張 閱

(大連海事大學(xué)船舶電氣工程學(xué)院 遼寧 大連 116026)

0 引 言

近年來(lái)四旋翼飛行器(以下簡(jiǎn)稱四旋翼)因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、可操作性強(qiáng)且具有垂直起降與定點(diǎn)懸停等優(yōu)點(diǎn)，在軍事及民用領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。比如，近海監(jiān)察、區(qū)域搜索、災(zāi)害救援、農(nóng)業(yè)植保、航拍和貨物運(yùn)輸?shù)萚1-2]。然而在實(shí)際的應(yīng)用過(guò)程中，四旋翼飛行時(shí)間短、載荷有限和覆蓋區(qū)域小等局限性逐漸地顯現(xiàn)出來(lái)。針對(duì)于上述問(wèn)題，令多個(gè)四旋翼進(jìn)行團(tuán)隊(duì)協(xié)作來(lái)共同完成任務(wù)是一種有效的解決辦法，因此，對(duì)多四旋翼進(jìn)行協(xié)同編隊(duì)控制成為了目前的熱點(diǎn)研究方向之一。

當(dāng)前，四旋翼編隊(duì)控制方法主要有l(wèi)eader-follower法[3]、基于行為法[4]、虛擬結(jié)構(gòu)法[5]和圖論法[6]等，但是對(duì)于在復(fù)雜飛行環(huán)境下所受的外界干擾，很少有文獻(xiàn)能夠說(shuō)明以上控制方法可以對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行有效的抑制。考慮到上述方法的不足，為進(jìn)一步提高編隊(duì)系統(tǒng)的控制性能，國(guó)內(nèi)外的學(xué)者們提出了很多先進(jìn)控制方法，比如反推控制[7]、模型預(yù)測(cè)控制[8]、自適應(yīng)控制[9]和滑模控制[10]等。文獻(xiàn)[7]應(yīng)用反推控制策略解決了多個(gè)水下機(jī)器人的編隊(duì)軌跡跟蹤控制問(wèn)題，但是該方法要求精確的系統(tǒng)模型，建模過(guò)程中產(chǎn)生的誤差會(huì)影響系統(tǒng)的跟蹤效果?？紤]到編隊(duì)系統(tǒng)的輸入及狀態(tài)約束問(wèn)題，文獻(xiàn)[8]采用了模型預(yù)測(cè)控制策略實(shí)現(xiàn)了多個(gè)移動(dòng)衛(wèi)星的編隊(duì)跟蹤問(wèn)題。為解決四旋翼編隊(duì)的一致性問(wèn)題，文獻(xiàn)[9]采用自適應(yīng)控制策略實(shí)現(xiàn)了編隊(duì)隊(duì)形的形成與保持。在實(shí)際應(yīng)用中，滑?？刂撇呗宰鳛橐环N魯棒性較強(qiáng)的控制技術(shù)主要用于處理一類(lèi)具有時(shí)變不確定性、易受外界擾動(dòng)影響的非線性系統(tǒng)。文獻(xiàn)[10]采用滑?？刂撇呗允咕庩?duì)系統(tǒng)中每一個(gè)移動(dòng)機(jī)器人的實(shí)際位置與期望位置誤差能夠漸進(jìn)地穩(wěn)定到零，進(jìn)而使得編隊(duì)中相鄰個(gè)體之間保持恒定的距離。文獻(xiàn)[11]將反推控制策略與滑模控制相結(jié)合，得到了較好的跟蹤效果，但是采用兩種時(shí)間尺度分離的方法需要更大的內(nèi)環(huán)增益來(lái)保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，增加了控制器的設(shè)計(jì)難度。以上控制策略只有在時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)誤差變量才能收斂到原點(diǎn)附近的鄰域中，無(wú)法在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零，因此以上具有漸進(jìn)收斂特性的控制策略收斂速度慢、精度低。

