任林濤，裴忠民，熊 偉，羅章凱

航天工程大學(xué) 復(fù)雜電子系統(tǒng)仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 101416

近些年來，針對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效問題,許多專家學(xué)者在各個(gè)領(lǐng)域開展了大量研究[1-4]。Motter等人[5]最先提出了一種基于介數(shù)定義節(jié)點(diǎn)初始負(fù)載的線性負(fù)載—容量（ML模型），得出網(wǎng)絡(luò)介數(shù)分布的差異性導(dǎo)致攻擊介數(shù)高的節(jié)點(diǎn)越容易導(dǎo)致級(jí)聯(lián)失效現(xiàn)象發(fā)生。段東立等人[6]針對(duì)的負(fù)載重分配規(guī)則是介于全局分配與最近鄰分配、均勻分配與極端非均勻分配的特點(diǎn)，提出了一種可調(diào)負(fù)載重分配范圍與負(fù)載重分配異質(zhì)性的級(jí)聯(lián)失效模型。唐亮等人[7]考慮節(jié)點(diǎn)具有恢復(fù)和重復(fù)失效等特征，構(gòu)建了故障節(jié)點(diǎn)概率傳播模式下的級(jí)聯(lián)失效模型。郝羽成等人[8]針對(duì)現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)對(duì)負(fù)載的冗余能力，提出一種考慮節(jié)點(diǎn)過載狀態(tài)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效模型。Tian等人[9]根據(jù)控制節(jié)點(diǎn)在內(nèi)的相依網(wǎng)絡(luò)之間節(jié)點(diǎn)負(fù)載依賴關(guān)系，提出了一種在相依網(wǎng)絡(luò)上基于節(jié)點(diǎn)負(fù)荷的級(jí)聯(lián)故障模型。

以上文獻(xiàn)都是從均勻網(wǎng)絡(luò)、無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或相依網(wǎng)絡(luò)等方向研究級(jí)聯(lián)失效問題，沒有考慮社團(tuán)結(jié)構(gòu)[10]對(duì)級(jí)聯(lián)失效作用的影響，而社團(tuán)結(jié)構(gòu)作為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)最普遍和最重要的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)屬性之一，廣泛存在于現(xiàn)實(shí)生活中[11-13]，其結(jié)構(gòu)特征表現(xiàn)為社團(tuán)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)連接緊密，社團(tuán)間節(jié)點(diǎn)連接比較稀疏。研究社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效問題，能更好地從社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征出發(fā)理解產(chǎn)生級(jí)聯(lián)失效的原因，對(duì)尋找提升網(wǎng)絡(luò)魯棒性方法有非常重要的意義。

Wu等人[14]采用節(jié)點(diǎn)度定義節(jié)點(diǎn)初始負(fù)荷，研究了具有社團(tuán)結(jié)構(gòu)的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)抗毀性，結(jié)論表明社團(tuán)結(jié)構(gòu)越明顯其越具有魯棒性。李浩敏等人[15]研究了多社團(tuán)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)失效問題，得出網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)參數(shù)變化會(huì)影響網(wǎng)絡(luò)的抗毀性，但沒有具體研究不同攻擊策略對(duì)級(jí)聯(lián)失效的影響;陸靖橋等人[16]在經(jīng)典的線性負(fù)載容量模型基礎(chǔ)上，有選擇地對(duì)社團(tuán)邊界節(jié)點(diǎn)的容量附加二次容忍值，建立級(jí)聯(lián)故障抵制模型，但只選取了固定結(jié)構(gòu)的電力社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)作為研究對(duì)象，沒有推廣到一般性質(zhì)的社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)。

本文設(shè)計(jì)一種社團(tuán)規(guī)模和社團(tuán)結(jié)構(gòu)可調(diào)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)模型，以節(jié)點(diǎn)度和介數(shù)共同定義節(jié)點(diǎn)初始負(fù)載，根據(jù)社團(tuán)結(jié)構(gòu)特征，對(duì)頭節(jié)點(diǎn)附加二次容忍負(fù)載，采用局部相鄰節(jié)點(diǎn)分配策略處理失效節(jié)點(diǎn)負(fù)載，提出初始負(fù)載、容忍負(fù)載、臨界負(fù)載三個(gè)階段節(jié)點(diǎn)失效模型。通過仿真分析了節(jié)點(diǎn)在遭受隨機(jī)攻擊和蓄意攻擊時(shí)，節(jié)點(diǎn)負(fù)載模型參數(shù)和多社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)網(wǎng)絡(luò)魯棒性和級(jí)聯(lián)失效作用的影響。

