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        創(chuàng)設情境·發(fā)展思維·關注應用

        2022-03-21 17:11:54歐光宇
        中國數(shù)學教育(初中版) 2022年3期

        歐光宇

        摘? 要:“抽樣與數(shù)據(jù)分析”是初中數(shù)學的主要知識之一,也是中考的重要考點之一. 文章結合2021年全國部分省、市的中考試題進行命題分析、試題解析,意在幫助讀者了解全國各地中考試卷中對“抽樣與數(shù)據(jù)分析”的考查內(nèi)容和考試要求,供復習參考.

        關鍵詞:中考試題;統(tǒng)計圖表;命題分析

        “抽樣與數(shù)據(jù)分析”是初中數(shù)學的主要知識之一,也是中考的重要考點之一. 初中生在體驗數(shù)據(jù)收集、處理、分析和推斷的過程中理解抽樣方法,在體驗用樣本估計總體的過程中發(fā)展和建立數(shù)據(jù)分析觀念. 2021年全國各地中考數(shù)學試卷對“抽樣與數(shù)據(jù)分析”的考查遵循《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》(以下簡稱《標準》)的要求,題型基本穩(wěn)定,注重基礎,考試內(nèi)容主要集中在幾種統(tǒng)計圖、對基本概念的理解和應用(如抽樣、平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差等),以及用樣本估計總體,關注合情推理,著重考查樣本估計總體的思想,關注樣本的代表性及估計的合理性,強調(diào)統(tǒng)計觀念.

        一、考查內(nèi)容分析

        1. 考點及分值分析

        2021年中考試題,“抽樣與數(shù)據(jù)分析”考查的知識點覆蓋面廣,部分試卷的知識點如表1所示.

        2. 內(nèi)容與特點分析

        試題圍繞著“抽樣與數(shù)據(jù)分析”的基礎知識和基本方法,考查學生運用“抽樣與數(shù)據(jù)分析”的知識與方法分析和解決實際問題的能力,考查學生通過分析、綜合建立模型并運算求解的能力,以及數(shù)據(jù)處理能力和應用意識,對能力的考查比較全面,強調(diào)綜合性、應用性,并充分結合學生的實際進行考查. 以基本概念為主,著重考查樣本估計總體的思想,關注樣本的代表性及估計的合理性,強調(diào)統(tǒng)計觀念.

        從試題的難度上來講,多數(shù)題目屬于中、低檔題,難度適中,題目的設計與學生的實際生活相聯(lián)系,注重對數(shù)學思想方法、數(shù)學能力的考查,展現(xiàn)了數(shù)學的教育價值. 對于基本概念的考查,多數(shù)試題體現(xiàn)在對條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、頻數(shù)分布統(tǒng)計表及頻數(shù)分布直方圖等圖表的認識、含義的理解、圖表的特征的考查上,對于中位數(shù)、眾數(shù)、方差等概念,重視考查這些統(tǒng)計量的重要特征.

        二、命題思路分析

        2021年中考“抽樣與數(shù)據(jù)分析”部分的試題,從學科的整體高度和思維能力的角度出發(fā),將知識、能力、思想方法融為一體,全面考查了學生的數(shù)學能力和學科素養(yǎng),試題關注數(shù)學的學科特點,突出了知識的基礎性、綜合性和應用性,以知識為主體,以教材為原型,源于教材,又高于教材,使對“抽樣與數(shù)據(jù)分析”的基礎知識的考查達到了必要的深度和廣度,具體分析如下.

        1. 考查知識全面,符合《標準》要求

        考查“抽樣與數(shù)據(jù)分析”的試題主要遵循《標準》的要求,考查全面,難度適中,具體考點及要求如表2所示.

        (1)考查數(shù)據(jù)的收集和整理.

