劉 偉 劉宏昭 胡旭宇

(1.西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院， 西安 710048; 2.西安工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院， 西安 710048)

0 引言

多模式并聯(lián)機(jī)構(gòu)對(duì)復(fù)雜任務(wù)具有較好的工作適應(yīng)能力[1]。文獻(xiàn)[2]在球面4R機(jī)構(gòu)上增加轉(zhuǎn)動(dòng)副，使得球面4R機(jī)構(gòu)處于折疊位形時(shí)，機(jī)構(gòu)具有平面4R機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式，從而設(shè)計(jì)了具有直線移動(dòng)和球面滾動(dòng)兩種模式的移動(dòng)機(jī)器人。在航天領(lǐng)域，具有多種運(yùn)動(dòng)模式的并聯(lián)機(jī)構(gòu)也可用來(lái)設(shè)計(jì)可展結(jié)構(gòu)[3]，從而適應(yīng)航天運(yùn)載工具的狹小空間限制。具有多模式的并聯(lián)機(jī)構(gòu)可設(shè)計(jì)具有可重構(gòu)性重型抓取機(jī)械手[4]。文獻(xiàn)[5]使用平面變胞機(jī)構(gòu)，設(shè)計(jì)了可根據(jù)炮筒姿態(tài)調(diào)節(jié)的自適應(yīng)彈藥輸填裝置。文獻(xiàn)[6]利用3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的兩種運(yùn)動(dòng)模式，對(duì)其結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化使其用于腳踝關(guān)節(jié)的康復(fù)設(shè)備。

高性能的3T1R[7-8]并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)是工業(yè)應(yīng)用和機(jī)構(gòu)構(gòu)型研究的熱點(diǎn)。H4[9]、I4[10]、IR4[11]、Part4[12]等3T1R型并聯(lián)機(jī)構(gòu)在電子器件高速分揀以及食品與醫(yī)藥包裝自動(dòng)線上具有較好的應(yīng)用前景[13]。文獻(xiàn)[14-15]設(shè)計(jì)了零耦合度且解耦的3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)。文獻(xiàn)[16]通過(guò)兩個(gè)共軸且反向等螺距螺旋副設(shè)計(jì)了具有整周回轉(zhuǎn)能力的3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

文獻(xiàn)[17]使用李群理論綜合了具有兩種不同轉(zhuǎn)動(dòng)方向的3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)。文獻(xiàn)[18]使用有限位移旋量設(shè)計(jì)了具有可變轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)。文獻(xiàn)[19]綜合了具有3T1R和2T1R運(yùn)動(dòng)模式的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，且這兩個(gè)模式的轉(zhuǎn)動(dòng)軸線不平行。文獻(xiàn)[20]分析了4-CRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)所具有的3種運(yùn)動(dòng)模式，其具有2種3T1R運(yùn)動(dòng)模式和1種1R2T運(yùn)動(dòng)模式，2種3T1R運(yùn)動(dòng)模式通過(guò)1R2T機(jī)構(gòu)位形進(jìn)行變換。

圖2 具有兩種固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的球面4R機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式變換Fig.2 Motion mode transformation of spherical 4R mechanism with two fixed rotation axes

目前，具有多種3T1R運(yùn)動(dòng)模式的并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型有限，該3T1R運(yùn)動(dòng)模式下轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的軸線方向只能在兩個(gè)方向上變換。具有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸線和變轉(zhuǎn)動(dòng)軸線3T1R運(yùn)動(dòng)模式的并聯(lián)機(jī)構(gòu)在應(yīng)用于移動(dòng)式調(diào)姿平臺(tái)或機(jī)器人手腕具有一定的前景。本文在對(duì)具有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸線和變轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的球面4R機(jī)構(gòu)進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，綜合一類具有變轉(zhuǎn)動(dòng)軸線和固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

1 具有兩種定軸線轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模式的球面4R機(jī)構(gòu)

圖1為一種球面4R機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，圖2為其三維模型圖。如圖2a所示球面4R機(jī)構(gòu)，4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線分別與X、Y軸重合，相鄰轉(zhuǎn)軸軸線夾角α12=α23=α34=α41=90°。

圖1 兩種固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的球面4R機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.1 Sketch of spherical 4R mechanisms with two fixed rotation axes

