王有偉

(甘肅省定西理工中等專業(yè)學校)

邏輯推理是對某種事物,根據(jù)其周圍環(huán)境找出內(nèi)在的邏輯關(guān)系,進而推理出合乎邏輯關(guān)系的結(jié)論.邏輯推理能力是對事物做出符合邏輯關(guān)系正確判斷的必備能力,也是高中學生要具備的基本核心素養(yǎng).邏輯推理問題在高考、模擬考試、強基計劃和數(shù)學競賽中均為重點考查的內(nèi)容,而真假性判斷更是常考題型.此類問題的解答關(guān)鍵是找準題目中所述事件的邏輯關(guān)系,弄清關(guān)系的本質(zhì).筆者研究發(fā)現(xiàn),表格分析、分類討論、圖示分析、假設判斷等方法,有助于我們弄清問題的本質(zhì),快速、準確地做出判斷.

1 表格分析法

表格分析法是處理邏輯推理問題的常用方法,即將題目條件所給的邏輯關(guān)系以表格的形式表示出來.表格能夠直接明了地展示問題的本質(zhì),使解題事半功倍.當題目關(guān)系中所給的數(shù)據(jù)較多時,可首先考慮采用表格分析法.

例1小明的生日是x月y日,他將x告訴了小紅,將y告訴了小蘭,然后小明列出了10個日期讓兩人猜測:2月5日,2月7日,2月9日,5月5日,5月8日,8月4日,8月7日,9月4日,9月6日,9月9日.

看完日期后,小紅對小蘭說:我不知道小明的生日,你一定也不知道.

小蘭聽了小紅的話,說:本來我不知道,但現(xiàn)在我知道了.

小紅接著道:哦,現(xiàn)在我也知道了.

則小明的生日是________.

題目中所提供的日期較多,因此可建立x和y的關(guān)系表格(如表1),先將供選擇的10個日期在表格中標注出來.

表1

從條件來看,小紅只知道小明的生日是幾月,而每個月至少有兩個日期可選,因此她不知道是幾日,但她說小蘭一定也不知道,依據(jù)是什么?

題目中所給的10個日期中,有一個6日,一個8日,兩個4日、5日、7日、9日.如果小明生日是6日或8日,則小蘭可以確定小明的生日,但小紅說小蘭一定不知道,故小明的生日不是6日和8日.進而可知小明生日的月份也不是5月和9月.

小蘭聽了小紅的話,說:本來我不知道,但現(xiàn)在我知道了.剩下的日期中有一個4日,一個5日,一個9日,兩個7日,如果小明的生日是7日,則小蘭仍不能確定,故可排除2月7日和8月7日,還有三個日期可選.

最后小紅也知道小明的生日了,如果是2月,還有2月5日和2月9日兩個日期選擇,小紅是不能確定的,故小明的生日為8月4日.

借助表格分析是本題成功求解的關(guān)鍵,處理此類問題時要注意前一句話與后一句話的關(guān)系,前一句話就是后一句話判斷的依據(jù),一環(huán)套一環(huán),環(huán)環(huán)相扣.

2 分類討論法

分類討論法是常用的數(shù)學解題思想方法,應用此方法解題時,首先要確定分類標準,保證分類不重不漏.在處理邏輯推理問題時,根據(jù)題目所述的邏輯關(guān)系,首先要確定可能有幾種結(jié)果,再對各種可能結(jié)果進行逐一判斷,排除錯誤結(jié)論,從而得出正確結(jié)論.

例2甲、乙、丙、丁四位同學參加某學科知識競賽,其中只有三人獲獎.四人對獲獎結(jié)果進行了如下猜測.

甲:乙或丙未獲獎.

乙:甲、丙都獲獎.

丙:我未獲獎.

丁:乙獲獎.

如果四位同學的猜測恰有兩個正確,則( ).

A.甲和乙不可能同時獲獎

B.丙和丁不可能同時獲獎

C.乙和丁不可能同時獲獎

D.丁和甲不可能同時獲獎

四人中有三人獲獎,則獲獎情況有如下四種.

1)甲、乙、丙獲獎,則甲的猜測錯誤,乙的猜測正確,丙的猜測錯誤,丁的猜測正確,符合恰有兩位同學猜測正確的條件.

2)甲、乙、丁獲獎,則甲的猜測正確,乙的猜測錯誤,丙的猜測正確,丁的猜測正確.其中有三位同學的猜測正確,不符合條件,故排除此種情況.

3)甲、丙、丁獲獎,則甲的猜測正確,乙的猜測正確,丙的猜測錯誤,丁的猜測錯誤,符合條件.

