張 政, 楊勝來, 袁鐘濤, 張希勝, 李 帥, 王 萌

(中國(guó)石油大學(xué)(北京) 油氣資源與探測(cè)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 102249)

低滲透油藏中流體滲流由于啟動(dòng)壓力梯度等非線性滲流特征的存在, 不符合達(dá)西定律[1]。目前研究低滲透油藏滲流時(shí)，常用的滲流模型有擬啟動(dòng)壓力梯度模型[2]、非線性滲流模型[3-4]。低滲透油藏自然產(chǎn)能較低[5-6]，因此需要壓裂等增產(chǎn)措施。近些年，壓裂定向井產(chǎn)能公式的研究有：Roemershauser[7]提出了定向井穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能分析的電模擬實(shí)驗(yàn)方法；Cinco[8]計(jì)算了裂縫無限導(dǎo)流情況下井底壓力； Vandervlis[9]測(cè)量了閉合壓力下裂縫的傳導(dǎo)能力。韓秀玲[10]考慮油水兩相條件下，采用等效直井方法，建立考慮井斜影響的規(guī)則井網(wǎng)整體壓裂產(chǎn)能預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)模型。程遠(yuǎn)方[11]進(jìn)行定向井壓裂裂縫三維擴(kuò)展形態(tài)的可視化仿真。張晉[12]根據(jù)勢(shì)疊加原理，把天然裂縫和人工裂縫當(dāng)成獨(dú)立的源進(jìn)行勢(shì)疊加，考慮天然裂縫和人工裂縫的耦合作用，建立壓裂定向井穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量計(jì)算公式。賈品[13]將油藏到裂縫流動(dòng)和裂縫內(nèi)部流動(dòng)進(jìn)行耦合，建立了一種新的壓裂傾斜縫和油藏耦合的壓力半解析模型。黃世軍[14]基于點(diǎn)源勢(shì)函數(shù)，采用勢(shì)疊加建立定向井和壓裂定向井三維勢(shì)函數(shù)，推導(dǎo)了各向異性油藏中壓裂定向井的穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能新公式。

前人研究低滲油藏定向井產(chǎn)能多采用擬啟動(dòng)壓力梯度模型，但擬啟動(dòng)壓力梯度模型并不能完全反映低滲透油藏的滲流特征。該研究針對(duì)低滲透油藏壓裂定向井，通過保角變換建立壓裂定向井達(dá)西模型、擬啟動(dòng)壓力梯度、非線性滲流產(chǎn)能公式，計(jì)算3種模型壓裂定向井產(chǎn)能并與實(shí)際油井產(chǎn)能進(jìn)行對(duì)比，分析產(chǎn)能敏感性，希冀對(duì)低滲透油藏壓裂定向井產(chǎn)能計(jì)算提供依據(jù)。

1 假設(shè)條件

壓裂定向井模型如圖1所示。假設(shè)條件為：1)水平、均質(zhì)、等厚各向異性無限大油藏，油藏厚度為h，水平滲透率為kh，垂向滲透率為kv；2)不可壓縮單相流體；3)在任意x-y平面上，裂縫沿最大水平主應(yīng)力方向延伸；4)忽略重力和井筒沿程壓力損失的影響；5)忽略裂縫內(nèi)的流動(dòng)壓降，即裂縫具有無限導(dǎo)流能力；6)裂縫為垂直縫，對(duì)稱分布于井筒兩邊[14]；7)裂縫寬度遠(yuǎn)小于油藏的供給半徑，因此在保角變換中可以忽略不計(jì)。

圖1 壓裂定向井空間示意圖Fig.1 Schematic diagram of fracturing directional well space

2 3種滲流模型壓裂定向井產(chǎn)能公式

2.1 擬啟動(dòng)壓力梯度和非線性滲流模型

擬啟動(dòng)壓力梯度滲流數(shù)學(xué)模型為

(1)

