黃澤瓊，謝小鵬

(華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣東 廣州 510641)

1 引言

隨著嵌入式以及智能控制的發(fā)展，雙輪自平衡機(jī)器人在許多領(lǐng)域已經(jīng)廣泛開展研究和投入使用[1]。雙輪機(jī)器人的體積較小，轉(zhuǎn)彎半徑小使得其運(yùn)動(dòng)更加靈活。這類機(jī)器人在靜態(tài)下是個(gè)典型的不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，必須實(shí)時(shí)依靠雙輪移動(dòng)來保持平衡[2]。也正是因?yàn)殡p輪機(jī)器人的高度不確定性、耦合性和非線性等引起了諸多學(xué)者對(duì)其運(yùn)動(dòng)模型和控制策略的研究[3]。

目前，已有許多控制技術(shù)被應(yīng)用于自平衡機(jī)器人，如傳統(tǒng)的PID控制、滑模(Sliding Mode)控制、狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置控制器和模糊控制等[4-5]。

傳統(tǒng)的PID控制器在被控系統(tǒng)高度復(fù)雜且非線性的情況下通常是無效的。因此，許多研究者試圖將PID控制器與模糊邏輯控制器(FLC)相結(jié)合，以達(dá)到比傳統(tǒng)PID控制器更好的系統(tǒng)性能[6]?，F(xiàn)有運(yùn)用在雙輪機(jī)器人上的模糊控制大多集中于一型模糊集合(T1-FSs)，然而在實(shí)際工程應(yīng)用中，一型模糊推理的前件和后件隸屬度函數(shù)本身具有很大不確定性，當(dāng)隸屬函數(shù)不合適時(shí)，模糊系統(tǒng)也無法滿足控制要求。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)或外界情況改變時(shí)，一型模糊系統(tǒng)直接處理數(shù)據(jù)不確定性的能力變得有限。Zadeh在1975年引入的二型模糊集(T2-FSs)能夠?qū)@種不確定性進(jìn)行建模，二型模糊將不確定性引入模糊集，使得模糊集隸屬函數(shù)具有“三維”特性和“寬帶”效應(yīng)，提高了系統(tǒng)的抗噪聲能力和未知數(shù)據(jù)處理能力。因此，本文根據(jù)T2-FLS設(shè)計(jì)了二型模糊PID控制器，給與實(shí)際工程情況提供了額外的自由度，使得在無法準(zhǔn)確確定隸屬度函數(shù)的情況下，控制系統(tǒng)的自適應(yīng)性和魯棒性明顯增強(qiáng)。

另外，由于雙輪自平衡機(jī)器人系統(tǒng)的輸出變量較多的特點(diǎn)，若對(duì)每個(gè)輸出量直接使用模糊理論全部模糊化，會(huì)產(chǎn)生維度爆炸的現(xiàn)象[7]，使得系統(tǒng)復(fù)雜度大大增加。對(duì)此，本文設(shè)計(jì)了輸出控制量的融合函數(shù)，根據(jù)線性二次型最優(yōu)理論并結(jié)合歸一化思想，將輸出信息進(jìn)行融合，有效簡化了模糊控制系統(tǒng)。將上述方法在MATLAB/SIMULINK中實(shí)現(xiàn)并驗(yàn)證了控制系統(tǒng)的可行性。

2 兩輪自平衡機(jī)器人運(yùn)動(dòng)建模

典型的兩輪自平衡機(jī)器人主要包括一對(duì)相同的車輪、底盤、驅(qū)動(dòng)器、機(jī)身和運(yùn)動(dòng)控制單元等部分，結(jié)構(gòu)示意見圖1。兩輪平衡機(jī)器人本質(zhì)上是一種二維移動(dòng)倒立擺，兩個(gè)車輪分別獨(dú)立驅(qū)動(dòng)，對(duì)稱安裝在機(jī)體的左右兩端。在沒有外力驅(qū)動(dòng)下，雙輪機(jī)器人是個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，會(huì)向一邊自然倒下。因此，機(jī)器人必須通過自身不斷的前后運(yùn)動(dòng)來控制動(dòng)態(tài)下的平衡。

圖1 自平衡機(jī)器人受力分析

該機(jī)器人平衡控制的基本思想是：當(dāng)測量機(jī)體傾角的加速度傳感器檢測到機(jī)體產(chǎn)生傾斜時(shí)，控制系統(tǒng)根據(jù)傾角產(chǎn)生一個(gè)相應(yīng)的力矩，通過控制電機(jī)，驅(qū)動(dòng)兩個(gè)車輪向機(jī)身要倒下的方向運(yùn)動(dòng)，以保持機(jī)器人自身的動(dòng)態(tài)平衡。

