歐光宇

摘? 要：“抽樣與數(shù)據(jù)分析”是初中數(shù)學的主要知識之一，也是中考的重要考點之一. 文章結合2021年全國部分省、市的中考試題進行命題分析、試題解析，意在幫助讀者了解全國各地中考試卷中對“抽樣與數(shù)據(jù)分析”的考查內(nèi)容和考試要求，供復習參考.

關鍵詞：中考試題;統(tǒng)計圖表;命題分析

“抽樣與數(shù)據(jù)分析”是初中數(shù)學的主要知識之一，也是中考的重要考點之一. 初中生在體驗數(shù)據(jù)收集、處理、分析和推斷的過程中理解抽樣方法，在體驗用樣本估計總體的過程中發(fā)展和建立數(shù)據(jù)分析觀念. 2021年全國各地中考數(shù)學試卷對“抽樣與數(shù)據(jù)分析”的考查遵循《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）的要求，題型基本穩(wěn)定，注重基礎，考試內(nèi)容主要集中在幾種統(tǒng)計圖、對基本概念的理解和應用（如抽樣、平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差等），以及用樣本估計總體，關注合情推理，著重考查樣本估計總體的思想，關注樣本的代表性及估計的合理性，強調(diào)統(tǒng)計觀念.

一、考查內(nèi)容分析

1. 考點及分值分析

2021年中考試題，“抽樣與數(shù)據(jù)分析”考查的知識點覆蓋面廣，部分試卷的知識點如表1所示.

2. 內(nèi)容與特點分析

試題圍繞著“抽樣與數(shù)據(jù)分析”的基礎知識和基本方法，考查學生運用“抽樣與數(shù)據(jù)分析”的知識與方法分析和解決實際問題的能力，考查學生通過分析、綜合建立模型并運算求解的能力，以及數(shù)據(jù)處理能力和應用意識，對能力的考查比較全面，強調(diào)綜合性、應用性，并充分結合學生的實際進行考查. 以基本概念為主，著重考查樣本估計總體的思想，關注樣本的代表性及估計的合理性，強調(diào)統(tǒng)計觀念.

從試題的難度上來講，多數(shù)題目屬于中、低檔題，難度適中，題目的設計與學生的實際生活相聯(lián)系，注重對數(shù)學思想方法、數(shù)學能力的考查，展現(xiàn)了數(shù)學的教育價值. 對于基本概念的考查，多數(shù)試題體現(xiàn)在對條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、頻數(shù)分布統(tǒng)計表及頻數(shù)分布直方圖等圖表的認識、含義的理解、圖表的特征的考查上，對于中位數(shù)、眾數(shù)、方差等概念，重視考查這些統(tǒng)計量的重要特征.

二、命題思路分析

2021年中考“抽樣與數(shù)據(jù)分析”部分的試題，從學科的整體高度和思維能力的角度出發(fā)，將知識、能力、思想方法融為一體，全面考查了學生的數(shù)學能力和學科素養(yǎng)，試題關注數(shù)學的學科特點，突出了知識的基礎性、綜合性和應用性，以知識為主體，以教材為原型，源于教材，又高于教材，使對“抽樣與數(shù)據(jù)分析”的基礎知識的考查達到了必要的深度和廣度，具體分析如下.

1. 考查知識全面，符合《標準》要求

考查“抽樣與數(shù)據(jù)分析”的試題主要遵循《標準》的要求，考查全面，難度適中，具體考點及要求如表2所示.

（1）考查數(shù)據(jù)的收集和整理.