式中：G為擬啟動(dòng)壓力梯度，MPa/m；kh為地層水平滲透率，(×10-3μm2)；μ為黏度，mPa·s。

根據(jù)流量-壓差法實(shí)驗(yàn)做冀東油田某區(qū)塊擬啟動(dòng)壓力梯度實(shí)驗(yàn)，不同流度和對(duì)應(yīng)的擬啟動(dòng)壓力梯度數(shù)值如圖2所示。

圖2 擬啟動(dòng)壓力梯度與流度關(guān)系Fig.2 The relationship between the pressure gradient to start and the fluidity ratio

進(jìn)行回歸分析得到冀東油田某區(qū)塊巖石擬啟動(dòng)壓力梯度公式為

(2)

引入考慮邊界層影響的多個(gè)毛細(xì)管組成油藏的流量公式[15]，結(jié)合擬啟動(dòng)壓力梯度實(shí)驗(yàn)與邊界層實(shí)驗(yàn)，根據(jù)逐步回歸篩選不同儲(chǔ)層主控因素，得影響邊界層厚度與毛細(xì)管半徑之比的主要變量是流體黏度和壓力梯度，再用多元非線性回歸得邊界層厚度與毛細(xì)管半徑之比和黏度、壓力梯度之間的關(guān)系為

(3)

式中：r為毛細(xì)管半徑，m；δ為邊界層厚度，m。

流體的屈服應(yīng)力不變，則

(4)

式中：τ0為流體屈服應(yīng)力值，MPa。

將式(3)和式(4)代入考慮邊界層影響的多個(gè)毛細(xì)管組成油藏的流量公式，忽略高階小項(xiàng)得：

(5)

因此非線性滲流數(shù)學(xué)模型為

(6)

式中：a1和a2為根據(jù)實(shí)驗(yàn)擬合的啟動(dòng)壓力梯度和非線性滲流的特征參數(shù)。

定義FG為考慮壓力梯度、邊界層、黏度影響的非線性啟動(dòng)壓力梯度公式。

由式(6)得:

(7)

2.2 壓裂定向井達(dá)西、擬啟動(dòng)壓力梯度、非線性滲流模型產(chǎn)能公式

垂直縫生產(chǎn)時(shí)，在地層中產(chǎn)生平面二維橢圓滲流，形成以裂縫端點(diǎn)為焦點(diǎn)的等壓橢圓和雙曲線流線簇[16-19]。而定向井壓裂形成垂直縫時(shí)，裂縫傾斜，要考慮因?yàn)榫痹斐傻呢?fù)表皮系數(shù)和真實(shí)表皮系數(shù)對(duì)裂縫泄油半徑的影響。

以定向井井筒為z′方向，裂縫延伸方向?yàn)閤′方向，同平面垂直于裂縫延伸方向的為y′方向。如圖3所示，將z′平面的橢圓形滲流場(chǎng)轉(zhuǎn)換為W平面單向流滲流。圖3中z′平面上，①和③是裂縫終端，②是井筒，④和⑥是油井控制半徑終端，⑤是油井動(dòng)用半徑終端，W平面①～⑥為z′平面經(jīng)過保角變換映射的點(diǎn)。

圖3 垂直裂縫保角變換示意圖Fig.3 Schematic diagram of conformal transformation of vertical seams

取變換函數(shù)為

z′=Lcoshw

(8)

式中：L為裂縫半長(zhǎng)，m。

其中：z′=x′+iy′ , 帶入式(8)得

x′+iy′=L(coshucosv+isinhusinv)

(9)

z′平面的等勢(shì)線公式為

(10)

當(dāng)u0較大時(shí)，對(duì)應(yīng)z′平面半徑為re的圓

(11)

等勢(shì)線公式變?yōu)?/p>

(12)

所以

(13)

而在以地層垂深為z方向的Z平面上要考慮井斜造成的表皮系數(shù)和真實(shí)表皮系數(shù)，因此u0變?yōu)?/p>

(14)

式中：Sθ為Besson[20-22]法井斜表皮系數(shù)；Sd為真實(shí)表皮系數(shù)。

在W平面上

(15)

