shù)相加，從1開始，和都可以看成幾的平方。

生（小結(jié)）：從1開始，連續(xù)奇數(shù)相加的和等于加數(shù)個(gè)數(shù)的平方。

師：這些都是“數(shù)”（板貼“數(shù)”）?，F(xiàn)在我們將這些“數(shù)”用“形”表示出來(lái)（板貼“形”）。老師帶來(lái)一些小方塊，我用1個(gè)方塊表示“1”，那“3”就可用3個(gè)方塊表示，5個(gè)方塊表示“5”。

師：1+3+5=3×3?？吹?×3，你們能想到一個(gè)什么形？

生：邊長(zhǎng)為3的正方形。

（學(xué)生用不同顏色的方塊卡片拼正方形，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察有規(guī)律、無(wú)規(guī)律的圖案，比較優(yōu)劣）

師：按照此規(guī)律，如果再加一個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)？方塊該怎么擺？

（學(xué)生繼續(xù)操作并用手勢(shì)比畫擺放區(qū)域）

師：這些圖形漂亮嗎？有規(guī)律的圖形很漂亮，漂亮的圖形會(huì)說(shuō)話，看，這幅圖好像在說(shuō)什么？（課件出示1+3+5+7=4×4，1+3+5+7+9=5×5）

師：這么有規(guī)律地?cái)[放，拼出的正方形的邊長(zhǎng)與加數(shù)的個(gè)數(shù)有什么關(guān)系？小方塊的總個(gè)數(shù)與拼出的正方形面積有什么關(guān)系？

師：同學(xué)們很會(huì)歸納推理，真棒！老師有個(gè)問(wèn)題，沒有圖你們會(huì)算這些題嗎？（生：會(huì)）那有個(gè)圖有啥用？

生：更清楚，更直觀。

師：是啊！通過(guò)形的輔助，就能很直觀地發(fā)現(xiàn)得數(shù)的規(guī)律。而以形助數(shù)，就形象直觀了。（板書：形——直觀）

2.即時(shí)練習(xí)，應(yīng)用規(guī)律

完成數(shù)學(xué)書第107頁(yè)的填空。

3.探究“[12+14+18+116+132=？]”

師：以形載數(shù)，能讓我們找到數(shù)的運(yùn)算規(guī)律;以形載數(shù)，還能幫助我們巧妙解決比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題。仔細(xì)觀察，這里的分?jǐn)?shù)有什么特點(diǎn)？這些“數(shù)”能不能借助“形”表示出來(lái)？

（學(xué)生畫圖，教師巡視。指名匯報(bào)，輔以課件演示）

師：通過(guò)畫圖，我們得出[12+14+18+116+132]=

1-[132]=[3132]。

師：如果不結(jié)合圖形，我們用通分的辦法也能求出答案。那我們用圖形表示這個(gè)算式有什么好處呢？

生：能一眼看出答案，涂色部分就是1個(gè)整體減去空白部分。

生：從[12]開始，依次加的分?jǐn)?shù)是前一次的一半，按照這個(gè)規(guī)律寫分?jǐn)?shù)，用1減去式子中最后一個(gè)分?jǐn)?shù)就是這個(gè)連加算式的得數(shù)，結(jié)合圖形就能理解這個(gè)算理。

評(píng)析 學(xué)生經(jīng)歷從“數(shù)”及“形”到由“形”到“數(shù)”的過(guò)程，能直觀發(fā)現(xiàn)數(shù)與形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，結(jié)合圖形與算式，發(fā)現(xiàn)計(jì)算規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決同類計(jì)算問(wèn)題。教師讓學(xué)生初步體會(huì)“形”能直觀解釋“數(shù)”，以形助數(shù)，見數(shù)思形，通過(guò)數(shù)與形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，互相印證結(jié)果，感受數(shù)學(xué)的魅力。形的問(wèn)題中包含數(shù)的規(guī)律，數(shù)的問(wèn)題也可以用形來(lái)幫助解決。通過(guò)畫圖巧算結(jié)果，學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點(diǎn)，逐步養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的習(xí)慣，提高數(shù)形轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)分析能力，實(shí)現(xiàn)形象思維和抽象思維的互助互補(bǔ)、相輔相成。

三、辨析感悟“形缺數(shù)時(shí)難入微”

師：華羅庚爺爺說(shuō)過(guò)，數(shù)缺形時(shí)少直觀，那形缺數(shù)時(shí)又會(huì)怎樣呢？（再次播放視頻）看起來(lái)兩次都拼成同樣大的三角形，怎么在第二次的拼圖里缺了一小塊呢？（同桌合作，拼圖觀察）

1.探究三角板中兩個(gè)角的大小

師：我們先判斷黑板上畫的兩個(gè)角（如圖1），∠1和∠2哪個(gè)大？ [1][2]