1 多社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)生成模型

本文在文獻(xiàn)[17]的基礎(chǔ)上，提出一種社團(tuán)規(guī)模和結(jié)構(gòu)可調(diào)的多社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)模型，生成方法如下：

（1）初始網(wǎng)絡(luò)：設(shè)初始網(wǎng)絡(luò)有M個(gè)社團(tuán)，將社團(tuán)標(biāo)記為C1,C2,…,CM。每個(gè)初始社團(tuán)都是由m0(3≤m0)個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的全連接網(wǎng)絡(luò)（當(dāng)m0最小值為1和2時(shí)初始網(wǎng)絡(luò)無法區(qū)分出有效的社團(tuán)結(jié)構(gòu)）。同時(shí)為確保初始社團(tuán)間的連通性（不產(chǎn)生孤立節(jié)點(diǎn)和孤立社團(tuán)），設(shè)任意兩個(gè)社團(tuán)間均有一條社團(tuán)間連接邊。

（2）節(jié)點(diǎn)增長(zhǎng)：在每一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)新加入一個(gè)節(jié)點(diǎn)（也可以每一個(gè)時(shí)間間隔加入多個(gè)節(jié)點(diǎn)），新增加的節(jié)點(diǎn)則以概率ph進(jìn)入社團(tuán)Ch，則有當(dāng)新增加節(jié)點(diǎn)確定進(jìn)入社團(tuán)Ch后，則需要選擇連接此社團(tuán)內(nèi)部m(1 ≤m≤m0)個(gè)節(jié)點(diǎn)，此時(shí)，新增加節(jié)點(diǎn)與Ch社團(tuán)內(nèi)的節(jié)點(diǎn)j相連的概率取決于節(jié)點(diǎn)j在Ch社團(tuán)內(nèi)度dhj所占本社團(tuán)所有節(jié)點(diǎn)度的比例，即：

同時(shí)，新增加的節(jié)點(diǎn)以概率β進(jìn)行社團(tuán)間的連接（通過設(shè)置概率β可以控制社團(tuán)間連邊的數(shù)量，進(jìn)而調(diào)整多社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)）。文獻(xiàn)[17]中新增加節(jié)點(diǎn)與其他社團(tuán)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行n次連邊操作，每一次連邊操作前都要依概率pt選擇連邊的社團(tuán)Ct(t≠h)，再依照節(jié)點(diǎn)度分布的比例選擇社團(tuán)Ct內(nèi)某個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行連接；而本文則是先依概率pt選擇連邊的社團(tuán)Ct，再在社團(tuán)Ct內(nèi)挑選n個(gè)不同節(jié)點(diǎn)進(jìn)行連邊操作。這n個(gè)節(jié)點(diǎn)的選擇同樣取決于其占Ct社團(tuán)所有節(jié)點(diǎn)度的比例，比例越大，越容易被選擇。通過上述與文獻(xiàn)[17]社團(tuán)間連接的建模過程對(duì)比可以看出，本文建模的復(fù)雜度要相應(yīng)低一些，而且n越大，復(fù)雜度差異就會(huì)變得更大。

以上多社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)的建模過程可以通過調(diào)節(jié)新節(jié)點(diǎn)加入社團(tuán)的概率ph(h=1,2,…,M)來控制每個(gè)社團(tuán)的規(guī)模。當(dāng)ph=1/M時(shí)，即新節(jié)點(diǎn)進(jìn)入每個(gè)社團(tuán)的概率都相等，這樣最終生成的多社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)社團(tuán)的節(jié)點(diǎn)數(shù)量幾乎相等，此時(shí)生成的網(wǎng)絡(luò)就是均勻的，反之網(wǎng)絡(luò)就是非均勻的。另外，新節(jié)點(diǎn)進(jìn)行社團(tuán)間連接時(shí)，挑選連接社團(tuán)時(shí)也是以概率ph(h=1,2,…,M)進(jìn)行選擇的，也就是說某個(gè)社團(tuán)節(jié)點(diǎn)數(shù)越多，越能吸引新節(jié)點(diǎn)加入。同時(shí)，與文獻(xiàn)[17]相比，本文在一個(gè)社團(tuán)內(nèi)挑選n個(gè)不同節(jié)點(diǎn)進(jìn)行連邊，這樣更容易使節(jié)點(diǎn)數(shù)多的社團(tuán)產(chǎn)生更多的社團(tuán)間連接，而且規(guī)模越大且社團(tuán)間連邊數(shù)越多的社團(tuán)節(jié)點(diǎn)，越容易吸引其他社團(tuán)節(jié)點(diǎn)與其進(jìn)行連接。這樣的情形在真實(shí)網(wǎng)絡(luò)中較為常見，比如實(shí)力強(qiáng)的團(tuán)隊(duì)越能吸引新人加入，同時(shí)還能加強(qiáng)與其他實(shí)力較強(qiáng)團(tuán)隊(duì)的合作，實(shí)現(xiàn)強(qiáng)強(qiáng)聯(lián)合，這也說明了本文生成的多社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)更具一般性，與實(shí)際網(wǎng)絡(luò)更吻合。