為實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間收斂性能，文獻(xiàn)[12]提出了一種終端滑?？刂撇呗?，該方法響應(yīng)速度快、控制精度高并具有強(qiáng)魯棒性，同時(shí)具有的有限時(shí)間收斂特性是該方法的一大優(yōu)勢(shì)，被廣泛地應(yīng)用在機(jī)械臂控制及地面車(chē)輛、衛(wèi)星等的編隊(duì)控制中。然而在傳統(tǒng)終端滑?？刂浦?，由于存在負(fù)的分?jǐn)?shù)次冪，奇異性的問(wèn)題不可避免。為了解決該問(wèn)題，文獻(xiàn)[13]提出了一種非奇異終端滑?？刂撇呗?，在解決了奇異性問(wèn)題的同時(shí)也保證了系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定，取得了良好的控制效果。為進(jìn)一步加強(qiáng)有限時(shí)間控制效果，文獻(xiàn)[14]提出了一種快速非奇異終端滑?？刂撇呗?，該方法相比于前述控制策略具有更高的控制精度及更快的收斂速度，其控制效果更佳。

本文針對(duì)在復(fù)雜未知環(huán)境下的四旋翼編隊(duì)跟蹤控制問(wèn)題，設(shè)計(jì)一種基于有限時(shí)間擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的主從編隊(duì)控制方法(FTESO-LFFC)。對(duì)于領(lǐng)航者子系統(tǒng)，提出一種ISM控制策略，通過(guò)引入的積分項(xiàng)，消除了傳統(tǒng)滑?？刂浦械内吔A段，提高了系統(tǒng)的魯棒性。對(duì)于跟隨者子系統(tǒng)，提出一種NTSM控制策略，通過(guò)引入的超扭趨近律削弱了抖振情況。對(duì)于四旋翼系統(tǒng)所受的外界擾動(dòng)，引入FTESO實(shí)現(xiàn)了對(duì)于擾動(dòng)的有限時(shí)間觀測(cè)，以上所設(shè)計(jì)的控制策略均具有有限時(shí)間收斂特性，其收斂速度更快、控制精度更高。最終，穩(wěn)定性分析證明了閉環(huán)系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性。

1 預(yù)備知識(shí)及問(wèn)題描述

1.1 預(yù)備知識(shí)

引理1[15]存在如下系統(tǒng):

(1)

引理2[16]存在如下系統(tǒng):

(2)

式中:ζ1、ζ2為系統(tǒng)狀態(tài)；1、2、φ1、φ2均為正常數(shù)；若滿足則該系統(tǒng)是有限時(shí)間穩(wěn)定的。

引理3[17]存在如下非線性系統(tǒng):

x(t)=f(x(t))

(3)

式中:x=[x1,x2,…,xn]T為系統(tǒng)狀態(tài)；f(·)是在原點(diǎn)鄰域上的非線性函數(shù)。如果存在一個(gè)正定標(biāo)量函數(shù)V(x)滿足如下條件:

(4)

式中:δ1>0;δ2>0;0

1.2 問(wèn)題描述

令Ξn=[zn,xn,yn]T表示地理坐標(biāo)(OE,XE,YE,ZE)下四旋翼進(jìn)行垂直與平移運(yùn)動(dòng)的位置信息，Γn=[φn,θn,ψn]T表示機(jī)體坐標(biāo)系(OB,XB,YB,ZB)下四旋翼進(jìn)行旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的橫滾角、俯仰角和偏航角信息，其中下標(biāo)n=0,1,2分別代表領(lǐng)航者與兩個(gè)跟隨者四旋翼，基于文獻(xiàn)[11]，可得如下的四旋翼動(dòng)力學(xué)模型:

(5)

式中:c(·)與s(·)分別代表cos(·)與sin(·)函數(shù)；a1=(Iy-Iz)/Ix;a2=Jr/Ix;a3=(Iz-Ix)/Iy;a4=-Jr/Iy;a5=(Ix-Iy)/Iz;b1=Iq/Ix;b2=Iq/Iy;b3=1/Iz;m為四旋翼的質(zhì)量;Iq為四旋翼質(zhì)心與旋翼之間的距離;Ix、Iy、Iz和Jr分別表示機(jī)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與旋翼的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;d1n至d6n表示四旋翼飛行過(guò)程中所受的外界擾動(dòng);ω1n至ω4n表示四旋翼四個(gè)電機(jī)的旋轉(zhuǎn)速度且它們之間的關(guān)系為ωn=ω1n-ω2n+ω3n-ω4n;u1n、u4n、u5n、u6n為四旋翼的四個(gè)控制輸入。

