方程與不等式是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，反映的是數(shù)學(xué)中“相等”與“不等”兩種基本的數(shù)量關(guān)系，是解決數(shù)學(xué)問題和生活實(shí)際問題的有力工具，是中考考查的重要內(nèi)容。在做題的過程中，不少同學(xué)覺得，有的題明明會(huì)做，可還是錯(cuò)了;有的題看著挺眼熟，可就是不知如何下手……接下來，本文從中考中尋找易錯(cuò)的題型，抓住考查的要點(diǎn)，揭秘方程與不等式易錯(cuò)題背后的錯(cuò)因。

例1 解方程：x（x-7）=8（7-x）。

【典型錯(cuò)誤】方程兩邊同時(shí)除以（x-7），得x=-8。

【錯(cuò)因分析】運(yùn)用等式的基本性質(zhì)，等式兩邊同除以一個(gè)不為零的數(shù)或式子，但除以（x-7）時(shí)未考慮x-7=0的情況，所以方程“失”去了一個(gè)根。

【正解】x（x-7）-8（7-x）=0，

（x-7）（x+8）=0，

x-7=0或x+8=0，

所以x1=7，x2=-8。

【點(diǎn)評(píng)】解一元二次方程時(shí)，若方程有實(shí)數(shù)根，一定有兩個(gè)（相等或不相等）實(shí)數(shù)根。如遇到x（x-7）=8（7-x）這種形式的方程時(shí)，不能兩邊同除以（x-7），而應(yīng)先移項(xiàng)、再提公因式，一邊因式分解為兩個(gè)一次因式的乘積，另一邊是0，謹(jǐn)防失根的情況出現(xiàn)。

例2 解方程：[2x+1]+1=[xx-1]。

【典型錯(cuò)誤1】方程兩邊同時(shí)乘（x+1）·（x-1），得2（x-1）+1=x（x+1）。

方程無解。

【典型錯(cuò)誤2】方程兩邊同時(shí)乘（x+1）（x-1），得2（x-1）+（x+1）（x-1）=x·（x+1）。

解得x=3。

【錯(cuò)因分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)，方程兩邊同時(shí)乘最簡公分母（x+1）（x-1），應(yīng)乘方程的每一項(xiàng)，而“典型錯(cuò)誤1”中的常數(shù)項(xiàng)1沒有乘（x+1）（x-1），與原方程不是同解方程。“典型錯(cuò)誤2”是沒有將求出來的根進(jìn)行檢驗(yàn)，不確定其是否為增根，這樣解出的根可能導(dǎo)致分母為0。

【正解】方程兩邊同時(shí)乘（x+1）·（x-1），

得2（x-1）+（x+1）（x-1）=x（x+1）。

解得x=3。

檢驗(yàn)：當(dāng)x=3時(shí)，（x+1）（x-1）≠0。

所以，原方程的解為x=3。

【點(diǎn)評(píng)】由于解分式方程需要去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程求解，所以可能會(huì)產(chǎn)生增根，因此需要進(jìn)行檢驗(yàn)。同時(shí)，應(yīng)用等式基本性質(zhì)時(shí)，不要漏乘。碰到類似題目時(shí)，一是不要圖快而遺漏，二是一定要記得檢驗(yàn)。

例3 以下是圓圓解不等式組[2（1+x）>-1，①-1（1-x）>-2? ②]的解答過程：

解：由①，得2+x>-1，所以x>-3。

由②，得1-x>2，所以-x>1，

所以x>-1。

所以原不等式組的解是x>-1。

圓圓的解答過程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，請寫出正確的解答過程。

【錯(cuò)因分析】在去括號(hào)的過程中，需要與括號(hào)里的每一項(xiàng)相乘，所以解不等式①不對(duì);不等式兩邊同時(shí)除以-1時(shí)，不等號(hào)的方向要改變，所以解不等式②不對(duì)。

【正解】圓圓的解答過程有錯(cuò)誤。

正確過程如下：由①，得2+2x>-1，

∴2x>-3，

∴x>[-32]。

由②，得1-x<2，

∴-x<1，

∴x>-1。

∴不等式組的解集為x>-1。

【點(diǎn)評(píng)】解不等式時(shí)，兩邊同乘負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向要改變;不等式組的解集可以借助“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無處找”，也可以畫數(shù)軸求解。

例4 已知關(guān)于x的一元二次方程x2-mnx+m+n=0，其中m、n在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則這個(gè)方程的根的情況是（ ）。

<E：＼初中生＼9年級(jí)語文＼3＼張?zhí)锾?1.tif>

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根

D.無法確定

【典型錯(cuò)誤】C或D。

【錯(cuò)因分析】雖然根據(jù)數(shù)軸可以判斷m、n的符號(hào)，但是不一定聯(lián)想到m+n、mn的符號(hào)，從而不能判斷根的判別式。也有同學(xué)直接去求方程的根，但隨后卻無從下手。

【正解】由數(shù)軸，得m>0，n<0，m+n<0，

∴mn<0，

∴b2-4ac=（-mn）2-4（m+n）>0，

∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。故選A。

【點(diǎn)評(píng)】判斷一元二次方程根的情況，我們首先想到根的判別式，然后根據(jù)題目所給條件進(jìn)行判斷。

（作者單位：江蘇省南京市致遠(yuǎn)初級(jí)中學(xué)）

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