設(shè)M=3,m=2,m0=3,p1=1/6,p2=1/3,p3=1/2,β=0.1,n=1,N=200。生成的多社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D和多社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣圖如圖1和圖2所示。

圖1 多社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖Fig.1 Multi-community network topology diagram

圖2 多社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣圖Fig.2 Multi-community network adjacency matrix

根據(jù)上述參數(shù)設(shè)置，取100次仿真結(jié)果平均值，得出多社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

從表1得出，生成的多社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)平均路徑長(zhǎng)度和網(wǎng)絡(luò)直徑與真實(shí)多社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)相比較小，具有“小世界效應(yīng)”[18]，模塊度為0.56，說明網(wǎng)絡(luò)的社團(tuán)化特征明顯[19]。同時(shí)，生成網(wǎng)絡(luò)頭節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)占節(jié)點(diǎn)總數(shù)的比例為17.9%，產(chǎn)生的社團(tuán)間連接數(shù)比社團(tuán)內(nèi)部連接數(shù)小得多。

表1 多社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Multi-community network topology parameters

2 節(jié)點(diǎn)負(fù)載評(píng)估模型

2.1 節(jié)點(diǎn)負(fù)載相關(guān)定義

Motter等人提出的ML模型中，定義節(jié)點(diǎn)i的容量C(i)與初始負(fù)載l(i)存在線性關(guān)系，即C(i)=(1+α)l(i)，α表示為容量調(diào)節(jié)參數(shù)。這種定義由于簡(jiǎn)單通用性強(qiáng)而被大多數(shù)學(xué)者所采用。但是隨著研究的不斷深入，Kim等人[20]通過研究電力網(wǎng)、航空網(wǎng)、交通網(wǎng)等現(xiàn)實(shí)中的網(wǎng)絡(luò)，發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)中具有較小負(fù)載的節(jié)點(diǎn)反而擁有較大的空閑容量，即在大多數(shù)網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)的容量與負(fù)載并非呈簡(jiǎn)單的線性關(guān)系。為體現(xiàn)這種非線性關(guān)系，陸靖橋、丁超等人[21]以及其他許多學(xué)者在其研究中都相應(yīng)地給初始負(fù)載l(i)中添加了指數(shù)調(diào)節(jié)參數(shù)，來控制初始負(fù)載的強(qiáng)度。

在描述節(jié)點(diǎn)屬性的參數(shù)中，節(jié)點(diǎn)度、介數(shù)[10]是其中最重要的兩個(gè)。由前文生成的多社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)的靜態(tài)參數(shù)可知，網(wǎng)絡(luò)中只有少部分節(jié)點(diǎn)度具有較高的值，大部分節(jié)點(diǎn)度值都比較小，因此只選用度作為節(jié)點(diǎn)負(fù)載區(qū)分度不高。從全局刻畫節(jié)點(diǎn)重要性的另一個(gè)重要指標(biāo)是介數(shù)，但本文經(jīng)過仿真后發(fā)現(xiàn)有個(gè)別節(jié)點(diǎn)的介數(shù)為0，這是因?yàn)檫@些節(jié)點(diǎn)都是處于整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的邊緣，其他節(jié)點(diǎn)之間的最短路徑都不經(jīng)過這些節(jié)點(diǎn)，因此本文選擇用度和介數(shù)共同來定義節(jié)點(diǎn)的初始負(fù)載參數(shù)，本文將節(jié)點(diǎn)的初始負(fù)載定義為：

d(i)為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的度，B(i)為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的介數(shù)，a、b分別為節(jié)點(diǎn)度和介數(shù)的倍數(shù)參數(shù)。由于節(jié)點(diǎn)度在數(shù)值上遠(yuǎn)小于節(jié)點(diǎn)的介數(shù)，為了使度和介數(shù)能夠調(diào)整到同一數(shù)量級(jí)，使得能用度和介數(shù)共同反映節(jié)點(diǎn)初始負(fù)載，本文用θ作為節(jié)點(diǎn)介數(shù)的指數(shù)調(diào)節(jié)參數(shù)。