由于四旋翼是一個(gè)具有四輸入六輸出的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，因其無(wú)法控制所有的狀態(tài)，所以令zn、xn、yn和ψn跟蹤期望軌跡znd、xnd、ynd和ψnd同時(shí)引入兩個(gè)虛擬控制變量u2n和u3n來(lái)表示俯仰角、橫滾角與機(jī)體沿x軸及y軸運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，具體形式如下:

(6)

對(duì)式(6)進(jìn)行反解運(yùn)算可得橫滾角和俯仰角信息的期望值，即:

(7)

進(jìn)一步簡(jiǎn)化x與y通道的動(dòng)力學(xué)模型，得到：

(8)

如圖1所示，基于一領(lǐng)航者、兩跟隨者的編隊(duì)結(jié)構(gòu)，領(lǐng)航者與跟隨者的相對(duì)距離關(guān)系可表示為:

圖1 xy平面下的領(lǐng)航者-跟隨者編隊(duì)結(jié)構(gòu)

(9)

式中:Ixn、Iyn(n=1,2)是跟隨者1和跟隨者2與領(lǐng)航者的相對(duì)距離ln在x軸和y軸上的投影。v0、vn與vx0、vxn、vy0和vyn分別為領(lǐng)航者與跟隨者1、跟隨者2的線速度及其分量，由式(9)得：

(10)

式中:lxnd、lynd為領(lǐng)航者與跟隨者的期望相對(duì)距離，xnd、ynd是在領(lǐng)航者位置信息已知情況下根據(jù)相對(duì)距離關(guān)系解算出來(lái)的跟隨者平移運(yùn)動(dòng)的期望位置信息。

(11)

式中:fin,gin,i=1,2,…,6為其對(duì)應(yīng)的非線性函數(shù)。

考慮四旋翼的軌跡跟蹤誤差系統(tǒng)如下:

ein=x1ind-x1in

(12)

式中:x1i0d=(z0d,x0d,y0d,φ0d,θ0d,ψ0d),x1ind=(znd,xnd,ynd,φnd,θnd,ψnd)為領(lǐng)航者與跟隨者的期望軌跡。

本文的控制目標(biāo)是，考慮一組受外界擾動(dòng)影響的四旋翼系統(tǒng)，對(duì)于領(lǐng)航者，基于給定的期望軌跡z0d、x0d、y0d、ψ0d，通過(guò)設(shè)計(jì)有限時(shí)間控制律ui0使得跟蹤誤差ei0在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零。對(duì)于跟隨者，將領(lǐng)航者的高度z0、偏航角ψ0，以及基于領(lǐng)航者位置信息解算出的xnd、ynd作為跟隨者的期望軌跡，通過(guò)設(shè)計(jì)有限時(shí)間控制律uin使得跟蹤誤差ein在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零。對(duì)于外界擾動(dòng)，設(shè)計(jì)有限時(shí)間擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)對(duì)于擾動(dòng)的有限時(shí)間觀測(cè)。

假設(shè)1擾動(dòng)din滿足連續(xù)可微且有界，即:

(13)

式中:L是有界正常數(shù)。

2 FTESO-LFFC控制策略設(shè)計(jì)

本文提出一種基于有限時(shí)間擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的四旋翼主從編隊(duì)控制策略，主要分為擾動(dòng)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)，領(lǐng)航者子系統(tǒng)與跟隨者子系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)，具體設(shè)計(jì)方案如下。

2.1 有限時(shí)間擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器

考慮式(11)，一種有限時(shí)間擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器可以設(shè)計(jì)為如下形式:

(14)

式中:z1in、z2in、z3in分別為x1in、x2in、din的觀測(cè)值；β1>0,β2>0,β3>0為所設(shè)計(jì)的正常數(shù)。這里sig函數(shù)具體表示為:

sigα(x)=|x|αsign(x)

(15)

2.2 領(lǐng)航者子系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)

結(jié)合式(11)與式(12)，領(lǐng)航者的軌跡跟蹤誤差可表示為：

ei0=x1i0d-x1i0

(16)

誤差變量的一階導(dǎo)數(shù)形式為:

(17)

結(jié)合式(16)和式(17)，一種積分滑模面設(shè)計(jì)如下:

(18)

式中:ci>0，ki>0為所設(shè)計(jì)的正常數(shù)。

考慮假設(shè)1及式(16)-式(18)，積分滑模控律設(shè)計(jì)如下:

fi0-z3i0+kiei0)

(19)

式中:hi>0，ηi>0，t>0，κ>0為所設(shè)計(jì)的正常數(shù)。

2.3 跟隨者子系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)

同理可得跟隨者的軌跡跟蹤誤差及其導(dǎo)數(shù)為:

ein=x1ind-x1in

(20)

(21)

結(jié)合式(20)和式(21)，一種非奇異終端滑模面設(shè)計(jì)如下:

(22)

式中:λ>0;p和q是正奇數(shù)，且1

基于假設(shè)1及式(20)-式(22)，設(shè)計(jì)如下的非奇異終端滑?？刂坡?