當(dāng)機(jī)構(gòu)處于圖2a所示位形時(shí)，運(yùn)動(dòng)鏈R1R2和R4R3施加在連桿3上的約束旋量在坐標(biāo)系OXYZ中均可表示為

(1)

在圖2a所示機(jī)構(gòu)位形下，由于運(yùn)動(dòng)鏈R1R2和R4R3施加在連桿3上的4個(gè)約束旋量相同，動(dòng)平臺(tái)上施加的約束系存在4個(gè)冗余約束，采用修正的Kutzbach-Grübler公式計(jì)算機(jī)構(gòu)自由度，即

M=6(n-g-1)+∑fi+υ-ζ

(2)

式中M——機(jī)構(gòu)自由度

n——機(jī)構(gòu)構(gòu)件總數(shù)

g——機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副數(shù)

fi——第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度

υ——冗余約束數(shù)

ζ——局部自由度

計(jì)算得自由度為2。對(duì)連桿3上的約束系計(jì)算與其互易積為零的旋量系，可知在圖2a所示位形下，連桿3可以過(guò)點(diǎn)O在XOY平面上的任意兩條軸線做瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)。然而，上述過(guò)點(diǎn)O在XOY平面上的轉(zhuǎn)動(dòng)軸線，并不全是連桿3的連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線，需要對(duì)XOY平面上的轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的連續(xù)性進(jìn)行判斷[21-22]。轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的連續(xù)性可通過(guò)建立機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程進(jìn)行分析。文獻(xiàn)[23]給出球面4R機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算式為

c1(s12Y4)+s1(s12X4)+(c12Z4-c23)=0

(3)

其中

X4=s34s4
Y4=-(s41c34+c41s34c4)
Z4=c41c34-s41s34c4

式中sij、cij——轉(zhuǎn)軸i轉(zhuǎn)動(dòng)到j(luò)的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)

si、ci——轉(zhuǎn)軸Ri轉(zhuǎn)角的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)

將s12=s23=s34=s41=1，c12=c34=0代入式(3)得到

s1s4=0

(4)

圖4 具有固定轉(zhuǎn)動(dòng)和變轉(zhuǎn)動(dòng)軸線球面4R機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式變換Fig.4 Motion mode transformation of spherical 4R mechanism with fixed and variable rotation axis

假設(shè)圖2a中連桿3繞一般軸線l3做有限轉(zhuǎn)動(dòng)，R1和R4的轉(zhuǎn)角都應(yīng)不為零，將其代入式(4)，等式兩邊不相等，因而軸線l3不是連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線。由式(4)可知，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)副R4的轉(zhuǎn)角不為零時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)副R1的轉(zhuǎn)角必為零，此時(shí)機(jī)構(gòu)位形如圖2b所示，連桿3繞固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸線l1做連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)副R1的轉(zhuǎn)角不為零時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)副R4的轉(zhuǎn)角必為零，此時(shí)機(jī)構(gòu)位形如圖2c所示，連桿3繞固定軸線l2做連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)。由于機(jī)構(gòu)離開(kāi)圖2a所示位形后，機(jī)構(gòu)自由度減少為1，發(fā)生了改變，因而圖2a所示機(jī)構(gòu)位形下，機(jī)構(gòu)具有兩個(gè)自由度是瞬時(shí)的，且連桿3的兩個(gè)連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線分別為l1和l2，即圖2所示4R機(jī)構(gòu)的連桿3具有兩種運(yùn)動(dòng)模式，分別為沿軸線l1和l2的固定軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。文獻(xiàn)[15]利用圖2所示空間4R機(jī)構(gòu)的該特征，設(shè)計(jì)了具有兩種3T1R運(yùn)動(dòng)模式并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

2 具有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸線和變轉(zhuǎn)動(dòng)軸線兩種轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模式的球面4R機(jī)構(gòu)

當(dāng)圖3中空間4R機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)αij取一般值時(shí)，空間4R機(jī)構(gòu)連桿的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線不是固定的，而是在不斷發(fā)生變化，文獻(xiàn)[16]根據(jù)這一點(diǎn)設(shè)計(jì)了具有變轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)。α12=α，α23=180°-α，α34=90°，α41=90°時(shí)，該空間4R球面機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖3所示，取α=120°，該空間4R球面機(jī)構(gòu)的三維模型圖如圖4所示。