4)乙、丙、丁獲獎,則甲的猜測錯誤,乙的猜測錯誤,丙的猜測錯誤,丁的猜測正確,只有一位同學的猜測正確,故排除此種情況.

綜上,獲獎的同學可能為甲、乙、丙或甲、丙、丁,故選項A,B,D 錯誤,故選C.

本題也可從猜測的真假性入手進行判斷,其中乙的猜測和丙的猜測矛盾,從而找到解題突破口.

3 圖示分析法

處理邏輯推理問題的關(guān)鍵步驟是整理與分析邏輯關(guān)系.圖形最顯著的特征就是直觀性,它能將錯綜復雜的邏輯關(guān)系直觀地呈現(xiàn)出來.在處理邏輯推理問題中常用的圖形有樹狀圖、流程圖、網(wǎng)狀圖等.

例3(2017年全國Ⅱ卷理7)甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師說:你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績,給乙看丙的成績,給丁看甲的成績.看后甲對大家說:我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息,則( ).

A.乙可以知道四人的成績

B.丁可以知道四人的成績

C.乙、丁可以知道對方的成績

D.乙、丁可以知道自己的成績

由條件可畫出圖示關(guān)系,如圖1所示.因為四人的成績中有2位優(yōu)秀,2位良好,甲知道乙和丙的成績,如果2人均為優(yōu)秀或均為良好,則甲可以判斷自己的成績.但現(xiàn)在甲不知道自己的成績,說明乙和丙中一個是優(yōu)秀,一個是良好.而乙知道丙的成績,所以乙能據(jù)此判斷自己的成績.乙和丙的成績其中一個為優(yōu)秀,一個為良好,則甲和丁的成績其中一個為優(yōu)秀,一個為良好,而丁知道甲的成績,所以丁可據(jù)此判斷自己的成績.

圖1

通過上面的分析,我們得到新的關(guān)系,如圖2所示.

圖2

據(jù)此可知乙只知道自己和丙的成績,故選項A錯誤.

丁只知道自己和甲的成績,故選項B錯誤.

乙、丁不知道對方的成績,故選項C錯誤.

乙和丁可以知道自己的成績,故正確選項為D.

根據(jù)圖示我們得出了題目表面的邏輯關(guān)系,再挖掘甲所說的話背后的深層含義,迅速找到了解題的突破口.

4 假設判斷法

假設判斷法是處理邏輯推理問題的常用方法,真話、假話問題是考查邏輯推理的重要題型,假設判斷法就可以處理此類問題.我們可假設某句話為真,再結(jié)合題目所給的其他關(guān)系,看是否與假設相矛盾,再進行排除.進而得出正確答案.

例4A,B,C,D 四名實習生同時參加了某公司人力資源部的面試,在面試結(jié)果公布之前四人做出如下猜測.

A 說:面試通過者在B,C,D 三人中.

B 說:我面試沒有通過,C面試通過了.

C 說:A 和D 中的一人面試通過了.

D 說:B的猜測是正確的.

面試結(jié)果公布后,四人中有兩人的猜測是正確的,另外兩人的猜測不正確,已知有兩人面試通過,則面試通過的人是_________.

不難判斷四人所說的話中B和D 同真或同假;因此可據(jù)此找到解題的突破口.

假設B和D 的猜測是正確的,則A 和C 的猜測是錯誤的.

B說:我面試沒有通過,C 面試通過了.那么另外一個面試通過的人就在A 或D 中產(chǎn)生,因此C 的猜測也是正確的,與條件“四人中只有兩人的猜測正確”矛盾.

所以A 和C 的猜測是正確的,B 和D 的猜測是錯誤的.

A 說:面試通過者在B,C,D 三人中,所以A 面試沒有通過.

C說:A 和D 中有一人面試通過,因為A 面試未通過,所以D 面試通過了.

B說:我面試沒有通過,C面試通過了,這個猜測是錯誤的,所以B面試通過了,C面試沒有通過.

綜上,面試通過的人是B和D.

求解本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)B和D 猜測真假性相同這一隱含條件,并據(jù)此做出假設進行判斷.此類問題常出現(xiàn)隱含關(guān)系矛盾的情況,因此要對這些關(guān)系仔細審視、準確識別、合理利用.

邏輯推理問題常被稱為小學生能做的高考題,不言而喻,此類問題考查的是能力,不是知識.因此我們要找準問題的切入點,采用恰當?shù)姆治龇椒?方能正確求解問題.

(完)