        例1 (湖南·常德卷)舒青是一名觀鳥愛好者,他想要用折線統(tǒng)計圖來反映中華秋沙鴨每年秋季到當?shù)乇芎蕉臄?shù)量變化情況,以下是排亂的統(tǒng)計步驟:① 從折線統(tǒng)計圖中分析出中華秋沙鴨每年來當?shù)乇芎蕉淖兓厔?② 從當?shù)刈匀槐Wo區(qū)管理部門收集中華秋沙鴨每年來當?shù)乇芎蕉臄?shù)量記錄;③ 按統(tǒng)計表的數(shù)據(jù)繪制折線統(tǒng)計圖;④ 整理中華秋沙鴨每年來當?shù)乇芎蕉臄?shù)量并制作統(tǒng)計表. 正確統(tǒng)計步驟的順序是(? ).

        (A)②→③→①→④ ? ?(B)③→④→①→②

        (C)①→②→④→③ ? ?(D)②→④→③→①

        設計思路分析:此題以“中華秋沙鴨避寒越冬”為問題情境,完整地呈現(xiàn)了數(shù)據(jù)的收集、整理、描述過程,并以正確排序的問題形式呈現(xiàn),這樣的形式完整地考查了數(shù)據(jù)收集、整理的全過程.

        (2)考查對數(shù)據(jù)的描述.

        ① 考查統(tǒng)計圖的制作.

        例2 (湖南·邵陽卷)某社區(qū)針對5月30日前該社區(qū)居民接種新冠疫苗的情況開展了問卷調(diào)查,共收回6 000份有效問卷.經(jīng)統(tǒng)計,制成如表3所示的數(shù)據(jù)表格.

        小杰同學選擇扇形統(tǒng)計圖分析接種不同針數(shù)的居民人數(shù)所占總人數(shù)的百分比.下面是制作扇形統(tǒng)計圖的步驟(順序打亂):

        ① 計算各部分扇形的圓心角分別為126°,136.8°,79.2°,18°.

        ② 計算出接種不同針數(shù)的居民人數(shù)占總人數(shù)的百分比分別為35%,38%,22%,5%.

        ③ 在同一個圓中,根據(jù)所得的圓心角度數(shù)畫出各個扇形,并注明各部分的名稱及相應的百分比.

        如圖1,制作扇形統(tǒng)計圖的步驟排序正確的是(? ).

        (A)②①③ (B)①③②

        (B)①②③ (D)③①②

        設計思路分析:此題以“社區(qū)居民接種新冠疫苗”為問題情境,從數(shù)據(jù)收集、分析到完整地制作出扇形統(tǒng)計圖的過程,以正確排序的問題形式,考查學生制作扇形統(tǒng)計圖的思維過程,以及準確制圖的過程.

        ② 考查從統(tǒng)計圖中獲取信息的能力.

        例3 (浙江·紹興卷)紹興“蓮花落”,又稱“蓮花樂”“蓮花鬧”,是紹興一帶的曲藝. 為了了解學生對該曲種的熟悉程度,某校設置了:非常了解、了解、了解很少、不了解四個選項,隨機抽查了部分學生進行問卷調(diào)查,要求每名學生只選其中的一項,并將抽查結果繪制成如圖2、圖3所示的不完整的統(tǒng)計圖.

        根據(jù)圖中信息,解答下列問題:

        (1)本次接受問卷調(diào)查的學生有多少人?并求圖3中“了解”的扇形圓心角的度數(shù).

        (2)全校共有1 200名學生,試估計全校學生中“非常了解”“了解”“蓮花落”的學生共有多少人?

        設計思路分析:此題以“浙江紹興的民間曲藝”為問題情境,題目的基本條件以“條形統(tǒng)計圖”和“扇形統(tǒng)計圖”展示,考查學生對統(tǒng)計圖的理解,能從統(tǒng)計圖中讀取信息,并能解決問題. 既考查了統(tǒng)計圖的基礎知識,又考查了學生的讀圖能力,是一種很好的考查方式. 同時,宣傳了民間藝術,傳承了民族文化.

        (3)考查數(shù)據(jù)分析能力.

        ① 考查統(tǒng)計量的計算.

        例4 (江蘇·蘇州卷)為增強學生的環(huán)保意識,共建綠色文明校園,某學校組織“廢紙寶寶旅行記”活動. 經(jīng)統(tǒng)計,七年級5個班級一周回收廢紙情況如表4所示.