圖1中：M表示機(jī)器人機(jī)體質(zhì)量，D為兩輪之間的距離，L表示輪軸與機(jī)體重心之間的距離，θ為機(jī)身的俯仰角度，xl和xr分別為左輪右輪的位移，Hl和Hr表示機(jī)體與左輪和右輪之間相互作用力的x軸分量，Vl和Vr為機(jī)體與左輪和右輪之間相互作用力的y軸分量；Cl和Cr表示左輪電機(jī)和右輪電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩；xp和yp表示機(jī)器人機(jī)體質(zhì)心的位移。

可以得到基于運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的兩輪機(jī)器人系統(tǒng)非線性數(shù)學(xué)模型[8]，具體方程式如下

(1)

Jp=MgLsinθ-ML2sin2θ-

(2)

R為左輪和右輪的半徑，m為左輪和右輪的質(zhì)量，Jp為機(jī)體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Jω為左、右輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ω為y軸與機(jī)體的夾角角速度，x為左輪與右輪轉(zhuǎn)軸中心的位移。

(3)

為簡化表達(dá)，令

N=(2JpR2+2L2MR2)m+JpMR2+2JpJω+2L2MJω

(4)

那么(3)式中的參數(shù)可以表示為

(5)

將平衡機(jī)器人的位移和傾角作為控制系統(tǒng)的輸出，即y=[xθ]T，可以得到輸出方程為

(6)

3 整體控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

3.1 信息融合函數(shù)設(shè)計(jì)

平衡機(jī)器人是個(gè)典型的多輸入多輸出系統(tǒng)，本文設(shè)計(jì)的系統(tǒng)有位移、速度、傾斜角和角速度4個(gè)輸出變量。使用區(qū)間二型模糊控制，若每個(gè)變量僅采用5個(gè)模糊子集，就會(huì)有54=625個(gè)規(guī)則數(shù)；若要達(dá)到模糊系統(tǒng)更加平滑的控制要求，使用7個(gè)模糊子集，規(guī)則數(shù)更是達(dá)到74=2401個(gè)，顯然這樣復(fù)雜的系統(tǒng)難以設(shè)計(jì)，并且過于龐大不便于投入實(shí)際應(yīng)用。

由于本文所研究的系統(tǒng)的四個(gè)內(nèi)部變量具有很強(qiáng)的耦合性和內(nèi)部相關(guān)性，同時(shí)系統(tǒng)的輸出信息也具有直接的耦合性，因此可以構(gòu)造線性融合函數(shù)來實(shí)現(xiàn)降維和簡化模糊控制器的設(shè)計(jì)。將平衡機(jī)器人的四個(gè)狀態(tài)變量集成為誤差E和誤差變化EC，再輸入模糊系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)模糊規(guī)則。

1)根據(jù)線性二次型最優(yōu)理論，結(jié)合平衡機(jī)器人的狀態(tài)方程，給定性能指標(biāo)

(7)

(8)

控制量為u=KXT，由最優(yōu)控制理論，可求出增益矩陣K：

K=(BTPB+R)-1(BTPA)

(9)

其中P可以由下式的Ricatti方程得到

ATPA-ATPB(BTPB+R)-1BTPA+Q=P

(10)

根據(jù)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的控制要求，主要優(yōu)先穩(wěn)定傾角，使機(jī)器人保持直立；運(yùn)動(dòng)速度次之，使整體機(jī)器人保持勻速運(yùn)動(dòng)。選擇合適的加權(quán)矩陣Q和R，調(diào)整控制器參數(shù)后，反復(fù)試驗(yàn)，取R=1，權(quán)矩陣Q為對(duì)角矩陣

Q=diag(1，5，8，1)

(11)

2)將上述所得的增益矩陣K進(jìn)行歸一化，歸一化后再設(shè)計(jì)成狀態(tài)融合函數(shù)。首先選取矩陣K的歐幾里德范數(shù)(2-范數(shù))作為歸一化的除數(shù)，2-范數(shù)計(jì)算如下

(12)

根據(jù)得到的范數(shù)構(gòu)造融合函數(shù)F

(13)

3)將融合函數(shù)作為狀態(tài)反饋?zhàn)兞康某朔e因子即可得到模糊系統(tǒng)的輸入

(14)

3.2 雙閉環(huán)二型模糊自適應(yīng)PID控制

傳統(tǒng)平衡機(jī)器人的控制系統(tǒng)使用雙閉環(huán)PID控制，內(nèi)環(huán)控制機(jī)體傾角平衡，外環(huán)控制機(jī)器人行走的運(yùn)動(dòng)速度或位移。本文設(shè)計(jì)使用區(qū)間二型模糊自適應(yīng)PID控制對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行改進(jìn)，對(duì)每一個(gè)閉環(huán)引入二型模糊控制來動(dòng)態(tài)整定PID的比例、微分、積分增益?？刂葡到y(tǒng)的整體設(shè)計(jì)如圖2所示。

