李桂春

(北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué))

強(qiáng)基計(jì)劃?？贾嘘P(guān)于復(fù)數(shù)內(nèi)容的考查,除了要求掌握高考中與復(fù)數(shù)有關(guān)的內(nèi)容:復(fù)數(shù)的概念(復(fù)數(shù)的定義、實(shí)部、虛部,復(fù)數(shù)的分類,共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的模,復(fù)數(shù)的幾何意義),復(fù)數(shù)的代數(shù)四則運(yùn)算之外,還應(yīng)掌握一些拓展知識(shí),如共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)、復(fù)數(shù)的三角形式及運(yùn)算、實(shí)系數(shù)的一元n次方程的虛數(shù)根的問(wèn)題,并運(yùn)用這些知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題.

1 必備拓展知識(shí)

1.1 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)

1.2 復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)

3)‖z1|－|z2‖≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.

1.3 復(fù)數(shù)的三角形式及其運(yùn)算

1)復(fù)數(shù)的三角形式.

設(shè)z＝a＋bi(a,b∈R)對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b),連接OZ,記＝r,如圖1所示,a＝rcosθ,b＝rsinθ,所以z＝r(cosθ＋isinθ),這種形式稱為復(fù)數(shù)z＝a＋bi的三角形式,其中θ稱為z的輻角.若0≤θ＜2π,則θ稱為z的輻角主值,記作θ＝argz,r稱為z的模,記作|z|,由勾股定理知|z|＝

圖1

2)復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則.

記z1＝r1(cosθ1＋isinθ1),z2＝r2(cosθ2＋isinθ2),則

特別地,zn＝[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn(cosnθ＋isinnθ)(棣莫弗定理).

1.4 常見(jiàn)的運(yùn)算性質(zhì)

1.5 有關(guān)實(shí)系數(shù)的方程的復(fù)數(shù)根

1)復(fù)數(shù)集內(nèi)實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解.

當(dāng)Δ＞0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

當(dāng)Δ＝0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;

當(dāng)Δ＜0,方程有兩個(gè)互為共軛的虛數(shù)根,即

2)實(shí)系數(shù)一元n次方程若有虛根,則一定成對(duì)出現(xiàn),并且兩兩互為共軛復(fù)數(shù).

2 復(fù)數(shù)考查真題分類例析

2.1 考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的模及共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)

在強(qiáng)基計(jì)劃校考中,經(jīng)?？疾閺?fù)數(shù)的一些概念,如復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、模,共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的幾何意義等.在解決有關(guān)問(wèn)題時(shí),要充分利用復(fù)數(shù)的模及共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì),有利于簡(jiǎn)化運(yùn)算.

例1(2017年北京大學(xué)自主招生測(cè)試)復(fù)數(shù)z滿足z＋為實(shí)數(shù),則|z＋i|的最小值為_(kāi)________.

例2(2015年北京大學(xué)博雅計(jì)劃)設(shè)z為復(fù)數(shù),表示z的共軛,已知且為純虛數(shù),則|z|的值為_(kāi)________.

例3(2015年清華大學(xué)領(lǐng)軍計(jì)劃,多選)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足2|z|≤|z－1|,則( ).

A.|z|的最大值為1

B.|z|的最小值為

C.z的虛部的最大值為

D.z的實(shí)部的最大值為

設(shè)z＝x＋yi(x,y∈R),則

畫(huà)出復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的圖形,如圖2所示(圓及其圓內(nèi)部分),結(jié)合圖像可知,當(dāng)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z為圓與x軸的左側(cè)交點(diǎn)時(shí),|z|取得最大值1,所以A 正確.

圖2

當(dāng)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z為原點(diǎn)時(shí),|z|取得最小值0,所以B錯(cuò)誤.

當(dāng)x＝－時(shí),y取得最大值,所以C正確.

當(dāng)y＝0時(shí),x取得最大值,所以D 正確.

綜上,選A,C,D.

例4(2016年清華大學(xué)自主招生測(cè)試,多選)若復(fù)數(shù)z滿足|z＋|＝1,則|z|可以取到的值有( ).

2.2 考查復(fù)數(shù)的三角形式的運(yùn)算及性質(zhì)

例7(2016年北京大學(xué)優(yōu)秀中學(xué)_生暑期學(xué)堂測(cè)試)復(fù)數(shù)z1,z2滿足|z1＋z2|＝|z1|,＝a(1－i)(a∈R且a≠0),求

設(shè)z1＝r1(cosθ1＋isinθ1),z2＝r2(cosθ2＋isinθ2),由|z1＋z2|＝|z1|,得

例8(2016年清華大學(xué)自主招生測(cè)試)|z2＋1|＝|z|,求|z|的范圍和argz的范圍.