        則每個班級回收廢紙的平均重量為(? ).

        (A)5 kg (B)4.8 kg

        (C)4.6 kg (D)4.5 kg

        設計思路分析:此題以“共建綠色文明校園”為問題情境,通過數(shù)據(jù)的收集、計算平均數(shù)考查學生對基本統(tǒng)計量的理解.

        例5 (山東·聊城卷)為了保護環(huán)境,加強環(huán)保教育,某中學組織學生參加義務收集廢舊電池的活動,表5是隨機抽取40名學生對收集廢舊電池的數(shù)量進行的統(tǒng)計.

        試根據(jù)學生收集到的廢舊電池數(shù),判斷下列說法正確的是(? ).

        (A)樣本為40名學生

        (B)眾數(shù)是11節(jié)

        (C)中位數(shù)是6節(jié)

        (D)平均數(shù)是5.6節(jié)

        設計思路分析:此題以“保護環(huán)境”為問題情境,通過收集廢舊電池的活動考查學生是否能理解樣本的基本含義,是否能準確回答眾數(shù)和中位數(shù),是否能計算加權平均數(shù).

        ② 考查統(tǒng)計量的意義.

        例6 (浙江·寧波卷)甲、乙、丙、丁四名射擊運動員進行射擊測試,每人10次射擊成績的平均數(shù)[x](單位:環(huán))及方差[s2](單位:環(huán)2)如表6所示.

        根據(jù)表中數(shù)據(jù),要從中選擇一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的運動員參加比賽,應選擇(? ).

        (A)甲 (B)乙

        (C)丙 (D)丁

        設計思路分析:此題以“運動員參加比賽”為問題情境,通過對甲、乙、丙、丁四名射擊運動員的射擊成績進行分析,選擇一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的運動員參加比賽,考查學生是否能準確理解平均數(shù)[x]及方差[s2]的含義.

        ③ 考查運算和推理能力.

        例7 (福建卷)某校為推薦一項作品參加“科技創(chuàng)新”比賽,對甲、乙、丙、丁四項候選作品進行量化評分,具體成績(百分制)如表7所示.

        如果按照創(chuàng)新性占60%、實用性占40%計算總成績,并根據(jù)總成績擇優(yōu)推薦,那么應推薦的作品是(? ? ).

        (A)甲 (B)乙

        (C)丙 (D)丁

        設計思路分析:此題以“科技創(chuàng)新”為問題情境,通過對甲、乙、丙、丁四項作品的量化評分,考查學生對加權平均數(shù)的理解和計算. 此題還考查了學生的分析能力,以及思維過程. 甲、乙比較乙勝,丙、丁比較丙勝,乙、丙比較乙勝,所以選擇選項B. 很好地考查了學生的數(shù)學思維,對不同程度的學生進行了不同的考查.

        2. 素材內(nèi)容豐富,聯(lián)系生活實際

        例8 (廣西·貴港卷)某校為了了解本校學生每天課后進行體育鍛煉的時間情況,在5月份某天隨機抽取了若干名學生進行調(diào)查,調(diào)查發(fā)現(xiàn)學生每天課后進行體育鍛煉的時間都不超過100分鐘,現(xiàn)將調(diào)查結果繪制成兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖表如圖4、表8所示.試根據(jù)統(tǒng)計圖表提供的信息,解答下列問題.

        (1)本次調(diào)查的樣本容量是? ? ?;表中[a]的值為? ? ? ,[b]的值為? ? ?.

        (2)將頻數(shù)分布直方圖補充完整.

        (3)已知[E]組有2名男生和1名女生,從中隨機抽取2名學生,恰好抽到1名男生和1名女生的概率是

        .

        (4)若該校學生共有2 200人,試根據(jù)以上調(diào)查結果估計:該校每天課后進行體育鍛煉的時間超過60分鐘的學生共有多少人?