頭節(jié)點(diǎn)作為多社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)之間交互的樞紐，是保持網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)完整性最重要的節(jié)點(diǎn)，因此在社團(tuán)內(nèi)節(jié)點(diǎn)的負(fù)載保持不變的情況下，可以通過對(duì)頭節(jié)點(diǎn)附加二次容忍負(fù)載值，來研究頭節(jié)點(diǎn)對(duì)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的影響。

Γm為節(jié)點(diǎn)i與其他社團(tuán)頭節(jié)點(diǎn)連接的集合。表示與節(jié)點(diǎn)i連接的其他社團(tuán)頭節(jié)點(diǎn)初始負(fù)載之和。p為附加的二次負(fù)載調(diào)節(jié)參數(shù)，且0≤p≤1。節(jié)點(diǎn)若該節(jié)點(diǎn)不是頭節(jié)點(diǎn)時(shí)，p=0,W(i)退化為ML模型。

對(duì)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)而言，本身就具有正常運(yùn)行時(shí)能夠承受的負(fù)載，假定在節(jié)點(diǎn)承受負(fù)載范圍內(nèi)運(yùn)行就不會(huì)失效，本文將這個(gè)不會(huì)發(fā)生失效的負(fù)載上限定義為容忍負(fù)載R。

λ為節(jié)點(diǎn)容忍負(fù)載系數(shù)，λ≥0。

在諸多實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)超過容忍負(fù)載運(yùn)行時(shí)，一般都不會(huì)立即失效，反而能在此狀態(tài)下維持一段時(shí)間，此時(shí)人們會(huì)采取多種措施確保整個(gè)網(wǎng)絡(luò)能夠正常運(yùn)轉(zhuǎn)，若是采取措施不及時(shí)或者節(jié)點(diǎn)一直在容忍負(fù)載高位運(yùn)行，就有可能導(dǎo)致節(jié)點(diǎn)失效，本文把節(jié)點(diǎn)失效的閾值稱為臨界負(fù)載L。

式中，k表示臨界負(fù)載系數(shù)，k≥0。

2.2 失效節(jié)點(diǎn)負(fù)載重分配策略和流程

失效節(jié)點(diǎn)負(fù)載重分配策略可以分為兩類[22]：一種是基于全局搜索的分配策略，這種策略計(jì)算復(fù)雜度高，需要大量時(shí)間進(jìn)行遍歷；另一種是基于局部搜索的策略，這種分配策略是將失效節(jié)點(diǎn)的負(fù)荷按照一定的規(guī)則分配給與失效節(jié)點(diǎn)相連的節(jié)點(diǎn)，該方法計(jì)算復(fù)雜度低。作為社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)在社團(tuán)內(nèi)部連接緊密，在社團(tuán)間節(jié)點(diǎn)連接稀疏，失效節(jié)點(diǎn)負(fù)載大概率分配給同社團(tuán)的其他節(jié)點(diǎn)，因此本文采用負(fù)載局部重分配策略。

當(dāng)一個(gè)社團(tuán)網(wǎng)失效節(jié)點(diǎn)數(shù)量超過一定比例時(shí)，失效節(jié)點(diǎn)的負(fù)載才開始向其他社團(tuán)的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分配，本文將這個(gè)比例稱作轉(zhuǎn)移比z。通過設(shè)置轉(zhuǎn)移比z能夠約束和調(diào)控失效節(jié)點(diǎn)負(fù)載在社團(tuán)內(nèi)和社團(tuán)間的分配過程，這樣更有利于研究級(jí)聯(lián)失效作用對(duì)多社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響。

圖3 節(jié)點(diǎn)失效后社團(tuán)內(nèi)負(fù)載重分配圖Fig.3 Load redistribution diagram within and between communities after node failure

通過上述具體分配過程，總結(jié)出任意節(jié)點(diǎn)失效后負(fù)載重分配流程如下：

對(duì)集合ΓNid內(nèi)所有節(jié)點(diǎn)的負(fù)載進(jìn)行判斷，若有節(jié)點(diǎn)負(fù)載大于臨界負(fù)載，則該節(jié)點(diǎn)失效。

（4）對(duì)新的失效節(jié)點(diǎn)重復(fù)上述（1）～（3）中的分配過程，直到整個(gè)多社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)再無失效節(jié)點(diǎn)為止。

2.3 節(jié)點(diǎn)失效判定標(biāo)準(zhǔn)

根據(jù)初始負(fù)載、容忍負(fù)載和臨界負(fù)載的定義以及負(fù)載重分配策略，可以推導(dǎo)出任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)在三個(gè)階段內(nèi)運(yùn)行時(shí)失效的概率分布pt(i)為：