圖3 具有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸線和變轉(zhuǎn)動(dòng)軸線兩種模式的球面4R機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖Fig.3 Sketch of spherical 4R mechanism with two motion modes with fixed rotation axis and variable rotation axis

當(dāng)機(jī)構(gòu)處于圖4a所示位形時(shí)，運(yùn)動(dòng)鏈R1R2和R4R3施加在連桿3上的約束旋量系在坐標(biāo)系OXYZ中均與式(1)相同，因而圖4a中機(jī)構(gòu)有兩個(gè)自由度，需要對(duì)這兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的瞬時(shí)性和轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的連續(xù)性進(jìn)行判斷。將s12=s23，c12=-c23，s34=s41=1，c34=c41=0，代入式(3)得到

s1s12s4-c12c4+c12=0

(5)

2.1 變轉(zhuǎn)動(dòng)軸線運(yùn)動(dòng)模式

當(dāng)R4的轉(zhuǎn)角不為零時(shí)，式(5)可寫(xiě)成

(6)

根據(jù)式(6)可知，R4的轉(zhuǎn)角不為零時(shí)，R1的轉(zhuǎn)角也不為零。轉(zhuǎn)動(dòng)副R1、R4做有限轉(zhuǎn)動(dòng)后，連桿3在特定位形下的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線應(yīng)為軸線R1與R2所在平面П1與軸線R4與R3所在平面П2的交線，該交線也是上述兩平面法線的共垂線。在圖4a所示位形下，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)副R4轉(zhuǎn)動(dòng)有限角度θ4后，轉(zhuǎn)動(dòng)副R1轉(zhuǎn)動(dòng)有限角度θ1，平面П2的法線從圖4a所示的沿Z軸方向，繞轉(zhuǎn)軸R4，即Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)θ4；平面П1的法線從圖4a所示的沿Z軸方向，繞轉(zhuǎn)軸R1，即繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)-θ1。

平面П1的法線在OXYZ坐標(biāo)系中為

(7)

平面П2的法線在OXYZ坐標(biāo)系中為

(8)

平面П1、П2法線的共垂線平行于向量(-c4s1，-s4c1，s4s1)T，可寫(xiě)成(c4s1/(s4c1)，1，-s1/c1)T。將式(6)代入平面П1、П2法線的共垂線方向向量的第3個(gè)分量得到

(9)

平面П1、П2法線的共垂線方向向量的第1個(gè)分量為

(10)

第1分量的“±”號(hào)，是由于當(dāng)圖4所示機(jī)構(gòu)θ4一定時(shí)，θ1具有兩個(gè)解，如圖5所示。圖5a中R4的轉(zhuǎn)角θ4與圖5b中R4的轉(zhuǎn)角相同，機(jī)構(gòu)具有兩種位形。圖5a所示機(jī)構(gòu)位形下，軸線l2是連桿3在機(jī)構(gòu)圖5a位形下的瞬時(shí)連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線；圖5b中軸線l′2是連桿3的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線。結(jié)合連桿3的瞬時(shí)連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線向量和圖5的幾何分析，可知當(dāng)R4的轉(zhuǎn)角θ4→0時(shí)，圖5所示機(jī)構(gòu)有兩種位形，連桿3有兩個(gè)連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線l2、l′2，且由于平面П1與平面П2在空間不斷連續(xù)變化，因而其交線在空間連續(xù)不斷變化，即轉(zhuǎn)動(dòng)軸線l2、l′2在空間連續(xù)變化。

圖5 θ4微小轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)的兩個(gè)球面4R機(jī)構(gòu)位形圖Fig.5 Two configuration diagrams of spherical 4R mechanism when θ4 had small value

2.2 固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸線運(yùn)動(dòng)模式

轉(zhuǎn)軸R4轉(zhuǎn)角為0時(shí)，即s4=0，c4=1時(shí)，式(5)可寫(xiě)成

-c12+c12=0

(11)

此時(shí)該空間4R機(jī)構(gòu)位形如圖4b所示，轉(zhuǎn)軸R1的轉(zhuǎn)角任意選取，這種情況下，連桿3沿定軸線l1連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)連桿3具有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸線1維轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模式。