        設計思路分析:此題以學生學習生活中的體育鍛煉為載體,考查樣本與總體的關系,用頻數(shù)分布直方圖考查學生閱讀統(tǒng)計圖表的能力,考查用樣本估計總體的思想,考查學生的應用能力、統(tǒng)計觀念,并詮釋了“五育并舉”的教育理念.

        3. 符合時代需求,突出數(shù)據(jù)處理能力

        例9 (內(nèi)蒙古·赤峰卷)某學校九年級有12個班,每班50名學生,為了調(diào)查該校九年級學生平均每天的睡眠時間,準備從12個班里抽取50名學生作為一個樣本進行分析,并規(guī)定如下:設每名學生平均每天的睡眠時間為[t](單位:時),將收集到的學生平均每天睡眠時間按[t≤6],[6

        (1)下列抽取方法具有代表性的是(? ? ).

        (A)隨機抽取一個班的學生

        (B)從12個班中,隨機抽取50名學生

        (C)隨機抽取50名男生

        (D)隨機抽取50名女生

        (2)由上述具有代表性的抽取方法抽取50名學生,平均每天的睡眠時間數(shù)據(jù)如表9所示.

        ① 這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是? ?,? ?.

        ② 估計九年級學生平均每天睡眠時間[t≥8]的人數(shù)大約為多少.

        (3)從樣本中學生平均每天睡眠時間的[t≤6]的4名學生里,隨機抽取2人,畫樹狀圖或列表,求抽得2人平均每天睡眠時間都是6小時的概率.

        設計思路分析:此題以學生學習生活中的睡眠時間為載體,符合時代需求,符合教育部提出的“五項管理”的要求,突出時代性. 此題考查樣本與總體的關系,以及眾數(shù)、中位數(shù)和加權平均數(shù)等基本概念,考查學生閱讀統(tǒng)計圖表的能力,考查用樣本估計總體的思想,考查學生的應用能力和統(tǒng)計觀念.

        4. 命題立足《標準》,原型取材教材

        例10 (青海卷)為了倡導“節(jié)約用水,從我做起”,某市政府決定對該市直屬機關200戶家庭用水情況進行調(diào)查. 市政府調(diào)查小組隨機抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量(單位:噸),調(diào)查中發(fā)現(xiàn),每戶家庭月平均用水量在3~7噸范圍內(nèi),并將調(diào)查結果制成了如表10所示的尚不完整的統(tǒng)計表.

        試根據(jù)統(tǒng)計表中提供的信息解答下列問題:

        (1)填空:[a]的值為 ? ? ? ,[b]的值為 ? ? ? ,[c]的值為 ? ? ? .

        (2)這些家庭中月平均用水量數(shù)據(jù)的平均數(shù)是? ? ? ? ,眾數(shù)是? ? ?,中位數(shù)是? ? ?.

        (3)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計該市直屬機關200戶家庭中月平均用水量不超過5噸的約有多少?

        (4)市政府決定從月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四戶家庭中,選取兩戶進行“節(jié)水”經(jīng)驗分享. 試用列表或畫樹狀圖的方法,求出恰好選到甲、丙兩戶的概率,并列出所有等可能的結果.

        設計思路分析:此題倡導“節(jié)約用水,從我做起”,源于教材,又高于教材. 教材中是以一次函數(shù)模型的形式出現(xiàn),此題以離散型的形式展示,給我們的思考是:初中數(shù)學要教給學生什么?怎樣才能教出數(shù)學的本質(zhì),培養(yǎng)出數(shù)學的思維?此題考查樣本與總體的關系,以及眾數(shù)、中位數(shù)和加權平均數(shù)等基本概念,考查學生閱讀統(tǒng)計圖表的能力,考查用樣本估計總體的思想,考查學生的應用能力和統(tǒng)計觀念.

        三、命題趨勢及熱點分析

        “抽樣與數(shù)據(jù)分析”是初中數(shù)學的重要組成部分,也是中考考查的重點內(nèi)容,又是高中數(shù)學的基礎. 分析2021年全國各地的中考試題,估計在一段時間內(nèi),“抽樣與數(shù)據(jù)分析”都將是中考的重要考點. 解答題的難度趨于穩(wěn)定,主要考查學生的數(shù)據(jù)處理能力、閱讀理解能力、分析問題與解決問題的能力和應用意識.