例1 （湖南·常德卷）舒青是一名觀鳥愛好者，他想要用折線統(tǒng)計圖來反映中華秋沙鴨每年秋季到當?shù)乇芎蕉臄?shù)量變化情況，以下是排亂的統(tǒng)計步驟：① 從折線統(tǒng)計圖中分析出中華秋沙鴨每年來當?shù)乇芎蕉淖兓厔?② 從當?shù)刈匀槐Ｗo區(qū)管理部門收集中華秋沙鴨每年來當?shù)乇芎蕉臄?shù)量記錄;③ 按統(tǒng)計表的數(shù)據(jù)繪制折線統(tǒng)計圖;④ 整理中華秋沙鴨每年來當?shù)乇芎蕉臄?shù)量并制作統(tǒng)計表. 正確統(tǒng)計步驟的順序是（? ）.

（A）②→③→①→④ ? ?（B）③→④→①→②

（C）①→②→④→③ ? ?（D）②→④→③→①

設計思路分析：此題以“中華秋沙鴨避寒越冬”為問題情境，完整地呈現(xiàn)了數(shù)據(jù)的收集、整理、描述過程，并以正確排序的問題形式呈現(xiàn)，這樣的形式完整地考查了數(shù)據(jù)收集、整理的全過程.

（2）考查對數(shù)據(jù)的描述.

① 考查統(tǒng)計圖的制作.

例2 （湖南·邵陽卷）某社區(qū)針對5月30日前該社區(qū)居民接種新冠疫苗的情況開展了問卷調(diào)查，共收回6 000份有效問卷.經(jīng)統(tǒng)計，制成如表3所示的數(shù)據(jù)表格.

小杰同學選擇扇形統(tǒng)計圖分析接種不同針數(shù)的居民人數(shù)所占總人數(shù)的百分比.下面是制作扇形統(tǒng)計圖的步驟（順序打亂）：

① 計算各部分扇形的圓心角分別為126°，136.8°，79.2°，18°.

② 計算出接種不同針數(shù)的居民人數(shù)占總人數(shù)的百分比分別為35%，38%，22%，5%.

③ 在同一個圓中，根據(jù)所得的圓心角度數(shù)畫出各個扇形，并注明各部分的名稱及相應的百分比.

如圖1，制作扇形統(tǒng)計圖的步驟排序正確的是（? ）.

（A）②①③ （B）①③②

（B）①②③ （D）③①②

設計思路分析：此題以“社區(qū)居民接種新冠疫苗”為問題情境，從數(shù)據(jù)收集、分析到完整地制作出扇形統(tǒng)計圖的過程，以正確排序的問題形式，考查學生制作扇形統(tǒng)計圖的思維過程，以及準確制圖的過程.

② 考查從統(tǒng)計圖中獲取信息的能力.

例3 （浙江·紹興卷）紹興“蓮花落”，又稱“蓮花樂”“蓮花鬧”，是紹興一帶的曲藝. 為了了解學生對該曲種的熟悉程度，某校設置了：非常了解、了解、了解很少、不了解四個選項，隨機抽查了部分學生進行問卷調(diào)查，要求每名學生只選其中的一項，并將抽查結果繪制成如圖2、圖3所示的不完整的統(tǒng)計圖.

根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

（1）本次接受問卷調(diào)查的學生有多少人？并求圖3中“了解”的扇形圓心角的度數(shù).

（2）全校共有1 200名學生，試估計全校學生中“非常了解”“了解”“蓮花落”的學生共有多少人？

設計思路分析：此題以“浙江紹興的民間曲藝”為問題情境，題目的基本條件以“條形統(tǒng)計圖”和“扇形統(tǒng)計圖”展示，考查學生對統(tǒng)計圖的理解，能從統(tǒng)計圖中讀取信息，并能解決問題. 既考查了統(tǒng)計圖的基礎知識，又考查了學生的讀圖能力，是一種很好的考查方式. 同時，宣傳了民間藝術，傳承了民族文化.

（3）考查數(shù)據(jù)分析能力.

① 考查統(tǒng)計量的計算.

例4 （江蘇·蘇州卷）為增強學生的環(huán)保意識，共建綠色文明校園，某學校組織“廢紙寶寶旅行記”活動. 經(jīng)統(tǒng)計，七年級5個班級一周回收廢紙情況如表4所示.