2.3 奇異位形

圖4a所示機(jī)構(gòu)處于R1、R4的轉(zhuǎn)角均為零的位形。式(10)中轉(zhuǎn)軸R4的轉(zhuǎn)角θ4→0時(shí)，考慮到機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性，機(jī)構(gòu)從圖5a所示位形下不能在R4的轉(zhuǎn)角θ4→0時(shí)，運(yùn)動(dòng)到圖5b所示位形下，結(jié)合2.1、2.2節(jié)的分析結(jié)果，可知機(jī)構(gòu)在圖4a所示位形下，連桿3具有兩個(gè)連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線，分別為l1、l2，轉(zhuǎn)動(dòng)軸線l1保持固定，轉(zhuǎn)動(dòng)軸線l2隨R4的轉(zhuǎn)角θ4的變化在空間中連續(xù)變化。在圖4a所示位形下，機(jī)構(gòu)處于奇異位形，當(dāng)鎖定轉(zhuǎn)動(dòng)副R4的轉(zhuǎn)角θ4，令其為零，控制轉(zhuǎn)動(dòng)副R1的轉(zhuǎn)角θ1，可使得連桿3繞固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸線l1連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)；當(dāng)控制轉(zhuǎn)動(dòng)副R4的轉(zhuǎn)角θ4(且令其不等于零)，控制轉(zhuǎn)動(dòng)副R1的轉(zhuǎn)角θ1，可使得連桿3繞變轉(zhuǎn)動(dòng)軸線l2連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)。

綜上所述，圖4所示機(jī)構(gòu)具有兩種運(yùn)動(dòng)模式，可通過(guò)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)副R1、R4的控制，實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)在圖4a所示變換位形下，在兩種不同運(yùn)動(dòng)模式之間的變換。值得注意的是，該空間4R機(jī)構(gòu)的兩種運(yùn)動(dòng)模式性質(zhì)不同，一種為沿固定軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，該運(yùn)動(dòng)屬于1維轉(zhuǎn)動(dòng)位移子群；另一種轉(zhuǎn)動(dòng)軸線在空間連續(xù)變化，該運(yùn)動(dòng)屬于1維轉(zhuǎn)動(dòng)位移流形。利用這種空間4R球面機(jī)構(gòu)所具有的運(yùn)動(dòng)特性，可設(shè)計(jì)具有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸線和變轉(zhuǎn)動(dòng)軸線兩種運(yùn)動(dòng)模式的3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

3 具有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸線和變轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的兩種3T1R運(yùn)動(dòng)模式的并聯(lián)機(jī)構(gòu)

由圖4機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性可知，空間4R球面機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)α12=α，α23=180°-α，α34=90°，α41=90°，且α≠90°時(shí)，空間4R機(jī)構(gòu)具有兩種運(yùn)動(dòng)模式，連桿具有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸線和變轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的兩種1維轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模式。將3個(gè)沿坐標(biāo)系，移動(dòng)方向正交的移動(dòng)副串聯(lián)后，連接圖4所示機(jī)構(gòu)的連桿1后，連桿3所具有的運(yùn)動(dòng)可用位移流形表示為

{TX}{TY}{TZ}({R(X)}∪{R(v)})=
{TX}{TY}{TZ}{R(X)}∪{TX}{TY}{TZ}{R(v)}

(12)

式中 {R(X)}——1維轉(zhuǎn)動(dòng)位移子群[24]，轉(zhuǎn)軸平行于X軸

{TX}、{TY}、{TZ}——沿坐標(biāo)軸的1維移動(dòng)子群

v——可變的轉(zhuǎn)動(dòng)軸線，這種特殊的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)并不屬于12種位移子群

{R(v)}——1維轉(zhuǎn)動(dòng)位移流形

{TX}{TY}{TZ}{R(v)}不屬于12種位移子群，代表4維位移流形。式(12)中的({R(X)}∪{R(v)})表示兩種運(yùn)動(dòng)模式的并集，根據(jù)產(chǎn)生這種運(yùn)動(dòng)的生成元，可寫(xiě)成

({R(X)}∪{R(v)})=
{R(X)}{R(u)}∩{R(Y)}{R(X)}

(13)

式(13)中{R(X)}{R(u)}對(duì)應(yīng)的生成元為圖4的支鏈R1R2，式(13)中{R(Y)}{R(X)}對(duì)應(yīng)的生成元為圖4中的支鏈R4R3，結(jié)合式(12)，得到

