陳 夢，行鴻彥，王海峰

(南京信息工程大學江蘇省氣象災害預報預警與評估協(xié)同創(chuàng)新中心，江蘇 南京 210044)

0 引言

信號源到各個接收器的距離不同會使得信號到達各個接收器的時間不一致，產生時間差，時間延遲估計就是運用信號處理的方法估計出這個時間差，根據(jù)估計出的時間差可以確定輻射源的位置[1]。在實際環(huán)境中，信號的傳播經常會受到多徑干擾[2]的影響，使得接收信號中包含發(fā)射信號的多徑副本信號，對多徑傳播的接收信號進行參數(shù)估計在雷達、聲納、移動通信等領域有著廣泛的應用[3-5]，因而對其研究十分重要。傳統(tǒng)基于相關分析的多徑時間延遲估計方法[6]分辨能力受帶寬限制，不適用于多徑信號時延差小于信號帶寬倒數(shù)的情況，目前，高分辨率是多徑時延估計的研究重點。

經典的高分辨多徑時延估計算法主要有期望最大化算法(expectation maximization algorithm，EM算法)[7]，多重信號分類算法(multiple signal classification，MUSIC)[8]，利用旋轉不變技術的信號參數(shù)估計技術(estimating signal parameters via rotation invariance techniques，ESPRIT)[9-10]和WRELAX算法(weighted fourier transform and relaxation based method，WR算法)[11]等。其中，WR算法因其準確率高、拓展性較好的特點受到學者的廣泛關注。經典的WR算法將背景噪聲建模為高斯分布，而在很多實際應用環(huán)境中如水聲通信、無線通信、生物醫(yī)學測量等，信號在傳播過程中易受到突發(fā)性脈沖噪聲干擾，此時將背景噪聲建模為高斯分布與實際不符。對稱Alpha穩(wěn)定分布(symmetricα-stable distribution，SαS)是一種廣泛使用的可以描述這類背景噪聲的極限分布[12]，α(0<α≤2)作為其特征指數(shù)，表示隨機信號的脈沖程度，α取值的大小與脈沖性呈反比，α取最大值2時SαS分布退化為高斯分布。SαS分布只有小于α階的矩有限，所以基于二階統(tǒng)計量的WR算法在α取值小于2時的SαS分布噪聲環(huán)境下性能退化。

分數(shù)低階統(tǒng)計量理論(FLOS)由二階統(tǒng)計量理論發(fā)展而來，學者們將FLOS引入現(xiàn)有的高分辨多徑時延估計算法，可以提高多徑時延估計算法抵御脈沖噪聲的能力，解決在SαS分布噪聲環(huán)境下經典算法性能退化的問題。針對WR算法，文獻[13]應用FLOS中的共變概念和最小分散系數(shù)準則對其進行改進，提出了一種韌性的高分辨率多徑時延估計方法(稱為P-WR算法)；但是基于FLOS的多徑時延估計算法其階數(shù)P的取值必須小于SαS分布的特征指數(shù)α，且滿足1≤P≤2，而實際應用中SαS分布的特征指數(shù)難以獲得，依據(jù)接收信號對其進行準確估計也并非易事。

本文針對脈沖噪聲環(huán)境下基于二階統(tǒng)計量的WR算法性能退化,采用分數(shù)低階統(tǒng)計量理論改進后的P-WR算法對脈沖噪聲先驗知識依賴性過高的問題，提出基于Sigmoid變換和相關熵的韌性多徑時延估計算法(sigmoid and correntropy based weighted relaxation，SCWR)。

1 相關熵理論

相關熵是一種既能刻畫隨機過程時間結構又能描述隨機過程統(tǒng)計分布的統(tǒng)計量，其通過非線性映射將時域的非線性問題轉換到再生核希爾伯特空間進行求解，與相關函數(shù)相比，可以抑制突發(fā)性脈沖噪聲對整個算法的影響。

任意兩個隨機變量X和Y之間的相關熵定義為[14]：

Vσ(X,Y)=E[kσ(X,Y)]

(1)

式(1)中，E[·]表示數(shù)學期望，kσ(X,Y)表示滿足Mercer條件[15]的高斯核函數(shù)，σ>0表示高斯核的核長，如式(2)所示：

(2)

(3)

從相關熵定義中可以誘導出一個距離度量即相關熵誘導距離(correntropy induced metric，CIM)[16]，其表達式如式(4)所示：

CIM(X,Y)=[Kσ(0)-Vσ(X,Y)]1/2

(4)

基于CIM距離測度，定義最大相關熵準則(maximum correntropy criterion, MCC)為：

MCC(e)=maxE[kσ(e)]，e=X-Y

(5)

式(5)中，誤差e越小則相關熵越大，表明隨機變量X與Y的相似性越高；反之e越大，相關熵越小；當e大于受核長控制的某一閾值時，相關熵逼近于0。也就是說相關熵是一種“局部測量”方法，測量隨機變量之間的相似性時，只有受核函數(shù)約束的樣本能明顯影響相似性度量結果。這也是相關熵能夠抑制脈沖噪聲的直接原因。