則每個班級回收廢紙的平均重量為（? ）.

（A）5 kg （B）4.8 kg

（C）4.6 kg （D）4.5 kg

設計思路分析：此題以“共建綠色文明校園”為問題情境，通過數(shù)據(jù)的收集、計算平均數(shù)考查學生對基本統(tǒng)計量的理解.

例5 （山東·聊城卷）為了保護環(huán)境，加強環(huán)保教育，某中學組織學生參加義務收集廢舊電池的活動，表5是隨機抽取40名學生對收集廢舊電池的數(shù)量進行的統(tǒng)計.

試根據(jù)學生收集到的廢舊電池數(shù)，判斷下列說法正確的是（? ）.

（A）樣本為40名學生

（B）眾數(shù)是11節(jié)

（C）中位數(shù)是6節(jié)

（D）平均數(shù)是5.6節(jié)

設計思路分析：此題以“保護環(huán)境”為問題情境，通過收集廢舊電池的活動考查學生是否能理解樣本的基本含義，是否能準確回答眾數(shù)和中位數(shù)，是否能計算加權平均數(shù).

② 考查統(tǒng)計量的意義.

例6 （浙江·寧波卷）甲、乙、丙、丁四名射擊運動員進行射擊測試，每人10次射擊成績的平均數(shù)[x]（單位：環(huán)）及方差[s2]（單位：環(huán)2）如表6所示.

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，要從中選擇一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的運動員參加比賽，應選擇（? ）.

（A）甲 （B）乙

（C）丙 （D）丁

設計思路分析：此題以“運動員參加比賽”為問題情境，通過對甲、乙、丙、丁四名射擊運動員的射擊成績進行分析，選擇一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的運動員參加比賽，考查學生是否能準確理解平均數(shù)[x]及方差[s2]的含義.

③ 考查運算和推理能力.

例7 （福建卷）某校為推薦一項作品參加“科技創(chuàng)新”比賽，對甲、乙、丙、丁四項候選作品進行量化評分，具體成績（百分制）如表7所示.

如果按照創(chuàng)新性占60%、實用性占40%計算總成績，并根據(jù)總成績擇優(yōu)推薦，那么應推薦的作品是（? ? ）.

（A）甲 （B）乙

（C）丙 （D）丁

設計思路分析：此題以“科技創(chuàng)新”為問題情境，通過對甲、乙、丙、丁四項作品的量化評分，考查學生對加權平均數(shù)的理解和計算. 此題還考查了學生的分析能力，以及思維過程. 甲、乙比較乙勝，丙、丁比較丙勝，乙、丙比較乙勝，所以選擇選項B. 很好地考查了學生的數(shù)學思維，對不同程度的學生進行了不同的考查.

2. 素材內(nèi)容豐富，聯(lián)系生活實際

例8 （廣西·貴港卷）某校為了了解本校學生每天課后進行體育鍛煉的時間情況，在5月份某天隨機抽取了若干名學生進行調(diào)查，調(diào)查發(fā)現(xiàn)學生每天課后進行體育鍛煉的時間都不超過100分鐘，現(xiàn)將調(diào)查結果繪制成兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖表如圖4、表8所示.試根據(jù)統(tǒng)計圖表提供的信息，解答下列問題.

（1）本次調(diào)查的樣本容量是? ? ?;表中[a]的值為? ? ? ，[b]的值為? ? ?.

（2）將頻數(shù)分布直方圖補充完整.

（3）已知[E]組有2名男生和1名女生，從中隨機抽取2名學生，恰好抽到1名男生和1名女生的概率是

.

（4）若該校學生共有2 200人，試根據(jù)以上調(diào)查結果估計：該校每天課后進行體育鍛煉的時間超過60分鐘的學生共有多少人？

設計思路分析：此題以學生學習生活中的體育鍛煉為載體，考查樣本與總體的關系，用頻數(shù)分布直方圖考查學生閱讀統(tǒng)計圖表的能力，考查用樣本估計總體的思想，考查學生的應用能力、統(tǒng)計觀念，并詮釋了“五育并舉”的教育理念.