現(xiàn)有的大多數(shù)ML改進(jìn)模型中，判定節(jié)點(diǎn)失效標(biāo)準(zhǔn)相對(duì)簡(jiǎn)單化，即當(dāng)節(jié)點(diǎn)i實(shí)際負(fù)載小于其容量C(i)時(shí)，節(jié)點(diǎn)正常運(yùn)行，反之節(jié)點(diǎn)失效。而本文添加了容忍負(fù)載和臨界負(fù)載兩個(gè)判斷閾值，當(dāng)節(jié)點(diǎn)i在容忍負(fù)載以下運(yùn)行時(shí)，節(jié)點(diǎn)就不會(huì)失效。節(jié)點(diǎn)超過容忍負(fù)載運(yùn)行時(shí)，自身負(fù)載越靠近臨界負(fù)載，失效的概率就越高。當(dāng)節(jié)點(diǎn)自身負(fù)載超過臨界負(fù)載時(shí)，節(jié)點(diǎn)就立即失效。而節(jié)點(diǎn)負(fù)載處于這兩個(gè)閾值之間時(shí)，相當(dāng)于實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)可以過載運(yùn)行一樣。顯然本文的設(shè)定更加貼合實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)在運(yùn)行時(shí)可能出現(xiàn)的情況。

當(dāng)網(wǎng)絡(luò)在遭受攻擊時(shí)節(jié)點(diǎn)被摧毀，網(wǎng)絡(luò)內(nèi)其他節(jié)點(diǎn)由于級(jí)聯(lián)效應(yīng)部分可能處于容忍負(fù)載狀態(tài)或直接失效，失效的節(jié)點(diǎn)越少，網(wǎng)絡(luò)的魯棒性越好。本文定義失效節(jié)點(diǎn)數(shù)量與節(jié)點(diǎn)總數(shù)的比值稱為失效比E，用失效比作為評(píng)估網(wǎng)絡(luò)魯棒性的標(biāo)準(zhǔn)。

其中，e表示失效節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，N為節(jié)點(diǎn)總數(shù)量。

3 仿真分析

本文分別從節(jié)點(diǎn)負(fù)載模型參數(shù)和多社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)兩方面研究網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)失效問題。攻擊策略為蓄意攻擊初始負(fù)載最大的節(jié)點(diǎn)，隨機(jī)攻擊任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)。為不失一般性，令a,b=1。

3.1 節(jié)點(diǎn)負(fù)載模型參數(shù)對(duì)級(jí)聯(lián)失效作用的影響

設(shè)置網(wǎng)絡(luò)生成參數(shù)為M=3,m=3,m0=3,p1=1/6,p2=1/3,p3=1/2,β=0.1,n=1,N=200，為避免偶然性，每次生成網(wǎng)絡(luò)100個(gè)，每個(gè)網(wǎng)絡(luò)仿真100次，仿真結(jié)果取平均值。

（1）介數(shù)調(diào)節(jié)參數(shù)θ

本文采用控制變量法，首先研究介數(shù)調(diào)節(jié)參數(shù)θ對(duì)級(jí)聯(lián)失效作用的影響。設(shè)二次容忍負(fù)載參數(shù)p=0.5,轉(zhuǎn)移比z=0.5,容忍負(fù)載參數(shù)λ=0.2,θ=[0.1,0.3,0.5,0.7]，k=[0,2]。經(jīng)過仿真，失效比E隨臨界負(fù)載參數(shù)k的變化趨勢(shì)如圖5和圖6所示。

圖5 蓄意攻擊不同θ值時(shí)的E～k曲線Fig.5 Deliberately attacking E～k curve with differentθvalues

圖6 隨機(jī)攻擊不同θ值時(shí)的E～k曲線Fig.6 Random attacking E～k curve with differentθvalues

從圖5可以看出，失效比E隨臨界負(fù)載參數(shù)k的增加而減小。蓄意攻擊時(shí)，在同一k值下θ值越小，失效比E越小，說明網(wǎng)絡(luò)越具有魯棒性，這是因?yàn)棣戎翟叫?，調(diào)整后的介數(shù)就越小，導(dǎo)致整個(gè)網(wǎng)絡(luò)所有節(jié)點(diǎn)初始節(jié)點(diǎn)負(fù)載就越小，而且使節(jié)點(diǎn)初始負(fù)載相互之間的差值越接近，即初始負(fù)載分布越均勻，因此面對(duì)蓄意攻擊更具有魯棒性，這與文獻(xiàn)[23]結(jié)論類似。另外，對(duì)于不同的θ值都有相應(yīng)的臨界閾值k1和k2（圖4中，所有θ值的E～k曲線在k=2處均已平穩(wěn)且趨向?yàn)?，故臨界閾值k2必存在于k＞2的某處）。當(dāng)k＜k1時(shí)E≈1，級(jí)聯(lián)效應(yīng)導(dǎo)致所有節(jié)點(diǎn)都失效。當(dāng)k＞k2時(shí)E≈0，一個(gè)失效節(jié)點(diǎn)無法引起級(jí)聯(lián)失效，這同樣與文獻(xiàn)[23]的結(jié)論相似。