(23)

式中:ρ1i>0,ρ2i>0，為所設(shè)計(jì)的正常數(shù)。

3 穩(wěn)定性分析

定理1FTESO-LFFC考慮滿足假設(shè)1的式(11)，在式(14)、式(19)、式(23)的作用下，系統(tǒng)所受的擾動(dòng)可在有限時(shí)間內(nèi)被觀測(cè)到，同時(shí)式(16)、式(20)中的跟蹤誤差ei0、ein，可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零，其實(shí)際狀態(tài)可以在有限時(shí)間內(nèi)跟蹤上期望值。

證明:證明過(guò)程分為三步，首先證明擾動(dòng)din可以由式(14)實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間觀測(cè)，其次證明領(lǐng)航者的跟蹤誤差ei0可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零。最后證明跟隨者的跟蹤誤差ein同樣可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零。

步驟1定義擾動(dòng)觀測(cè)誤差如式(24)所示。

(24)

結(jié)合式(11)和式(14)，對(duì)式(24)求導(dǎo)得:

(25)

由引理1可知，式(14)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間穩(wěn)定，同時(shí)觀測(cè)誤差μ1in、μ2in、μ3in可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零，即:

z1in≡x1in,z2in≡x2in,z3in≡din

(26)

進(jìn)一步可得:

z3in-din=0

(27)

步驟2對(duì)于領(lǐng)航者子系統(tǒng)，建立如下的Lyapunov函數(shù):

(28)

對(duì)式(28)求導(dǎo)可得:

(29)

將式(19)與式(27)代入式(29)中可得:

(30)

對(duì)整個(gè)領(lǐng)航者子系統(tǒng)，建立如下Lyapunov函數(shù):

(31)

對(duì)式(31)求導(dǎo)得:

(32)

由引理2可知，領(lǐng)航者系統(tǒng)的跟蹤誤差ei0可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零。

步驟3對(duì)于跟隨者子系統(tǒng)，對(duì)式(22)求導(dǎo)可得：

(33)

將式(23)與式(27)代入式(33)中可得：

(34)

(35)

對(duì)式(35)求導(dǎo)得:

(36)

由引理3可知，所設(shè)計(jì)的非奇異終端滑模面能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零，進(jìn)一步，根據(jù)式(22)可知，跟隨者的跟蹤誤差ein同樣可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零。

根據(jù)以上分析可知，式(14)、式(16)-式(19)、式(20)-式(23)可以實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間穩(wěn)定，進(jìn)一步來(lái)看，整個(gè)編隊(duì)系統(tǒng)也可以實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間穩(wěn)定。

4 仿真研究

為了驗(yàn)證所提出控制策略的有效性與可行性，本文采用文獻(xiàn)[11]中的四旋翼飛行器進(jìn)行仿真研究，具體參數(shù)為m=2.2 kg,g=9.81 m/s2,lq=0.235 m,b=3.14×10-5m·s-2,d=7.6×10-7N·s-2,Ix=Iy=6.228×10-3kg·m-2,Iz=1.125×10-2kg·m-2,Jr=1.54×10-5kg·m2。

令領(lǐng)航者期望軌跡為(z0d,x0d,y0d,ψ0d)=(0.1t,sin(0.2t),cos(0.2t),0.1)。領(lǐng)航者與兩個(gè)跟隨者的初始位置為(0,-0.5,1)、(0,-1,2)和(0,-1,0)，同時(shí)其期望相對(duì)距離在兩坐標(biāo)軸的投影為lx1d=ly1d=1,lx2d=ly1d=-1。