3. 符合時代需求，突出數(shù)據(jù)處理能力

例9 （內(nèi)蒙古·赤峰卷）某學校九年級有12個班，每班50名學生，為了調(diào)查該校九年級學生平均每天的睡眠時間，準備從12個班里抽取50名學生作為一個樣本進行分析，并規(guī)定如下：設每名學生平均每天的睡眠時間為[t]（單位：時），將收集到的學生平均每天睡眠時間按[t≤6]，[6

（1）下列抽取方法具有代表性的是（? ? ）.

（A）隨機抽取一個班的學生

（B）從12個班中，隨機抽取50名學生

（C）隨機抽取50名男生

（D）隨機抽取50名女生

（2）由上述具有代表性的抽取方法抽取50名學生，平均每天的睡眠時間數(shù)據(jù)如表9所示.

① 這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是? ?，? ?.

② 估計九年級學生平均每天睡眠時間[t≥8]的人數(shù)大約為多少.

（3）從樣本中學生平均每天睡眠時間的[t≤6]的4名學生里，隨機抽取2人，畫樹狀圖或列表，求抽得2人平均每天睡眠時間都是6小時的概率.

設計思路分析：此題以學生學習生活中的睡眠時間為載體，符合時代需求，符合教育部提出的“五項管理”的要求，突出時代性. 此題考查樣本與總體的關系，以及眾數(shù)、中位數(shù)和加權平均數(shù)等基本概念，考查學生閱讀統(tǒng)計圖表的能力，考查用樣本估計總體的思想，考查學生的應用能力和統(tǒng)計觀念.

4. 命題立足《標準》，原型取材教材

例10 （青海卷）為了倡導“節(jié)約用水，從我做起”，某市政府決定對該市直屬機關200戶家庭用水情況進行調(diào)查. 市政府調(diào)查小組隨機抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（單位：噸），調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，每戶家庭月平均用水量在3～7噸范圍內(nèi)，并將調(diào)查結果制成了如表10所示的尚不完整的統(tǒng)計表.

試根據(jù)統(tǒng)計表中提供的信息解答下列問題：

（1）填空：[a]的值為 ? ? ? ，[b]的值為 ? ? ? ，[c]的值為 ? ? ? .

（2）這些家庭中月平均用水量數(shù)據(jù)的平均數(shù)是? ? ? ? ，眾數(shù)是? ? ?，中位數(shù)是? ? ?.

（3）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計該市直屬機關200戶家庭中月平均用水量不超過5噸的約有多少？

（4）市政府決定從月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四戶家庭中，選取兩戶進行“節(jié)水”經(jīng)驗分享. 試用列表或畫樹狀圖的方法，求出恰好選到甲、丙兩戶的概率，并列出所有等可能的結果.

設計思路分析：此題倡導“節(jié)約用水，從我做起”，源于教材，又高于教材. 教材中是以一次函數(shù)模型的形式出現(xiàn)，此題以離散型的形式展示，給我們的思考是：初中數(shù)學要教給學生什么？怎樣才能教出數(shù)學的本質(zhì)，培養(yǎng)出數(shù)學的思維？此題考查樣本與總體的關系，以及眾數(shù)、中位數(shù)和加權平均數(shù)等基本概念，考查學生閱讀統(tǒng)計圖表的能力，考查用樣本估計總體的思想，考查學生的應用能力和統(tǒng)計觀念.

三、命題趨勢及熱點分析

“抽樣與數(shù)據(jù)分析”是初中數(shù)學的重要組成部分，也是中考考查的重點內(nèi)容，又是高中數(shù)學的基礎. 分析2021年全國各地的中考試題，估計在一段時間內(nèi)，“抽樣與數(shù)據(jù)分析”都將是中考的重要考點. 解答題的難度趨于穩(wěn)定，主要考查學生的數(shù)據(jù)處理能力、閱讀理解能力、分析問題與解決問題的能力和應用意識.