考慮應(yīng)力敏感性對(duì)產(chǎn)能的影響

(16)

式中：pi為原始地層壓力，MPa；kh為地層水平滲透率，(×10-3μm2)；α為應(yīng)力敏感系數(shù)，MPa-1。

將式(2)和式(7)代入式(15)，修正得考慮應(yīng)力敏感系數(shù)的擬啟動(dòng)壓力梯度模型

(17)

以及非線性滲流模型壓裂定向井產(chǎn)能公式

(18)

式中：Q為油井產(chǎn)能，m3/d；pe和pw分別為供給邊界的壓力、油井井底壓力，MPa；Bo為原油體積系數(shù)；μo為原油黏度，mPa·s；re和rw分別為供給半徑、井筒半徑，m；rD為動(dòng)用半徑，m。

當(dāng)式(17)擬啟動(dòng)壓力梯度為零時(shí)，公式變?yōu)閴毫讯ㄏ蚓_(dá)西模型產(chǎn)能公式。

3 模型驗(yàn)證及不同產(chǎn)能模型對(duì)比

選取冀東低滲透油藏油田定向井，定向井所處地層水平平均滲透率為1.95×10-3μm2，地層垂向平均滲透率為1.26×10-3μm2，原始地層壓力為33.95 MPa，供給壓力為25.27 MPa，原油黏度0.85 mPa·s，原油體積系數(shù)1.275 8，真實(shí)表皮系數(shù)2.6，具體參數(shù)見表1。在當(dāng)前水平滲透率和黏度條件下擬合得到a1=0.068 7，a2=0.361 4。不同生產(chǎn)壓差下3種滲流模型產(chǎn)能與實(shí)際產(chǎn)能對(duì)比如圖4a所示；不同生產(chǎn)壓差下3種滲流模型產(chǎn)能與實(shí)際產(chǎn)能誤差如圖4b所示。

表1 油藏和油井基本參數(shù)Table 1 Basic parameters of reservoir and oil well

圖4 3種滲流模型與實(shí)際對(duì)比Fig.4 Comparison of the three seepage models and the actual well productivity

由圖4a得知，在確定生產(chǎn)壓差下，壓裂定向井達(dá)西模型產(chǎn)能是實(shí)際產(chǎn)能的1.56倍，擬啟動(dòng)壓力梯度模型產(chǎn)能是實(shí)際產(chǎn)能的0.86倍，非線性滲流模型產(chǎn)能是實(shí)際產(chǎn)能的1.05倍，達(dá)西模型產(chǎn)能最大，非線性滲流模型產(chǎn)能次之，擬啟動(dòng)壓力梯度模型產(chǎn)能最小。由圖4b得知，達(dá)西模型、擬啟動(dòng)壓力梯度模型、非線性滲流模型產(chǎn)能與實(shí)際產(chǎn)能平均誤差分別為56.14%，13.72%和5.11%。達(dá)西模型產(chǎn)能比實(shí)際產(chǎn)能多了50.14%，是忽略了啟動(dòng)壓力梯度、邊界層等其他因素對(duì)產(chǎn)能的影響。擬啟動(dòng)壓力梯度模型產(chǎn)能誤差是非線性滲流模型產(chǎn)能誤差的2.68倍，一定程度上說明擬啟動(dòng)壓力梯度模型并不能完全反映低滲透油藏非線性滲流特征，而非線性滲流模型可以精確地描述低滲透油藏非線性滲流特征。

4 產(chǎn)能敏感性分析

采用建立的3種產(chǎn)能模型進(jìn)行敏感性分析，影響因素為裂縫半長(zhǎng)、井斜角、應(yīng)力敏感。分析結(jié)果如圖5所示。選取生產(chǎn)壓差8.44 MPa下裂縫半長(zhǎng)10～90 m，裂縫半長(zhǎng)對(duì)產(chǎn)能的影響如圖5a所示。由圖5a得知，隨著裂縫半長(zhǎng)的增加，3種滲流模型產(chǎn)能增加；裂縫半長(zhǎng)相同時(shí)，達(dá)西模型產(chǎn)能最大，非線性滲流模型產(chǎn)能次之，擬啟動(dòng)壓力梯度模型產(chǎn)能最小。并隨著裂縫半長(zhǎng)逐漸增加，3種滲流模型產(chǎn)能增加幅度平緩。