2 韌性多徑時延估計算法

2.1 多徑信號模型

假設信源已知，則多徑傳播的接收信號可以表示為：

(6)

式(6)中，L為多徑傳播的路徑數(shù)目；al和τl分別為各路徑的衰減系數(shù)和時間延遲；s(k)表示信號源；w(k)為服從SαS分布的加性噪聲，并且它們互不相關。

2.2 Sigmoid變換

Sigmoid變換是一種常用于抑制脈沖噪聲的非線性預處理方法[17]，其數(shù)學表達式如下：

(7)

式(7)中，n為離散時間變量。Sigmoid函數(shù)曲線如圖1所示。

圖1 Sigmoid函數(shù)曲線Fig.1 Sigmoid curve

Sigmoid函數(shù)對于不同幅度的輸入信號，有不同的輸出效果。圖1中，當輸入信號幅度較小時，近似于線性變化；當輸入信號幅度較大時，具有抑制作用，是一種非線性變化。運用Sigmoid函數(shù)對多徑傳播的接收信號進行預處理，初步抵御了脈沖噪聲對算法的影響，并且不影響接下來對有用時延信息的提取，實際應用中可以跟據(jù)接收信號調整曲線參數(shù)。

2.3 WR算法

對于式(6)的多徑時延估計問題，從理論上可以求一個最小二乘解，即：

(8)

將背景噪聲建模為高斯分布時，式(8)等同于求解參數(shù)的最大似然估計，因而多徑時延估計問題轉換為參數(shù)估計中的多維最優(yōu)化問題。

WR算法是一種可以有效解決式(8)的多維最優(yōu)化問題的參數(shù)估計算法。該算法的核心為松弛搜索思想，其基本內容是首先分解代數(shù)微分方程組成的系統(tǒng)，分解成多個子系統(tǒng)后，再分別求解每個子系統(tǒng)。求解每個子系統(tǒng)時，把其他子系統(tǒng)前一次的迭代值當作猜測值用于求解當前子系統(tǒng)，然后把解出的值再當作其他子系統(tǒng)的猜測值，重復以上過程，直至算法收斂。

WR算法解決多徑時延估計問題時，其步驟如下：

1)假設觀測信號的矢量為：

r=[r(1),r(2),…,r(N)]T

(9)

源信號到達觀測點的L個徑的信號矢量設為：

Sτl=[s(1-τl),s(2-τl),…,s(N-τl)]T,l=1,2,…,L

(10)

觀測信號的背景噪聲矢量為：

w=[w(1),w(2),…,w(N)T]

(11)

高斯噪聲環(huán)境下代價函數(shù)寫為：

(12)

2)利用松弛搜索思想求解式(12)的多維最優(yōu)化問題。假設所有L條多徑中，只有第k條是未知的，其余L-1條均已知，則可令第k條多徑信號為：

(13)

那么式(12)的代價函數(shù)可寫為：

Ck(ak,τk)=‖rk-aksτk‖2

(14)

(15)

(16)

式(15)和(16)中，sτ=[s(1-τ),s(2-τ),…,s(N-τ)]T。

2.4 SCWR算法

SCWR算法的基本思路如下：首先采用式(7)的Sigmoid函數(shù)對多徑傳播的接收信號進行非線性變化；然后，在WR算法的理論基礎上，利用最大相關熵準則結合松弛搜索思想，估計出多徑時延值。

利用最大相關熵準則解決式(6)的多徑時延估計問題，即：

(17)

(18)

用最大相關熵準則代替WR算法中的最小均方誤差準則，將式(14)的代價函數(shù)替換為：

Ck(ak,τk)=E[kσ(rk-αksτk)]

(19)

(20)

(21)

其中，式(20)和式(21)中的ak已知，在初次迭代時為設置的衰減系數(shù)初值，在第m次迭代時為第m-1次的估計值，式(21)中運算符⊙表示兩矢量對應位置的元素相乘。

SCWR算法的實現(xiàn)步驟如下：

1)對多徑傳播的接收信號按式(7)進行非線性變化。

3 算法仿真

為驗證所提算法的多徑時延估計性能，本文進行了四組實驗，其中，將WR算法和P-WR算法作為參考算法，比較分析了本文算法的優(yōu)越性。

3.1 性能評價指標

本文采用均方根誤差(root mean square error, RMSE)和平均準確率PA衡量所提算法和參考算法的估計性能。評價指標的表達式定義為：

1)均方根誤差

(22)

2)平均準確率

(23)