{TX}{TY}{TZ}({R(X)}∪{R(v)})=
{TX}{TY}{TZ}({R(X)}{R(u)}∩
{R(Y)}{R(X)})=
{TX}{TY}{TZ}{R(X)}{R(u)}∩
{TX}{TY}{TZ}{R(Y)}{R(X)}

(14)

由于兩種3T1R運(yùn)動(dòng)模式都具有4個(gè)自由度，使用式(14)中位移流形{TX}{TY}{TZ}{R(X)}{R(u)}、{TX}{TY}{TZ}{R(Y)}{R(X)}對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)鏈作為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的兩條支鏈，再加上2個(gè)與其結(jié)構(gòu)相同的并聯(lián)支鏈后，支鏈末端的運(yùn)動(dòng)求交，運(yùn)動(dòng)不會(huì)發(fā)生改變。支鏈1的結(jié)構(gòu)為ZPYPXPXRuR，支鏈1與支鏈3的機(jī)構(gòu)相同，令向量X轉(zhuǎn)到u的轉(zhuǎn)角為α，支鏈2的結(jié)構(gòu)為YPXPZPYRXR，支鏈2與支鏈4的機(jī)構(gòu)相同，機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖6所示。文獻(xiàn)[25]根據(jù)移動(dòng)副和轉(zhuǎn)動(dòng)副的數(shù)目列舉了PPPRR類型的運(yùn)動(dòng)鏈?？蛇x取RRRRR支鏈進(jìn)行建模，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖7所示。運(yùn)動(dòng)鏈B1A1的結(jié)構(gòu)為YRYRYRuRuR。旋轉(zhuǎn)軸R13和旋轉(zhuǎn)軸R14之間的角度為60°。運(yùn)動(dòng)鏈B1A1的結(jié)構(gòu)與運(yùn)動(dòng)鏈B3A3的結(jié)構(gòu)相同。運(yùn)動(dòng)鏈B2A2的結(jié)構(gòu)為XRXRXRYRYR。運(yùn)動(dòng)鏈B2A2的結(jié)構(gòu)與運(yùn)動(dòng)鏈B4A4的結(jié)構(gòu)相同。運(yùn)動(dòng)鏈3對(duì)動(dòng)平臺(tái)施加的約束與運(yùn)動(dòng)鏈1對(duì)動(dòng)平臺(tái)施加的約束相同。運(yùn)動(dòng)鏈4對(duì)動(dòng)平臺(tái)施加的約束與運(yùn)動(dòng)鏈2對(duì)動(dòng)平臺(tái)施加的約束相同。

圖6 具有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸線和變轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.6 Sketch of 3T1R parallel mechanism with fixed and variable rotation axis

圖7 不含有被動(dòng)副的具有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸線和變轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.7 Sketch of 3T1R parallel mechanism with fixed andvariable rotation axis without passive moving pair

圖8 定軸線3T1R運(yùn)動(dòng)模式Fig.8 Fixed axis 3T1R motion mode

3.1 固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸線3T1R運(yùn)動(dòng)模式

3.1.1自由度分析

如圖8所示支鏈B1A1的結(jié)構(gòu)為YRYRYRuRuR。轉(zhuǎn)軸R13和轉(zhuǎn)軸R14之間的角度為60°。運(yùn)動(dòng)鏈B1A1的結(jié)構(gòu)與運(yùn)動(dòng)鏈B3A3的結(jié)構(gòu)相同。運(yùn)動(dòng)鏈B2A2的結(jié)構(gòu)為XRXRXRYRYR。運(yùn)動(dòng)鏈B2A2的結(jié)構(gòu)與運(yùn)動(dòng)鏈B4A4的結(jié)構(gòu)相同。運(yùn)動(dòng)鏈3對(duì)動(dòng)平臺(tái)施加的約束與運(yùn)動(dòng)鏈1對(duì)移動(dòng)平臺(tái)施加的約束相同。運(yùn)動(dòng)鏈4對(duì)動(dòng)平臺(tái)施加的約束與運(yùn)動(dòng)鏈2對(duì)動(dòng)平臺(tái)施加的約束相同。在圖8中，運(yùn)動(dòng)鏈B1A1、B2A2施加在動(dòng)平臺(tái)上的約束旋量可以在固定坐標(biāo)系OXYZ中表示為

(15)