圖4 節(jié)點(diǎn)失效后社團(tuán)間負(fù)載重分配圖（轉(zhuǎn)移比z=0.5）Fig.4 Load redistribution diagram between communities after node failure（Transfer ratio z=0.5）

圖6中，在隨機(jī)攻擊時(shí)，在參數(shù)k相同的情況下，不同θ值對(duì)應(yīng)的失效比E幾乎都相同，這是因?yàn)殡m然θ值變化會(huì)引起節(jié)點(diǎn)初始負(fù)載的變化，但每一次隨機(jī)選擇到負(fù)載最大的節(jié)點(diǎn)概率只有0.5%。同時(shí)可以看出，在同一k值下，隨機(jī)攻擊比蓄意攻擊失效比要小很多，說明網(wǎng)絡(luò)在蓄意攻擊時(shí)比在隨意攻擊時(shí)脆弱很多。

（2）二次容忍負(fù)載參數(shù)p

設(shè)置p=[0,0.25,0.5,0.75]，k=[0,2]，θ=0.5，z=0.5，λ=0.2。失效比E隨臨界負(fù)載參數(shù)k的變化趨勢(shì)如圖7和圖8所示。

圖7 蓄意攻擊不同p值時(shí)的E～k曲線Fig.7 Deliberately attacking E～k curve with different p values

圖8 隨機(jī)蓄意攻擊不同p值時(shí)的E～k曲線Fig.8 Random attacking E～k curve with different p values

從圖7可以看出，蓄意攻擊時(shí)，在0.1＜k＜1.5范圍內(nèi)，沒有設(shè)置二次容忍負(fù)載的網(wǎng)絡(luò)要比設(shè)置了二次負(fù)載的網(wǎng)絡(luò)更加魯棒，這是因?yàn)樵O(shè)置了二次負(fù)載的頭節(jié)點(diǎn)的初始負(fù)載增大了許多，當(dāng)這些頭節(jié)點(diǎn)遭受攻擊失效或者級(jí)聯(lián)失效，過大的負(fù)載值分配給鄰居節(jié)點(diǎn)，更容易引起鄰居節(jié)點(diǎn)的失效，造成更加嚴(yán)重的級(jí)聯(lián)失效問題。從圖8可以看出，在隨機(jī)攻擊時(shí)，設(shè)置二次負(fù)載的網(wǎng)絡(luò)在0＜k＜0.5的范圍內(nèi)要比未設(shè)置的網(wǎng)絡(luò)的魯棒性稍好一些，但幅度有限。因此得出為頭節(jié)點(diǎn)設(shè)置二次容忍負(fù)載值的網(wǎng)絡(luò)，面對(duì)攻擊的總體魯棒性要低于未設(shè)置的網(wǎng)絡(luò)，這也從側(cè)面說明了頭節(jié)點(diǎn)在多社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)中所處的位置很重要。

（3）轉(zhuǎn)移比z

設(shè)置z=[0,0.25,0.5,0.75]，k=[0,2]，θ=0.5，p=0.5，λ=0.2。仿真結(jié)果如圖9和圖10所示。

圖9中，蓄意攻擊時(shí)沒有設(shè)置轉(zhuǎn)移比z的網(wǎng)絡(luò)在k=[0,2]的范圍內(nèi)，失效節(jié)點(diǎn)數(shù)量都低于設(shè)置了轉(zhuǎn)移比z的網(wǎng)絡(luò)，說明后者魯棒性要遠(yuǎn)高于前者，當(dāng)z＞0時(shí)，在k=[0,0.8]范圍內(nèi)，由于級(jí)聯(lián)失效導(dǎo)致整個(gè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)全部失效。這是因?yàn)楣?jié)點(diǎn)失效時(shí)，初期將級(jí)聯(lián)失效規(guī)?？刂圃诒旧鐖F(tuán)，而后將這些失效節(jié)點(diǎn)的負(fù)載向社團(tuán)間轉(zhuǎn)移，這些失效節(jié)點(diǎn)的級(jí)聯(lián)失效作用會(huì)“引爆”整個(gè)網(wǎng)絡(luò)。從圖10看出，設(shè)置和未設(shè)置轉(zhuǎn)移比的網(wǎng)絡(luò)，在面對(duì)隨機(jī)攻擊時(shí)，失效比曲線在k=[0,2]范圍內(nèi)幾乎相同，僅在k＜0.2的初始范圍內(nèi)，設(shè)置轉(zhuǎn)移比的網(wǎng)絡(luò)能減少失效節(jié)點(diǎn)在整個(gè)網(wǎng)絡(luò)引起的級(jí)聯(lián)失效作用。因此，將級(jí)聯(lián)失效控制在社團(tuán)內(nèi)部，不利于網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。