假設(shè)領(lǐng)航者與兩個(gè)跟隨者在飛行過(guò)程中所受擾動(dòng)為di0=cos(0.5t),di1=sin(0.5t),di2=cos(0.5t)+sin(0.5t),i=1,2,…,6。同時(shí)，其控制器與觀測(cè)器的參數(shù)選擇為c1=c2=c3=10，c4=c5=c6=60,ki=1,hi=1,ηi=1,ρ1i=30,ρ2i=1,i=1,2,…,6,ι=1,κ=2,λ1=λ2=λ3=1,λ4=λ5=λ6=10,p=7,q=5,β1=β2=β3=10。

仿真結(jié)果如圖2-圖10所示。圖2-圖3給出了領(lǐng)航者與跟隨者1、跟隨者2的軌跡跟蹤情況與姿態(tài)角變化曲線，可以看到領(lǐng)航者與跟隨者都可以在較短時(shí)間內(nèi)跟蹤上其對(duì)應(yīng)的期望狀態(tài)，具體來(lái)看，兩者實(shí)際的位置與偏航角曲線在5 s內(nèi)就可以穩(wěn)定地跟蹤期望值，但受四旋翼固有欠驅(qū)動(dòng)特性的影響，橫滾角與俯仰角跟蹤較慢，但在10 s內(nèi)也可以達(dá)到穩(wěn)定。為了突出本文所設(shè)計(jì)控制策略的優(yōu)越性，引入傳統(tǒng)的滑?？刂?SMC)策略進(jìn)行對(duì)比仿真研究，由圖2和圖3可以看出，在存在外界擾動(dòng)的情況下，本文所設(shè)計(jì)控制策略穩(wěn)定性更強(qiáng)，而傳統(tǒng)的滑?？刂撇呗詿o(wú)法保證穩(wěn)定的軌跡跟蹤效果。在實(shí)現(xiàn)上述軌跡跟蹤控制的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對(duì)外界擾動(dòng)進(jìn)行了觀測(cè)，圖4-圖9給出了領(lǐng)航者與跟隨者所受擾動(dòng)及其觀測(cè)值的情況，可以看到所設(shè)計(jì)的擾動(dòng)觀測(cè)器具有良好的觀測(cè)效果，可以在短時(shí)間內(nèi)跟蹤上實(shí)際的擾動(dòng)。如圖10所示是編隊(duì)系統(tǒng)的空間軌跡跟蹤效果圖，可看出相比于傳統(tǒng)的滑模控制策略，本文所設(shè)計(jì)的控制策略與擾動(dòng)觀測(cè)器，可以實(shí)現(xiàn)快速、穩(wěn)定的編隊(duì)跟蹤控制效果。

圖2 領(lǐng)航者與跟隨者的位置跟蹤曲線

圖3 領(lǐng)航者與跟隨者的姿態(tài)跟蹤曲線

圖4 領(lǐng)航者所受擾動(dòng)d10至d30的觀測(cè)情況

圖5 領(lǐng)航者所受擾動(dòng)d40至d60的觀測(cè)情況

圖6 跟隨者1所受擾動(dòng)d11至d31的觀測(cè)情況

圖7 跟隨者1所受擾動(dòng)d41至d61的觀測(cè)情況

圖8 跟隨者2所受擾動(dòng)d12至d32的觀測(cè)情況

圖9 跟隨者2所受擾動(dòng)d42至d62的觀測(cè)情況

圖10 編隊(duì)飛行的三維軌跡跟蹤效果圖

5 結(jié) 語(yǔ)

本文提出一種基于有限時(shí)間擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的主從編隊(duì)跟蹤控制策略，實(shí)現(xiàn)了四旋翼編隊(duì)在外界干擾下的快速、穩(wěn)定的軌跡跟蹤控制。該方法采用有限時(shí)間擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)了有限時(shí)間內(nèi)對(duì)系統(tǒng)擾動(dòng)的觀測(cè)，提高了系統(tǒng)的抗干擾能力。同時(shí)對(duì)于整個(gè)編隊(duì)系統(tǒng)，將其分為領(lǐng)航者與跟隨者子系統(tǒng)，分別對(duì)其采用積分滑模與非奇異終端滑?？刂撇呗?，這兩種方法均具有有限時(shí)間收斂特性，相比于傳統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定控制策略，所得到的有限時(shí)間穩(wěn)定使得閉環(huán)系統(tǒng)的控制精度更高、收斂速度更快。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提出控制策略的可行性與有效性。