圖2 雙輪平衡機(jī)器人控制系統(tǒng)

控制系統(tǒng)中，內(nèi)環(huán)直接使用平衡機(jī)器人的傾角和傾角速度信息，通過一個(gè)雙輸入雙輸出二型模糊控制器，獲取PD控制器的比例增益和微分增益，對(duì)機(jī)體傾角進(jìn)行反饋控制，使得機(jī)器人首先能保持平衡。外環(huán)使用平衡機(jī)器人的位移、速度、傾角和傾角速度信息，經(jīng)過信息融合函數(shù)，得到二維模糊控制器的兩個(gè)輸入，設(shè)計(jì)一個(gè)雙輸入三輸出的區(qū)間二型模糊模糊控制系統(tǒng)，輸出比例增益增量Δkp、積分增益增量Δki和微分增益增量Δkd，對(duì)PID控制器進(jìn)行參數(shù)整定，最后PID控制器對(duì)機(jī)器人的速度進(jìn)行控制。

4 區(qū)間二型模糊控制算法

4.1 區(qū)間二型模糊集合的定義

二型模糊集合的概念是由一型模糊集合擴(kuò)展而來[9]。一型模糊集合的隸屬度是精確的函數(shù)，但是現(xiàn)實(shí)環(huán)境總是存在高度模糊的信息無法準(zhǔn)確定義隸屬值，而二型模糊則是將模糊集中隸屬度值再次模糊，使其可以直接處理模糊規(guī)則的不確定性，成為了解決現(xiàn)實(shí)環(huán)境中高不確定性問題的有效手段[10]。

(15)

(16)

(17)

FOU作為二型模糊中一個(gè)很重要的概念，體現(xiàn)了模糊集合的主隸屬函數(shù)存在的不確定性范圍，不確定域的選取也影響著模糊推理的準(zhǔn)確性。

4.2 區(qū)間二型模糊控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

一型模糊邏輯系統(tǒng)(T1-FLS)和二型模糊推理系統(tǒng)(T2-FLS)都有相同的四個(gè)部分，即模糊器、規(guī)則庫、模糊推理機(jī)和輸出解模糊接口[11]。此外，與T1-FLS不同，T2-FLS要先將推理機(jī)的模糊集合輸出經(jīng)過降型器(Type Reducer)再進(jìn)入解模糊接口。控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 二型模糊邏輯系統(tǒng)

根據(jù)本文的控制對(duì)象平衡機(jī)器人，設(shè)計(jì)兩個(gè)模糊控制器。第一個(gè)是在內(nèi)環(huán)控制平衡傾角的二型模糊自適應(yīng)PD控制器；第二個(gè)是在外環(huán)控制直行速度的區(qū)間二型模糊自適應(yīng)PID控制器。

內(nèi)環(huán)控制平衡的區(qū)間二型模糊控制器規(guī)則是

外環(huán)控制速度的區(qū)間二型模糊控制器規(guī)則是：

其中規(guī)則前件是函數(shù)融合后的E和EC兩個(gè)變量，E的范圍是[-0.6，0.6]，EC的范圍是[-0.9，0.9]。規(guī)則后件是PID控制器的3個(gè)參數(shù)增量：比例增益增量Δkp、積分增益增量Δki和微分增益增量Δkd。模糊系統(tǒng)的每個(gè)輸入和輸出變量分別模糊化為7個(gè)三角形模糊子集，分別用NB、NM、NS、Z、PS、PM和PB表示。輸入變量E和EC的上隸屬度函數(shù)、下隸屬度函數(shù)和不確定域(FOU)如圖4、圖5所示。

圖4 輸入變量E不確定域

圖5 輸入變量EC不確定域

一共建立7x7=49條變量融合后的E、EC與Δkp、Δki、Δkd之間的模糊推理規(guī)則，這些規(guī)則可以通過區(qū)間二型模糊系統(tǒng)的輸出曲面展現(xiàn)出來。Δkp、Δki、Δkd輸出控制的三維曲面如圖6、圖7、圖8所示。

