亢愛(ài)鋒

(山東省青島第九中學(xué))

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn).因?yàn)閷?dǎo)數(shù)涉及的知識(shí)能力和思維層次要求較高,學(xué)生運(yùn)用好導(dǎo)數(shù)這個(gè)“工具”,對(duì)提升學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、邏輯思維等綜合能力都有很大的幫助.其中,利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性的核心是在定義域內(nèi)判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù).而判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),綜合考查學(xué)生觀察分析和綜合運(yùn)用函數(shù)、不等式、零點(diǎn)等知識(shí),配方、分離變量和因式分解等數(shù)學(xué)方法,考查學(xué)生對(duì)函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想掌握情況.高考在這一部分的考查可謂是“芝麻開(kāi)花節(jié)節(jié)高”.根據(jù)多年對(duì)高考題的研究和教學(xué)的反思總結(jié),筆者將積累下來(lái)的如下解題方法分享給讀者.

例1(2015 年全國(guó)Ⅱ卷理21,節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)＝emx＋x2－mx.證明:f(x)在(－∞,0)單調(diào)遞減,在(0,＋∞)單調(diào)遞增.

易知f′(x)＝m(emx－1)＋2x.

當(dāng)x＜0時(shí),2x＜0.

若m＞0,則emx＜1,emx－1＜0,m(emx－1)＜0,故f′(x)＜0,因此f(x)在(－∞,0)上單調(diào)遞減.

若m＜0,則emx＞1,emx－1＞0,m(emx－1)＜0,從而f′(x)＜0,因此f(x)在(－∞,0)上單調(diào)遞減.

故當(dāng)x＜0 時(shí),函數(shù)f(x)在(－∞,0)上單調(diào)遞減.

當(dāng)x＞0時(shí),2x＞0.

若m＞0,則emx＞1,emx－1＞0,m(emx－1)＞0,故f′(x)＞0,因此f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增.

若m＜0,則emx＜1,emx－1＜0,m(emx－1)＞0,故f′(x)＞0,因此f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增.

故當(dāng)x＞0時(shí),f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增.

綜上,f(x)在(－∞,0)上單調(diào)遞增,在(0,＋∞)上單調(diào)遞增.

例2求函數(shù)f(x)＝－x＋1的單調(diào)區(qū)間.

f′(x)＝(x＞0),因此判斷函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵是判斷g(x)＝1－lnx－x2(x＞0)的正負(fù),有以下幾種解法.

方法1圖像法

觀察可知g(x)是由基本初等函數(shù)構(gòu)成的,所以可以將g(x)的正負(fù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)的零點(diǎn)問(wèn)題.

令g(x)＝0,移項(xiàng)得1－x2＝lnx,作出函數(shù)y＝1－x2,y＝lnx的圖像,如圖1所示.

圖1

由圖1可知,當(dāng)0＜x＜1時(shí),1－x2＞lnx,所以f′(x)＞0,故f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;當(dāng)x＞1時(shí),1－x2＜lnx,所以f′(x)＜0,故f(x)在(1,＋∞)上單調(diào)遞減.

方法2分組正負(fù)判斷法

因?yàn)?－x2,lnx的正負(fù)均取決于x與1的大小關(guān)系,所以將定義域分為0＜x＜1,x＞1兩種情況分類(lèi)討論1－x2,lnx的正負(fù).

當(dāng)0＜x＜1時(shí),1－x2＞0,lnx＜0,所以1－x2－lnx＞0,g(x)＝1－lnx－x2＞0,f′(x)＞0,故f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增.

當(dāng)x＞1 時(shí),1－x2＜0,lnx＞0,所以1－x2－lnx＜0,g(x)＜0,f′(x)＜0,故f(x)在(1,＋∞)上單調(diào)遞減.

方法3二次求導(dǎo)法

構(gòu)造決定導(dǎo)函數(shù)f′(x)正負(fù)的核心函數(shù)g(x)＝1－lnx－x2(x＞0),則g′(x)＝－－2x,顯然g′(x)＜0恒成立,故g(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞減.又g(1)＝0,所以g(x)在(0,＋∞)內(nèi)有唯一零點(diǎn)為x＝1.故當(dāng)0＜x＜1時(shí),g(x)＞0;當(dāng)x＞1時(shí),g(x)＜0.因此,當(dāng)0＜x＜1時(shí),f′(x)＞0;當(dāng)x＞1時(shí),f′(x)＜0,于是f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,＋∞)上單調(diào)遞減.