支鏈1與支鏈3，支鏈2與支鏈4施加在動(dòng)平臺(tái)上的約束相同，在機(jī)構(gòu)的一般位形下，動(dòng)平臺(tái)上施加的約束系存在冗余約束，υ=2，采用修正的Kutzbach-Grübler公式計(jì)算機(jī)構(gòu)的自由度為4。

結(jié)合動(dòng)平臺(tái)上的約束，對(duì)其求解互易積，可知機(jī)構(gòu)在圖8所示位形下，具有3T1R運(yùn)動(dòng)模式，轉(zhuǎn)動(dòng)軸線平行于Y軸。根據(jù)文獻(xiàn)[26]中的方法判定運(yùn)動(dòng)模式是否瞬時(shí)，對(duì)應(yīng)每一個(gè)自由度和其性質(zhì)依次給出相對(duì)起始位型的一個(gè)足夠小的有限位移量。可以驗(yàn)證該3T1R運(yùn)動(dòng)模式是全周的。

3.1.2固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸線3T1R模式驅(qū)動(dòng)副選擇合理性分析

選擇轉(zhuǎn)動(dòng)副R11、R21、R31和R41作為驅(qū)動(dòng)副。當(dāng)驅(qū)動(dòng)副R11、R21、R31和R41在圖8中被鎖定時(shí)，施加到動(dòng)平臺(tái)的驅(qū)動(dòng)力旋量為

(16)

鎖定4個(gè)驅(qū)動(dòng)副后，該機(jī)構(gòu)具有0自由度。在圖8所示的機(jī)構(gòu)位形下，所選擇的4個(gè)驅(qū)動(dòng)副可實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)在固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸線3T1R運(yùn)動(dòng)模式下的控制。

3.2 3T1R運(yùn)動(dòng)模式變換位形

3.2.1機(jī)構(gòu)自由度分析

機(jī)構(gòu)在圖8所示位形繞平行于Y軸的軸線轉(zhuǎn)動(dòng)后，機(jī)構(gòu)處于圖9所示機(jī)構(gòu)位形，此位形下，4條支鏈中的轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線均平行于OXY平面。運(yùn)動(dòng)鏈1、2施加在動(dòng)平臺(tái)上的約束旋量可以在固定坐標(biāo)系OXYZ中表示為

(17)

圖9 運(yùn)動(dòng)模式變換位形Fig.9 Motion mode transformation configuration

機(jī)構(gòu)具有5個(gè)自由度，結(jié)合動(dòng)平臺(tái)上的約束，對(duì)其求解互易積，可知機(jī)構(gòu)在圖9所示位形下，具有3T2R運(yùn)動(dòng)。根據(jù)3.1節(jié)的分析可知，當(dāng)機(jī)構(gòu)從圖9所示位形繞平行于Y軸的軸線轉(zhuǎn)動(dòng)后，機(jī)構(gòu)進(jìn)入固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸線3T1R運(yùn)動(dòng)模式，因而圖9所示機(jī)構(gòu)具有的3T2R運(yùn)動(dòng)是瞬時(shí)的。

3.2.2驅(qū)動(dòng)副選擇的合理性分析

在圖9所示機(jī)構(gòu)位形下，驅(qū)動(dòng)副R11、R21、R31和R41被鎖定后，施加到動(dòng)平臺(tái)的驅(qū)動(dòng)力旋量為

(18)

由式(17)、(18)組成的旋量系可知，在圖9的機(jī)構(gòu)位形下，旋量系中的8個(gè)旋量是線性相關(guān)的。施加在移動(dòng)平臺(tái)上的約束旋量系中有3個(gè)冗余約束υ=3，計(jì)算機(jī)構(gòu)的自由度為1。

鎖定機(jī)構(gòu)4個(gè)驅(qū)動(dòng)副后，該機(jī)構(gòu)有1個(gè)自由度。在圖9所示的機(jī)構(gòu)位形下，所選的4個(gè)驅(qū)動(dòng)副無(wú)法實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式變換。因而需要增加1個(gè)輔助驅(qū)動(dòng)副，來(lái)實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式的變換。選擇轉(zhuǎn)動(dòng)副R12作為輔助驅(qū)動(dòng)副。鎖定該驅(qū)動(dòng)副后，作用在動(dòng)平臺(tái)上的驅(qū)動(dòng)力旋量為

(19)