1. 基本概念問題

對于基本概念的考查仍然是考查重點，主要考查眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、加權平均數(shù)及方差等基本概念.

2. 統(tǒng)計圖表問題

從統(tǒng)計圖表中讀取所需的信息是學生統(tǒng)計知識和能力的重要體現(xiàn)，也是中考的熱點. 解決該類問題的關鍵是正確理解圖表中各個量的含義.

3. 取材教材問題

中考萬變不離其宗，其中的“宗”指的就是教材，許多試題源于教材又高于教材.

四、中考復習建議

1. 把握《標準》，回歸教材

教材中的例題、習題大多數(shù)蘊含著豐富、深刻的背景. 以教材為素材組織中考復習是提高成績非常有效的途徑. 平時學習中要用好教材，到了中考復習階段更要以教材為主，充分發(fā)揮教材的導向作用. 這不僅能讓學生跳出“題海”，又能讓學生鞏固基礎知識，掌握數(shù)學思想方法，深化數(shù)學本質(zhì)，更為重要的是能激發(fā)學生的問題意識，培養(yǎng)學生的綜合素養(yǎng)，教師應在深入研究的基礎上充分感悟教材的編寫意圖，積極開發(fā)教材的內(nèi)在功能，創(chuàng)設問題情境. 通過改變問題的某一屬性，探索問題的引申、推廣、拓展，在復習階段以教材為例、以習題為素材，深入淺出，舉一反三，并進行歸納和總結.

2. 提升能力，重視應用

作為數(shù)學的精髓，數(shù)學思想方法是中考考查的重點. 數(shù)學是一門思維的學科，思維能力是數(shù)學學科能力的核心.“抽樣與數(shù)據(jù)分析”為數(shù)據(jù)處理提供了工具. 另外，這部分試題以中、低檔難度為主，不要練習過難習題. 以2021年考查的情況來看，試題突出考查內(nèi)容的核心知識，沒有偏題和怪題，側重從數(shù)學知識、思想方法、數(shù)學能力出發(fā)，多層次、多角度、多維度地考查學生的數(shù)學素養(yǎng)和數(shù)學能力，在兼顧試題的基礎性、綜合性和應用性的同時，要重視試題的層次性，合理調(diào)控試題的難度.

五、模擬題賞析

1. 下列調(diào)查方式，你認為最合適的是（? ? ）.

（A）調(diào)查市場上某種食品的色素含量是否符合國家標準，采用抽樣調(diào)查方式

（B）選出某校100米短跑最快的學生參加市運會，采用抽樣調(diào)查方式

（C）檢測某種品牌筆芯的使用壽命，采用全面調(diào)查方式

（D）調(diào)查央視電視劇《一諾無悔》的收視率，采用全面調(diào)查方式

答案：A.

2. 某校把學生的紙筆測試、實踐能力、成長紀錄三項成績分別按50%，20%，30%的比例計入學期總評成績，90分以上為優(yōu)秀. 甲、乙、丙三人的各項成績?nèi)绫?1所示（單位：分），學期總評成績優(yōu)秀的是（? ? ）.

（A）甲? ? ? （B）乙、丙

（C）甲、乙? ? （D）甲、丙

答案：C.

3. 某市為響應國家“低碳環(huán)保，綠色出行”的號召，投放“共享單車”供市民出行時租用. 寒假期間，七年級數(shù)學興趣小組對某投放點的租車情況進行一周的調(diào)查，并把收集的數(shù)據(jù)繪制成如圖5、圖6所示的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖.

下列判斷正確的是（? ? ）.

（A）這個站點一周的租車總次數(shù)為600

（B）周三對應的扇形的圓心角為[60°]

（C）周六與周日租車次數(shù)一樣多

（D）周五租車次數(shù)是15

答案：B.