例3已知f(x)＝x－lnx,g(x)＝當(dāng)x∈(0,e]時(shí),比較f(x),g(x)的大小.

比較f(x),g(x)的大小,即判斷f(x)－g(x)在x∈(0,e]的正負(fù).令

例4證明:當(dāng)x＞0時(shí),x2＜ex.

即證f(x)＝x2－ex＜0在x＞0時(shí)恒成立.f′(x)＝2x－ex,g(x)＝2x－ex(x＞0),則g′(x)＝2－ex,易知當(dāng)0＜x＜ln2 時(shí),g′(x)＞0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x＞ln2時(shí),g′(x)＜0,g(x)單調(diào)遞減,所以gmax(x)＝g(ln2)＝2ln2－2＜0,所以f′(x)＜0恒成立,故f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞減,因此f(x)＜f(0)＝－1,顯然f(x)＝x2－ex＜0,從而x2＜ex.

例5已知函數(shù)f(x)＝(x＞0).

(1)求函數(shù)f(x)在(0,＋∞)上的單調(diào)性;

(2)當(dāng)x＞0時(shí),f(x)＞恒成立,求整數(shù)k的最大值.

因?yàn)閤＞0,所以x2＞0,＞0,ln(x＋1)＞0,則f′(x)＜0,所以f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞減.

(2)方法1由已知得,當(dāng)x＝1 時(shí),k＜2(1＋ln2)＜4,因?yàn)閗∈Z,故kmax＝3,因此只需證當(dāng)k＝3時(shí),f(x)＞(x＞0)恒成立,即證(x＋1)ln(x＋1)＋1－2x＞0(x＞0)恒成立.

令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)＋1－2x(x＞0),則g′(x)＝ln(x＋1)－1.當(dāng)x＞e－1 時(shí),g′(x)＞0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)0＜x＜e－1時(shí),g′(x)＜0,g(x)單調(diào)遞減,從而gmin(x)＝g(e－1)＝3－e＞0,證畢.

方法2即證h(x)＝k(x＞0)恒成立,即hmin(x)＞k.對(duì)h(x)求導(dǎo)得

令φ(x)＝x－1－ln(x＋1)(x＞0),則φ′(x)＝＞0,所以φ(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增.又φ(2)＝1－ln3＜0,φ(3)＝2－2ln2＞0,所以φ(x)＝0有唯一實(shí)根,設(shè)為a,則a∈(2,3),a＝1＋lna＋1.

根據(jù)單調(diào)性可知,當(dāng)x＞a時(shí),φ(x)＞0,h′(x)＞0,h(x)單調(diào)遞增.當(dāng)0＜x＜a時(shí),φ(x)＜0,h′(x)＜0,h(x)單調(diào)遞減,從而hmin(x)＝h(a)＝＝a＋1∈(3,4),因此正整數(shù)k的最大值為3.

例6已知函數(shù)f(x)＝(k為常數(shù),e＝2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)與x軸平行.

(1)求k的值;

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)由(1)可知f′(x)＝.設(shè)g(x)＝－lnx－1,則g′(x)＝－＜0,即g(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞減.由g(1)＝0 知,當(dāng)0＜x＜1時(shí),g(x)＞0,從而f′(x)＞0,當(dāng)x＞1時(shí),g(x)＜0,從而f′(x)＜0.

綜上,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(1,＋∞).

通過(guò)以上例題可以看出,導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)性質(zhì)的難點(diǎn)在于如何確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù),所以解決了導(dǎo)數(shù)正負(fù)的問(wèn)題,也就解決了導(dǎo)數(shù)的根本.無(wú)論是高考題還是平時(shí)的模擬訓(xùn)練,通過(guò)圖像法、逐項(xiàng)或分組判正負(fù)法、二次求導(dǎo)(三種不同解決渠道)這三種方法的不斷練習(xí),均可以提高學(xué)生的邏輯思維能力.

(完)