圖6 Δkp輸出控制曲面

圖7 Δki輸出控制曲面

圖8 Δkd輸出控制曲面

設(shè)計(jì)的區(qū)間二型模糊控制器使用“karnikmendel”(KM)方法進(jìn)行降型，解模糊方法使用面積重心法[12]。

5 仿真分析

針對(duì)兩輪平衡機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)模型，使用本文提出的雙閉環(huán)區(qū)間二型模糊控制系統(tǒng)，結(jié)合信息融合函數(shù)對(duì)其進(jìn)行平衡控制和速度控制。設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)考慮到機(jī)器人在不同的初始狀態(tài)、不同的運(yùn)動(dòng)速度目標(biāo)、擾動(dòng)作用以及參數(shù)不確定性下的控制效果，同時(shí)與雙閉環(huán)PID系統(tǒng)進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證本文算法的可行性與優(yōu)越性。

5.1 平衡控制

圖9 傾角變化曲線

圖10 速度變化曲線

從中可以看出本文提出的T2FLC控制算法使得機(jī)器人在1.7s左右恢復(fù)傾角為0，即機(jī)器人平衡直立狀態(tài)，同時(shí)速度為0，即保持靜止；而PID控制器需要2.5 s左右使機(jī)器人保持平衡。

5.2 速度控制

圖11 傾角變化曲線

圖12 速度變化曲線

從曲線中可以看出平衡機(jī)器人從靜止加速到0.7m/s并保持直立穩(wěn)定狀態(tài)，使用二型模糊控制只需1.6秒，而使用傳統(tǒng)雙閉環(huán)PID需要3秒左右。在整體速度調(diào)整過程中，二型模糊控制表現(xiàn)的更加平穩(wěn)，傾角超調(diào)量也較小。

5.3 增加干擾

考慮增加擾動(dòng)的情況，仍然以零狀態(tài)變量為初始條件，設(shè)定目標(biāo)速度為1m/s，當(dāng)機(jī)器人達(dá)到目標(biāo)速度且保持穩(wěn)定之后，在t=5s時(shí)施加一個(gè)峰值為5的瞬時(shí)輸入擾動(dòng)，比較PID和T2FLC的控制效果，傾角和速度響應(yīng)曲線如下圖所示。

圖13 傾角變化曲線

圖14 速度變化曲線

在第5秒時(shí)，平衡機(jī)器人遇到干擾，此時(shí)傾角和速度都出現(xiàn)較大的波動(dòng)，控制器對(duì)其進(jìn)行調(diào)整，從曲線中可以看出二型模糊控制響應(yīng)更快，在第6秒左右就重新恢復(fù)了機(jī)身平衡，同時(shí)也恢復(fù)速度到1m/s，而PID控制在第7秒左右才恢復(fù)原狀態(tài)。

5.4 參數(shù)不確定

圖15 傾角變化曲線

圖16 速度變化曲線

在參數(shù)改變后可以看到，傳統(tǒng)PID持續(xù)振蕩且振幅衰減較慢，不能快速反應(yīng)使機(jī)器人保持平衡，直到10秒之后依然有輕微振蕩；而T2FLC控制下的平衡機(jī)器人在4秒之后就達(dá)到穩(wěn)定，并且達(dá)到了1m/s的速度要求。

6 結(jié)論

本文對(duì)于雙輪自平衡機(jī)器人，設(shè)計(jì)了用于控制直立平衡和行走速度的區(qū)間二型模糊控制器(T2FLC)，并且考慮到模糊控制自身規(guī)則繁多的問題，使用函數(shù)融合的方法，簡化控制系統(tǒng)的復(fù)雜度。使得模糊控制器在減少規(guī)則數(shù)量、平滑控制輸出和優(yōu)化控制響應(yīng)性能等方面具有更大的優(yōu)勢(shì)。仿真結(jié)果表明，二型模糊PID控制器比傳統(tǒng)的雙閉環(huán)PID控制具有更佳的性能效果。具體而言，在相同初始條件下，T2FLC使機(jī)器人更快達(dá)到穩(wěn)定平衡狀態(tài)；在速度控制中，T2FLC可以迅速加速到預(yù)定速度并保持穩(wěn)定。另外，本文還考慮了輸入擾動(dòng)和機(jī)器人參數(shù)不確定下的控制效果，仿真結(jié)果表明，T2FLC在應(yīng)對(duì)擾動(dòng)時(shí)可以快速調(diào)整PID參數(shù)，使得機(jī)器人較快恢復(fù)平衡，具有較強(qiáng)抗干擾能力；當(dāng)機(jī)器人自身參數(shù)存在不確定性時(shí)，傳統(tǒng)PID控制下機(jī)器人已經(jīng)出現(xiàn)大幅抖動(dòng)且衰減緩慢，而T2FLC仍可以快速反應(yīng)并進(jìn)行有效控制。未來將在機(jī)器人轉(zhuǎn)向控制和硬件實(shí)現(xiàn)的方向上繼續(xù)研究，以進(jìn)一步驗(yàn)證和發(fā)展本文提出的算法。