生：一樣大！

師：現(xiàn)在光有圖形，沒有數(shù)，很難下定論。

[教師組織學(xué)生拿出拼板器具中的三角形，尋找直角邊的長(zhǎng)度數(shù)據(jù)，并給黑板上的三角形的直角邊分別標(biāo)上長(zhǎng)度數(shù)據(jù)（2，5）（3，8）（如圖2）]

師：現(xiàn)在這兩個(gè)直角三角形的直角邊有了數(shù)，怎么根據(jù)這些數(shù)來(lái)判斷兩個(gè)角的大小呢？其實(shí)可以用兩條直角邊的比值來(lái)表示斜邊與直角邊的夾角的大小。

[課件出示：直角邊2格、5格的三角形，直角邊4格、10格的三角形（圖略），這兩個(gè)角大小相等嗎？為什么？]

生：[25=410]，說(shuō)明這兩個(gè)銳角的大小相等。

師：把這兩條斜邊平移，就會(huì)在一條直線上（課件演示兩條斜邊在一條直線上）。

[課件出示“魔術(shù)拼板”的兩個(gè)直角三角形：直角邊2格、5格，直角邊3格、8格（如圖2）]

師（指圖2）：這兩個(gè)銳角大小相等嗎？

生：看看[25]是否等于[38]。通分得出，[25]=[1640]，[38]=[1540]，[1640]≠[1540]，所以這兩個(gè)角的大小不相等，相差一點(diǎn)。

師：通過(guò)數(shù)的大小比較，我們判定這兩個(gè)角大小不同，現(xiàn)在我們拿出這兩塊三角板操作驗(yàn)證一下，重疊比較這兩個(gè)角，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：將兩個(gè)角重疊對(duì)比，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)角大小不同，兩直角三角形的斜邊不在一條直線上。

師：那剛才怎么說(shuō)這兩個(gè)角一樣大呢？

生：那是因?yàn)檫@兩個(gè)角的大小相差太小，我們看不出來(lái)。

師：這種很細(xì)微的差別，用圖形能表示出來(lái)嗎？用什么才能精確表示出來(lái)？

生：數(shù)。

師：所以華羅庚爺爺說(shuō)過(guò)，形缺數(shù)時(shí)難入微。很細(xì)微的差別，有圖形而沒有數(shù)，不能區(qū)分表示。（板書：數(shù)——精準(zhǔn)）

2.探究拼圖中空白小正方形的由來(lái)

師：如圖3，這兩幅拼圖其實(shí)都不是直角三角形，兩個(gè)三角形的斜邊不會(huì)在一條直線上。那這兩條線段連接起來(lái)會(huì)是什么樣子呢？

生：往里凹（用手比畫），往外凸（用手比畫）。

師：再次想象下，兩條折線向中間靠攏，會(huì)合成一個(gè)什么圖形？

生：平行四邊形。

（課件演示：往里凹與往外凸的線段閃爍、平移，圍成一個(gè)平行四邊形）

師：同學(xué)們的空間想象力真棒！

（教師組織學(xué)生同桌合作，再次拼出兩幅拼圖，重疊，觀察，討論，發(fā)現(xiàn)：重疊后多出來(lái)的部分是一個(gè)平行四邊形，面積就是空白的小正方形的面積）

評(píng)析 學(xué)生能在以往的學(xué)習(xí)中體會(huì)“數(shù)有形時(shí)很直觀”，但對(duì)“形缺數(shù)時(shí)難入微”這一體悟，學(xué)生的經(jīng)歷很少。本教學(xué)環(huán)節(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生見形想數(shù)，以數(shù)析形，在觀察、計(jì)算、操作、辨析等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展學(xué)生思維的深刻性和嚴(yán)謹(jǐn)性。通過(guò)提供富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題探究第二幅拼圖中空白的小正方形為何產(chǎn)生，再一次引爆學(xué)生的探索熱情，提高學(xué)生的空間想象能力，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展。

總評(píng) 本課“數(shù)與形”是學(xué)科教學(xué)與益智器具融合教學(xué)案例，是對(duì)教科書教學(xué)內(nèi)容的補(bǔ)充。全課以人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)廣角——數(shù)與形的例題為基本素材，融合益智器具，大膽加工，創(chuàng)新設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)有趣味、有數(shù)學(xué)味又有挑戰(zhàn)性的教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在“數(shù)”與“形”的不斷結(jié)合與轉(zhuǎn)換過(guò)程中，逐步感受“數(shù)”與“形”結(jié)合的價(jià)值。這節(jié)課不是知識(shí)概念課，也不是技能訓(xùn)練課，而是讓學(xué)生通過(guò)觀察、分析、推理、歸納、操作、觀察、比較、想象等活動(dòng)，深刻感悟數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展空間思維能力，培養(yǎng)良好思維品質(zhì)。從這個(gè)層面來(lái)看，本課可以看作一節(jié)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練課。

（作者單位：江西省撫州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校 江西省教育技術(shù)與裝備發(fā)展中心）

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