3.2 仿真實驗

實驗1 將SαS分布的特征指數(shù)α設定為1.4，選取不同的廣義信噪比GSNR，比較WR算法、P-WR算法和SCWR算法時延估計性能。P-WR算法中的參數(shù)P=α-0.1，SCWR算法中的核長σ=10。仿真結果如圖2所示，在給定特征指數(shù)的SαS分布噪聲環(huán)境下，WR算法與使用了脈沖噪聲抑制技術的P-WR算法和SCWR算法相比，性能較差。SCWR算法在GSNR>-2 dB時均方根誤差為0，平均準確率100%，而P-WR算法在GSNR>2 dB時才能達到同樣的估計精度。因此，在相同特征指數(shù)的SαS分布噪聲環(huán)境下SCWR算法的估計性能優(yōu)于WR算法和P-WR算法。

圖2 不同廣義信噪比下各算法的估計性能Fig.2 Estimation performance of each algorithm under different GSNR

實驗2 將廣義信噪比GSNR設定為0 dB, 選取不同的SαS分布的特征指數(shù)α，比較WR算法、P-WR算法和SCWR算法時延估計性能。P-WR算法中的參數(shù)P以及SCWR算法中的核長σ選取與實驗1一致。仿真結果如圖3所示，WR算法只有在α=2時的高斯噪聲環(huán)境下能對多徑時延做出準確估計，在α<2時性能急劇退化，而P-WR算法和SCWR算法在高斯和非高斯噪聲環(huán)境下都能較好地估計出多徑時延。SCWR算法在不同的特征指數(shù)α下的RMSE均為0，平均準確率為100%，而P-WR算法在α<1.8時估計精度逐漸出現(xiàn)偏差，說明SCWR算法對脈沖噪聲的適應性要優(yōu)于P-WR算法。

圖3 不同特征指數(shù)α下各算法的估計性能Fig.3 Estimation performance of each algorithm under different characteristic exponents α

實驗3 給定廣義信噪比GSNR=-4 dB選取不同的核長參數(shù)σ，研究在SαS分布噪聲的特征指數(shù)α= 1.0、1.5和2.0時，核長參數(shù)σ對SCWR算法估計性能的影響。仿真結果如圖4所示，在相同廣義信噪比和特征指數(shù)的SαS分布噪聲環(huán)境下，可以選定算法的最佳核長參數(shù)。由圖3(a)可知，特征指數(shù)α取1.0和1.5時，核長σ取4可獲得最低的均方根誤差；α取2時，核長σ取6可獲得最低的均方根誤差。由圖3(b)可知，特征指數(shù)α=1.0、1.5、2.0時，核長σ分別取4、8、12，可分別獲得87.5%、77.5%和80.0%的最高平均準確率。這是因為相關熵判斷“局部相似性”的窗口由核長控制，核長越大則窗口越大，相關熵越近似于相關，其抑制脈沖噪聲的能力就越低；核長越小相關熵的相似性判斷能力越差，核長太小會使相關熵的使用無意義。雖然SCWR算法核長參數(shù)的選取與SαS分布噪聲的特征指數(shù)α有關，但較之于P-WR算法中分數(shù)低階參數(shù)P必須小于特征指數(shù)α，SCWR算法對脈沖噪聲先驗知識的依賴性有所降低。

圖4 不同核長和不同特征指數(shù)α下SCWR算法的估計性能Fig.4 Estimation performance of SCWR algorithm under different kernel length and different characteristic exponents α

實驗4 給定SαS分布的特征指數(shù)α=1.4，選取不同的核長參數(shù)σ，研究在廣義信噪比GSNR=0、-2和-4 dB時，核長參數(shù)σ對SCWR算法估計性能的影響。仿真結果如圖5所示，核長參數(shù)σ=6時，三種廣義信噪比下算法均可獲得最高平均準確率，說明 SCWR算法核長參數(shù)的選取與廣義信噪比無關。

圖5 不同核長和廣義信噪比GSNR下 SCWR算法的估計性能Fig.5 Estimation performance of SCWR algorithm under different kernel length and different GSNR

4 結論

本文提出一種脈沖噪聲環(huán)境下的韌性多徑時延估計算法(SCWR)。該算法首先采用Sigmoid變換對多徑傳播的接收信號進行非線性預處理，初步降低脈沖噪聲的影響；再運用相關熵理論中的最大相關熵準則,結合參數(shù)估計理論中解決最小二乘優(yōu)化問題的松弛搜索思想對多徑時延參量進行估計，用相關熵代替?zhèn)鹘y(tǒng)互相關，進一步抑制了脈沖噪聲對算法的影響。仿真結果表明，該算法估計性能要優(yōu)于經典WR算法和P-WR參考算法，并且較基于分數(shù)低階統(tǒng)計量理論的P-WR算法，SCWR算法中參數(shù)的選取對脈沖噪聲先驗知識的依賴性有所降低。

該算法在脈沖噪聲環(huán)境下能較好地估計出多徑時延，是一種具有較高韌性的多徑時延估計算法,但其參數(shù)的選取依舊與脈沖噪聲的先驗知識有關,后續(xù)可針對參數(shù)選取作更深入的研究,以提高算法穩(wěn)定性。