圖9 蓄意攻擊不同z值時(shí)的E～k曲線Fig.9 Deliberately attacking E～k curve with different z values

圖10 隨機(jī)蓄意攻擊不同z值時(shí)的E～k曲線Fig.10 Random attacking E～k curve with different z values

（4）容忍負(fù)載λ

設(shè)置λ=[0,0.1,0.2,0.3]，k=[0,2]，θ=0.5，p=0.5，z=0.5。仿真結(jié)果如圖11和圖12所示。

圖11 蓄意攻擊不同λ值時(shí)的E～k曲線Fig.11 Deliberately attacking E～k curve with differentλvalues

從圖11和圖12可以看出，蓄意攻擊和隨意攻擊在參數(shù)λ=0和k=0時(shí)，即容忍負(fù)載和臨界負(fù)載都等于0時(shí)，節(jié)點(diǎn)無法判斷是否失效。同時(shí)在同一個(gè)k值下，λ值越大，網(wǎng)絡(luò)就越魯棒，λ值越小，網(wǎng)絡(luò)就越脆弱。這是因?yàn)槿萑特?fù)載升高，節(jié)點(diǎn)超容忍負(fù)載運(yùn)行的概率就會(huì)相應(yīng)降低，即節(jié)點(diǎn)肯定不會(huì)失效的概率升高。當(dāng)節(jié)點(diǎn)i超過容忍負(fù)載運(yùn)行時(shí)，根據(jù)公式（8）可以推導(dǎo)出此時(shí)失效的概率pt為：

圖12 隨機(jī)蓄意攻擊不同λ值時(shí)的E～k曲線Fig.12 Random attacking E～k curve with differentλvalues

其中，W′(i)表示節(jié)點(diǎn)i實(shí)際負(fù)載，W(i)表示節(jié)點(diǎn)初始負(fù)載。從公式（10）可以看出，若初始負(fù)載W(i)和W′(i)固定，節(jié)點(diǎn)失效概率pt與λ和k呈負(fù)相關(guān)，即λ和k值越大，節(jié)點(diǎn)失效概率就越小，E值也就越小，這與圖11和圖12仿真結(jié)果相吻合。

從圖12中可以看出，不同值曲線的區(qū)分度要比其他參數(shù)的曲線（圖6、8、10）高很多，這是因?yàn)閰?shù)作為判斷節(jié)點(diǎn)是否失效的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，同等大小間隔的敏感度要比其他參數(shù)高很多，同時(shí)值變化也會(huì)引起處在容忍負(fù)載和臨界負(fù)載之間的節(jié)點(diǎn)失效的概率，影響失效節(jié)點(diǎn)數(shù)同樣比其他參數(shù)高很多。

3.2 多社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)級(jí)聯(lián)失效作用的影響

從本文生成多社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)可以看出，影響網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的參數(shù)主要是m和β（本文默認(rèn)n=1）。設(shè)置節(jié)點(diǎn)負(fù)載模型參數(shù)為θ=0.5,p=0.5,z=0.5,λ=0.2,k=[0,2],仿真結(jié)果同樣取100次仿真平均值。

（1）社團(tuán)內(nèi)部連接數(shù)m

同樣采用控制變量法，設(shè)置網(wǎng)絡(luò)生成參數(shù)為M=3,m0=3,p1=1/6,p2=1/3,p3=1/2,β=0.1,n=1,N=200,m=[1,2,3],k=[0,2]。仿真結(jié)果如圖13和圖14所示。