        1. 基本概念問題

        對于基本概念的考查仍然是考查重點,主要考查眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、加權平均數(shù)及方差等基本概念.

        2. 統(tǒng)計圖表問題

        從統(tǒng)計圖表中讀取所需的信息是學生統(tǒng)計知識和能力的重要體現(xiàn),也是中考的熱點. 解決該類問題的關鍵是正確理解圖表中各個量的含義.

        3. 取材教材問題

        中考萬變不離其宗,其中的“宗”指的就是教材,許多試題源于教材又高于教材.

        四、中考復習建議

        1. 把握《標準》,回歸教材

        教材中的例題、習題大多數(shù)蘊含著豐富、深刻的背景. 以教材為素材組織中考復習是提高成績非常有效的途徑. 平時學習中要用好教材,到了中考復習階段更要以教材為主,充分發(fā)揮教材的導向作用. 這不僅能讓學生跳出“題海”,又能讓學生鞏固基礎知識,掌握數(shù)學思想方法,深化數(shù)學本質(zhì),更為重要的是能激發(fā)學生的問題意識,培養(yǎng)學生的綜合素養(yǎng),教師應在深入研究的基礎上充分感悟教材的編寫意圖,積極開發(fā)教材的內(nèi)在功能,創(chuàng)設問題情境. 通過改變問題的某一屬性,探索問題的引申、推廣、拓展,在復習階段以教材為例、以習題為素材,深入淺出,舉一反三,并進行歸納和總結.

        2. 提升能力,重視應用

        作為數(shù)學的精髓,數(shù)學思想方法是中考考查的重點. 數(shù)學是一門思維的學科,思維能力是數(shù)學學科能力的核心.“抽樣與數(shù)據(jù)分析”為數(shù)據(jù)處理提供了工具. 另外,這部分試題以中、低檔難度為主,不要練習過難習題. 以2021年考查的情況來看,試題突出考查內(nèi)容的核心知識,沒有偏題和怪題,側重從數(shù)學知識、思想方法、數(shù)學能力出發(fā),多層次、多角度、多維度地考查學生的數(shù)學素養(yǎng)和數(shù)學能力,在兼顧試題的基礎性、綜合性和應用性的同時,要重視試題的層次性,合理調(diào)控試題的難度.

        五、模擬題賞析

        1. 下列調(diào)查方式,你認為最合適的是(? ? ).

        (A)調(diào)查市場上某種食品的色素含量是否符合國家標準,采用抽樣調(diào)查方式

        (B)選出某校100米短跑最快的學生參加市運會,采用抽樣調(diào)查方式

        (C)檢測某種品牌筆芯的使用壽命,采用全面調(diào)查方式

        (D)調(diào)查央視電視劇《一諾無悔》的收視率,采用全面調(diào)查方式

        答案:A.

        2. 某校把學生的紙筆測試、實踐能力、成長紀錄三項成績分別按50%,20%,30%的比例計入學期總評成績,90分以上為優(yōu)秀. 甲、乙、丙三人的各項成績?nèi)绫?1所示(單位:分),學期總評成績優(yōu)秀的是(? ? ).

        (A)甲? ? ? (B)乙、丙

        (C)甲、乙? ? (D)甲、丙

        答案:C.

        3. 某市為響應國家“低碳環(huán)保,綠色出行”的號召,投放“共享單車”供市民出行時租用. 寒假期間,七年級數(shù)學興趣小組對某投放點的租車情況進行一周的調(diào)查,并把收集的數(shù)據(jù)繪制成如圖5、圖6所示的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖.

        下列判斷正確的是(? ? ).

        (A)這個站點一周的租車總次數(shù)為600

        (B)周三對應的扇形的圓心角為[60°]

        (C)周六與周日租車次數(shù)一樣多

        (D)周五租車次數(shù)是15

        答案:B.

        4. 我國是一個人口資源大國.第七次全國人口普查結果顯示,北京、上海等五大城市的常住人口數(shù)如表12所示,這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是? ? ? ?.