由式(17)～(19)組成的旋量系可知，在機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)模式變換位形下，該9個(gè)旋量線性相關(guān)。在動(dòng)平臺(tái)上作用的約束旋量系中有3個(gè)冗余約束υ=3，計(jì)算機(jī)構(gòu)的自由度為0。

鎖定4個(gè)驅(qū)動(dòng)副和1個(gè)輔助驅(qū)動(dòng)副后，該機(jī)構(gòu)自由度為0。在圖9所示的配置下，4個(gè)驅(qū)動(dòng)副和1個(gè)輔助驅(qū)動(dòng)副可以實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)3T2R瞬時(shí)自由度位形下的控制。

3.3 變轉(zhuǎn)動(dòng)軸線3T1R運(yùn)動(dòng)模式

3.3.1機(jī)構(gòu)自由度分析

控制圖9中4個(gè)驅(qū)動(dòng)副和1個(gè)輔助驅(qū)動(dòng)副，使得機(jī)構(gòu)處于圖10所示機(jī)構(gòu)位形，支鏈1、2施加在動(dòng)平臺(tái)上的約束旋量，在定坐標(biāo)系OXYZ中可表示為

(20)

圖10 變軸線3T1R運(yùn)動(dòng)模式Fig.10 Variable axis 3T1R motion mode

由于支鏈1與支鏈3，支鏈2與支鏈4施加在動(dòng)平臺(tái)上的約束相同，在機(jī)構(gòu)的一般位形下，動(dòng)平臺(tái)上施加的約束系存在冗余約束，υ=2，采用修正的Kutzbach-Grübler公式計(jì)算機(jī)構(gòu)自由度為4。

3.3.2驅(qū)動(dòng)副選擇的合理性分析

當(dāng)驅(qū)動(dòng)副R11、R21、R31和R41在圖10中被鎖定時(shí)，4個(gè)支鏈?zhǔn)┘拥絼?dòng)平臺(tái)上的驅(qū)動(dòng)力旋量為

(21)

由式(20)、(21)組成的旋量系可知，在機(jī)構(gòu)的一般構(gòu)型下，旋量系中的8個(gè)旋量在變轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的3T1R運(yùn)動(dòng)模式下線性相關(guān)。施加在動(dòng)平臺(tái)上的約束旋量系中有兩個(gè)冗余約束υ=2，計(jì)算機(jī)構(gòu)的自由度為0。

鎖定4個(gè)驅(qū)動(dòng)副后，該機(jī)構(gòu)自由度為0。在圖10所示機(jī)構(gòu)位形下，選擇的4個(gè)驅(qū)動(dòng)副可以實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)在變轉(zhuǎn)動(dòng)軸線3T1R運(yùn)動(dòng)模式下機(jī)構(gòu)的控制。

綜上所述，圖10所示的機(jī)構(gòu)具有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸線和變轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的兩種3T1R運(yùn)動(dòng)模式?？梢允褂?個(gè)驅(qū)動(dòng)副來(lái)控制機(jī)構(gòu)的這兩種運(yùn)動(dòng)模式。當(dāng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式改變時(shí)，機(jī)構(gòu)支鏈中需要增加一個(gè)輔助驅(qū)動(dòng)副。輔助驅(qū)動(dòng)副只在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式變換位形下工作。

4 結(jié)論

(1)通過(guò)分析空間4R球面機(jī)構(gòu)的一般運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，對(duì)一種具有特殊結(jié)構(gòu)參數(shù)的空間4R球面機(jī)構(gòu)具有的運(yùn)動(dòng)模式進(jìn)行了討論，結(jié)果表明該空間球面4R機(jī)構(gòu)的連桿具有兩種運(yùn)動(dòng)模式，其具有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸線和變轉(zhuǎn)動(dòng)軸線兩種轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模式。

(2)使用位移流形理論對(duì)具有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸線和變轉(zhuǎn)動(dòng)軸線兩種運(yùn)動(dòng)模式的3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了綜合，在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式變換的不同位形下，進(jìn)行了機(jī)構(gòu)自由度和驅(qū)動(dòng)副選取合理性的驗(yàn)證，結(jié)果表明該類機(jī)構(gòu)能實(shí)現(xiàn)兩種模式的運(yùn)動(dòng)，在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式變換位形下，使用輔助驅(qū)動(dòng)副可以實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式變換。