選取生產(chǎn)壓差8.44 MPa下井斜角10 °～70 °，井斜角對(duì)產(chǎn)能的影響如圖5b所示。由圖5b得知，隨著井斜角的增加，3種滲流模型產(chǎn)能增加；井斜角相同時(shí)，達(dá)西模型產(chǎn)能最大，非線性滲流模型次之，擬啟動(dòng)壓力梯度模型產(chǎn)能最小。井斜角在0 °～30 °，3種滲流模型產(chǎn)能增加幅度平緩，井斜角超過30 °之后，3種滲流模型產(chǎn)能增加幅度逐漸變大。這是由于隨井斜角的增加，井筒與儲(chǔ)層接觸面積增大，提高了油井產(chǎn)能。

選取生產(chǎn)壓差8.44 MPa下應(yīng)力敏感系數(shù)0～0.1 MPa-1，應(yīng)力敏感系數(shù)對(duì)產(chǎn)能的影響如圖5c所示。由圖5c得知，隨著應(yīng)力敏感系數(shù)增加，3種滲流模型定向井產(chǎn)能減小；在相同應(yīng)力敏感系數(shù)下，達(dá)西模型產(chǎn)能最大，擬啟動(dòng)壓力梯度模型產(chǎn)能次之，非線性滲流模型產(chǎn)能最??；在應(yīng)力敏感系數(shù)較小時(shí)，3種滲流模型產(chǎn)能差距較大；而隨著應(yīng)力敏感系數(shù)增加，定向3種滲流模型產(chǎn)能差距減小，并且油井產(chǎn)能下降趨勢(shì)均變緩。這是由于應(yīng)力敏感系數(shù)增加，巖石滲透率下降趨勢(shì)變緩，產(chǎn)能下降變緩。

圖5 敏感性分析Fig.5 Sensitivity analysis

5 結(jié)論

1)在相同生產(chǎn)壓差下，壓裂定向井達(dá)西模型產(chǎn)能是實(shí)際產(chǎn)能的1.56倍，擬啟動(dòng)壓力梯度模型產(chǎn)能是實(shí)際產(chǎn)能的0.86倍，非線性滲流模型產(chǎn)能是實(shí)際產(chǎn)能的1.05倍，因此采用非線性滲流模型計(jì)算產(chǎn)能較為精確。

2)達(dá)西模型產(chǎn)能與實(shí)際產(chǎn)能平均誤差是56.14%，說明低滲透儲(chǔ)層存在啟動(dòng)壓力梯度、邊界層等其他因素影響，不宜用達(dá)西模型計(jì)算低滲透油藏定向井產(chǎn)能；擬啟動(dòng)壓力梯度模型、非線性滲流模型與實(shí)際產(chǎn)能平均誤差分別是13.72%和5.11%，擬啟動(dòng)壓力梯度模型產(chǎn)能誤差比非線性滲流模型產(chǎn)能誤差大，說明擬啟動(dòng)壓力梯度不能完全反映低滲透油藏滲流特征，而非線性滲流模型可以較為精確反映低滲透油藏滲流特征。

3)隨著裂縫增加，3種滲流模型產(chǎn)能增加，并隨著裂縫長(zhǎng)度增加，產(chǎn)能增加趨勢(shì)變緩；隨著井斜角的增加，3種滲流模型定向井產(chǎn)能增加，井斜角在大于30 °之后，3種滲流模型產(chǎn)能增加幅度逐漸變大；隨著應(yīng)力敏感系數(shù)增加，3種滲流模型定向井產(chǎn)能減小。因此選擇合適的裂縫長(zhǎng)度和井斜角并降低應(yīng)力敏感對(duì)產(chǎn)能的影響，對(duì)油田增產(chǎn)尤為重要。