從圖13和圖14可以看出，蓄意攻擊和隨機(jī)攻擊時(shí)，社團(tuán)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)連接數(shù)m越大，網(wǎng)絡(luò)越脆弱。這是因?yàn)殡m然社團(tuán)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)連接數(shù)增加了，但度大的節(jié)點(diǎn)連接更多的新節(jié)點(diǎn)，會(huì)使初始負(fù)載變得更大，而負(fù)載小的節(jié)點(diǎn)幾乎無變化，形成“馬太效應(yīng)”，使得社團(tuán)內(nèi)部結(jié)構(gòu)無標(biāo)度化，因此整個(gè)網(wǎng)絡(luò)在面對(duì)攻擊時(shí)越脆弱[1]。另外，當(dāng)m=1時(shí)，隨機(jī)攻擊后網(wǎng)絡(luò)節(jié)本無失效節(jié)點(diǎn)，這是因?yàn)榇藭r(shí)網(wǎng)絡(luò)的平均聚類系數(shù)為0.013 3，社團(tuán)內(nèi)節(jié)點(diǎn)之間連接程度非常低，網(wǎng)絡(luò)無法引起級(jí)聯(lián)失效反應(yīng)。

圖13 蓄意攻擊不同m值時(shí)的E～k曲線Fig.13 Deliberately attacking E～k curve with different m values

圖14 隨機(jī)蓄意攻擊不同m值時(shí)的E～k曲線Fig.14 Random attacking E～k curve with different m values

（2）社團(tuán)間連接概率β

設(shè)置網(wǎng)絡(luò)生成參數(shù)為M=3,m=2,m0=3,p1=1/6,p2=1/3,p3=1/2,n=1,N=200,β=[0.1,0.5,0.9],k=[0,2]。仿真結(jié)果如圖15和圖16所示。

圖15 蓄意攻擊不同β值時(shí)的E～k曲線Fig.15 Deliberately attacking E～k curve with differentβvalues

圖16 隨機(jī)蓄意攻擊不同β值時(shí)的E～k曲線Fig.16 Random attacking E～k curve with differentβvalues

從圖15和16可以看出，增加社團(tuán)間連接概率，在蓄意攻擊和隨機(jī)攻擊時(shí)，網(wǎng)絡(luò)會(huì)越脆弱。β值越高，產(chǎn)生的社團(tuán)間連接數(shù)越多，雖然會(huì)使社團(tuán)間的耦合強(qiáng)度增大，但也會(huì)使網(wǎng)絡(luò)中頭節(jié)點(diǎn)的數(shù)目增加，經(jīng)過仿真計(jì)算，β=0.1時(shí)，平均頭節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為35個(gè)，β=0.5時(shí)為121個(gè)，β=0.9時(shí)為185個(gè)。頭節(jié)點(diǎn)數(shù)量增加導(dǎo)致整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長(zhǎng)度變短，平均度增加，平均介數(shù)也相應(yīng)增加，導(dǎo)致節(jié)點(diǎn)初始負(fù)載增大，在臨界負(fù)載相對(duì)較小時(shí)，網(wǎng)絡(luò)容易引發(fā)嚴(yán)重的級(jí)聯(lián)失效反應(yīng)，因此不利于網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出一種社團(tuán)規(guī)模和社團(tuán)結(jié)構(gòu)可調(diào)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)模型，以節(jié)點(diǎn)度和介數(shù)共同定義節(jié)點(diǎn)初始負(fù)載，根據(jù)社團(tuán)結(jié)構(gòu)特征，對(duì)頭節(jié)點(diǎn)附加二次容忍負(fù)載，采用局部相鄰節(jié)點(diǎn)分配策略處理失效節(jié)點(diǎn)負(fù)載，同時(shí)提出初始負(fù)載、容忍負(fù)載、臨界負(fù)載三個(gè)階段節(jié)點(diǎn)失效模型。通過對(duì)多社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效問題進(jìn)行了研究，得出結(jié)論為：（1）相同參數(shù)設(shè)置下，隨機(jī)攻擊時(shí)多社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)魯棒，蓄意攻擊時(shí)多社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)脆弱。（2）在蓄意攻擊時(shí)，初始節(jié)點(diǎn)負(fù)載越高，網(wǎng)絡(luò)越脆弱，越容易引起網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效。（3）給頭節(jié)點(diǎn)添加二次負(fù)載，蓄意攻擊時(shí)會(huì)成為“爆發(fā)點(diǎn)”，引起嚴(yán)重的級(jí)聯(lián)失效反應(yīng)。（4）將失效節(jié)點(diǎn)負(fù)載分配控制在一個(gè)社團(tuán)，越容易引發(fā)級(jí)聯(lián)失效反應(yīng)。（5）設(shè)置容忍負(fù)載和臨界負(fù)載兩階段節(jié)點(diǎn)負(fù)載上限能有效提升網(wǎng)絡(luò)魯棒性。（6）社團(tuán)內(nèi)節(jié)點(diǎn)連接越均勻，網(wǎng)絡(luò)越魯棒。（7）社團(tuán)間連接應(yīng)選擇初始負(fù)載較低的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行連接，以提高魯棒性。