        答案:2 368.6萬.

        5. 為了了解某校七年級學生的體能情況,隨機調(diào)查了其中100名學生,測試學生在1分鐘內(nèi)跳繩的次數(shù). 試根據(jù)統(tǒng)計表(如表13)計算,跳繩次數(shù)(x)在120 ≤ x < 200范圍內(nèi)的人數(shù)占抽查學生總人數(shù)的百分比為 ? ? .

        答案:40%.

        6. 有甲、乙兩組數(shù)據(jù),如表14所示.

        7. 為了鼓勵市民節(jié)約用水,某市水費實行階梯式計量水價:每戶每月用水量不超過25噸享受基本價格;超出25噸的部分實行加價收費. 為了更好地決策,自來水公司隨機抽取部分用戶的用水量,并繪制了如圖7、圖8所示的不完整的統(tǒng)計圖(每組數(shù)據(jù)包括右端點但不包括左端點),試根據(jù)統(tǒng)計圖解決以下問題.

        (1)這次調(diào)查抽取了多少用戶的用水量數(shù)據(jù)?

        (2)補全頻數(shù)分布直方圖,求扇形統(tǒng)計圖中“25~30噸”部分的圓心角的度數(shù).

        (3)估計該地30萬用戶中約有多少用戶的用水全部享受基本價格?

        答案:(1)100戶.

        (2)圖略,90°.

        (3)21萬戶.

        8. 某學校隨機抽取部分學生,調(diào)查每個月的零花錢消費額,數(shù)據(jù)整理成如表15所示的統(tǒng)計表和如圖9、圖10所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖. 已知圖9中,A,E兩組對應的小長方形的高度之比為2∶1. 試結合相關數(shù)據(jù)解答以下問題.

        (1)本次調(diào)查樣本的容量是? ? ? ? ?;

        (2)補全頻數(shù)分布直方圖,并標明各組的頻數(shù);

        (3)若該學校有2 500名學生,試估計月消費零花錢不少于300元的學生的數(shù)量.

        答案:(1)100.

        (2)圖略.

        (3)750人.

        9. 某學校對初中畢業(yè)班經(jīng)過初步比較后,決定從九年級(1)班、(4)班、(8)班這三個班中推薦一個班作為市級先進班集體的候選班,現(xiàn)對這三個班進行綜合素質(zhì)考評,表16是它們五項素質(zhì)考評的得分表(以分為單位,每項滿分為10分).

        (1)試問各班五項考評分的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中哪個統(tǒng)計量不能反映三個班的考評結果的差異?并從中選擇一個能反映差異的統(tǒng)計量將他們的得分進行排序.

        (2)根據(jù)你對表中五個項目的重要程度的認識,設定一個各項考評內(nèi)容的占分比例(比例的各項須滿足:① 均為整數(shù);② 總和為10;③ 不全相同),按這個比例對各班的得分重新計算,比較出大小關系,并從中推薦一個得分最高的班級作為市級先進班集體的候選班.

        答案:(1)三個班考評分的平均數(shù)分別為8.6分、8.6分、8.6分;三個班考評分的中位數(shù)分別為10分、8分、9分;三個班考評分的眾數(shù)分別為10分、8分、9分. 故平均數(shù)不能反映三個班的考評結果的差異,用中位數(shù)或眾數(shù)可以反映.

        (2)答案不唯一. 例如,設定行為規(guī)范∶學習成績∶校運動會∶藝術獲獎∶勞動衛(wèi)生 = 3∶3∶2∶1∶1,[x1]= 8.9,[x4]= 8.7,[x]8 = 9,所以[x8]>[x1]>[x4].

        所以推薦九年級(8)班作為市級先進班集體的候選班級合適.

        參考文獻:

        [1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)[M]. 北京:北京師范大學出版社,2012.

        [2]谷曉凱,張海營. 2019年中考“抽樣與數(shù)據(jù)分析”專題命題分析[J]. 中國數(shù)學教育(初中版),2020(1 / 2):120-126.

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