4. 我國是一個人口資源大國.第七次全國人口普查結果顯示，北京、上海等五大城市的常住人口數(shù)如表12所示，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是? ? ? ?.

答案：2 368.6萬.

5. 為了了解某校七年級學生的體能情況，隨機調(diào)查了其中100名學生，測試學生在1分鐘內(nèi)跳繩的次數(shù). 試根據(jù)統(tǒng)計表（如表13）計算，跳繩次數(shù)（x）在120 ≤ x < 200范圍內(nèi)的人數(shù)占抽查學生總人數(shù)的百分比為 ? ? .

答案：40%.

6. 有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，如表14所示.

7. 為了鼓勵市民節(jié)約用水，某市水費實行階梯式計量水價：每戶每月用水量不超過25噸享受基本價格;超出25噸的部分實行加價收費. 為了更好地決策，自來水公司隨機抽取部分用戶的用水量，并繪制了如圖7、圖8所示的不完整的統(tǒng)計圖（每組數(shù)據(jù)包括右端點但不包括左端點），試根據(jù)統(tǒng)計圖解決以下問題.

（1）這次調(diào)查抽取了多少用戶的用水量數(shù)據(jù)？

（2）補全頻數(shù)分布直方圖，求扇形統(tǒng)計圖中“25～30噸”部分的圓心角的度數(shù).

（3）估計該地30萬用戶中約有多少用戶的用水全部享受基本價格？

答案：（1）100戶.

（2）圖略，90°.

（3）21萬戶.

8. 某學校隨機抽取部分學生，調(diào)查每個月的零花錢消費額，數(shù)據(jù)整理成如表15所示的統(tǒng)計表和如圖9、圖10所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖. 已知圖9中，A，E兩組對應的小長方形的高度之比為2∶1. 試結合相關數(shù)據(jù)解答以下問題.

（1）本次調(diào)查樣本的容量是? ? ? ? ?;

（2）補全頻數(shù)分布直方圖，并標明各組的頻數(shù);

（3）若該學校有2 500名學生，試估計月消費零花錢不少于300元的學生的數(shù)量.

答案：（1）100.

（2）圖略.

（3）750人.

9. 某學校對初中畢業(yè)班經(jīng)過初步比較后，決定從九年級（1）班、（4）班、（8）班這三個班中推薦一個班作為市級先進班集體的候選班，現(xiàn)對這三個班進行綜合素質(zhì)考評，表16是它們五項素質(zhì)考評的得分表（以分為單位，每項滿分為10分）.

（1）試問各班五項考評分的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中哪個統(tǒng)計量不能反映三個班的考評結果的差異？并從中選擇一個能反映差異的統(tǒng)計量將他們的得分進行排序.

（2）根據(jù)你對表中五個項目的重要程度的認識，設定一個各項考評內(nèi)容的占分比例（比例的各項須滿足：① 均為整數(shù);② 總和為10;③ 不全相同），按這個比例對各班的得分重新計算，比較出大小關系，并從中推薦一個得分最高的班級作為市級先進班集體的候選班.

答案：（1）三個班考評分的平均數(shù)分別為8.6分、8.6分、8.6分;三個班考評分的中位數(shù)分別為10分、8分、9分;三個班考評分的眾數(shù)分別為10分、8分、9分. 故平均數(shù)不能反映三個班的考評結果的差異，用中位數(shù)或眾數(shù)可以反映.

（2）答案不唯一. 例如，設定行為規(guī)范∶學習成績∶校運動會∶藝術獲獎∶勞動衛(wèi)生 = 3∶3∶2∶1∶1，[x1]= 8.9，[x4]= 8.7，[x]8 = 9，所以[x8]>[x1]>[x4].

所以推薦九年級（8）班作為市級先進班集體的候選班級合適.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]谷曉凱，張海營. 2019年中考“抽樣與數(shù)據(jù)分析”專題命題分析[J]. 中國數(shù)學教育（初中版），2020（1 / 2）：120-126.