設(shè)z＝r(cosθ＋isinθ),其中r＞0,θ∈[0,2π),由|z2＋1|＝|z|,得

所以(r2cos2θ＋1)2＋(r2sin2θ)2＝r2,整理得

2.3 有關(guān)實(shí)系數(shù)的一元n 次方程的虛數(shù)根的問(wèn)題

例9(2016年北京大學(xué)博雅計(jì)劃)設(shè)a,b,c為實(shí)數(shù),a≠0,c≠0,方程ax2＋bx＋c＝0的兩個(gè)虛根為z1,z2,且滿足是實(shí)數(shù),則＝( ).

A.1 B.0 C.2 D.以上答案均不正確

例10(2016年北京大學(xué)自主招生測(cè)試)實(shí)系數(shù)方程x4＋ax3＋bx2＋cx＋d＝0有四個(gè)非實(shí)數(shù)根,其中兩個(gè)之和為2＋i,另外兩個(gè)之積5＋6i,求b的值.

實(shí)系數(shù)方程若存在虛根,則虛根共軛,故設(shè)四個(gè)虛根為x1,x2,,由題意得x4＋ax3＋bx2＋cx＋d＝(x－x1)(x－)(x－x2)(x－),則

從而b＝(5＋6i)＋(5－6i)＋(2＋i)(2－i)＝15.

2.4 解決有關(guān)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題

例11(2019 年北京大學(xué)自主招生測(cè)試)復(fù)數(shù)z1,z2,|z1－3i|＝2,|z2－8|＝1,則由復(fù)數(shù)z1－z2圍成的面積是( ).

A.4π B.8π

C.10π D.以上答案均不正確

設(shè)z1＝x1＋y1i,z2＝x2＋y2i,x1,x2,y1,y2∈R,z＝z1－z2＝x＋yi,則

當(dāng)cos(α－β)＝1時(shí),(x＋8)2＋(y－3)2＝1,當(dāng)cos(α－β)＝－1時(shí),(x＋8)2＋(y－3)2＝9,所以復(fù)數(shù)z1－z2圍成的面積為兩個(gè)半徑分別為1和3的圓之間的圓環(huán)面積,即S＝9π－π＝8π,故選B.

例12(2016年清華大學(xué)自主招生測(cè)試)已知z為非零復(fù)數(shù),和的實(shí)部與虛部均為不小于1的正數(shù),則在復(fù)平面中,z所對(duì)應(yīng)的向量的端點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)所形成的圖形面積為_(kāi)_______.

滿足上述不等式的區(qū)域是如圖3 所示的圖形中的陰影部分(其中A(10,10),B(10,10),C(10,10),D(20,20)).

圖3

該區(qū)域由一個(gè)四邊形ABCD和兩個(gè)弓形構(gòu)成.由題意求得,由(a－20)2＋b2≤400的半徑為20,由余弦定理求得該圓中所對(duì)的圓心角為30°,所以以上區(qū)域中一個(gè)弓形的面積為

四邊形ABCD的面積為

所以點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)所形成的圖形的面積為

2.5 利用復(fù)數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決其他問(wèn)題

例13(2016 年北京大學(xué)自主招生測(cè)試)若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z1,z2,z3,且滿足＝1＋2i,則△ABC的面積與其最長(zhǎng)邊的平方之比為( ).

如圖4 所示,作出△ABC,由＝1＋2i,得,所以,又

圖4

不妨設(shè)AC＝1,則BC＝2,AB＝,則△ABC為直角三角形,且AB為斜邊,所以S＝1,AB2＝5,所以,故選C.

例14(2017年北京大學(xué)博雅計(jì)劃)單位圓內(nèi)接五邊形的所有邊長(zhǎng)與對(duì)角線的平方和的最大值是( ).

A.15 B.20

C.25 D.以上答案均不正確

考慮圓內(nèi)接五邊形P1P2P3P4P5,設(shè)Pi對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為zi(1≤i≤5),所有線段的平方和為S,注意到有

當(dāng)且僅當(dāng)|z1＋z2＋z3＋z4＋z5|＝0,即P1P2P3P4P5是正五邊形時(shí),取到等號(hào).故選C.

(完)