于成龍，付國霞，孫超利，張國晨

（太原科技大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，太原 030024）

0 概述

隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、國防建設(shè)、醫(yī)療衛(wèi)生、人民生活等各個(gè)領(lǐng)域?qū)こ坍a(chǎn)品性能的要求不斷提高，工程優(yōu)化問題也變得越來越復(fù)雜。元啟發(fā)式優(yōu)化算法（包括進(jìn)化算法和群智能優(yōu)化算法）相比于傳統(tǒng)的單點(diǎn)迭代算法對目標(biāo)函數(shù)無連續(xù)可微的要求，具有更大的概率找到全局最優(yōu)解，且不一定需要有顯式的目標(biāo)函數(shù)公式，在大型電力系統(tǒng)［1-2］、天線設(shè)計(jì)［3-4］、航空航天及汽車設(shè)計(jì)［5-6］等科學(xué)研究和工程優(yōu)化中具有廣泛應(yīng)用。然而，元啟發(fā)式優(yōu)化算法在獲得最優(yōu)解之前通常需要進(jìn)行多次目標(biāo)函數(shù)評價(jià)。因此，在目標(biāo)函數(shù)計(jì)算費(fèi)時(shí)的情況下，很難應(yīng)用元啟發(fā)式優(yōu)化算法來搜索問題的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案［7］?；跉v史數(shù)據(jù)建立代理模型用來輔助元啟發(fā)式優(yōu)化算法，在評價(jià)次數(shù)有限的情況下搜索全局最優(yōu)解是目前常用的求解計(jì)算費(fèi)時(shí)問題的優(yōu)化方法［8-9］。相比于計(jì)算費(fèi)時(shí)的原優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)評價(jià)，訓(xùn)練代理模型所需計(jì)算時(shí)間成本是低廉的，主要包括多項(xiàng)式回 歸（Polynomial Regression，PR）［10］、徑向基函數(shù)（Radical Basis Function，RBF）［11］、高斯過程（Gaussian Process，GP）［12］、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Artificial Neural Network，ANN）［13-14］和支持向量回歸（Support Vector Regression，SVR）［15］等常見的代理模型。

元啟發(fā)式優(yōu)化算法中根據(jù)模型的用途可以將代理模型分為全局代理模型和局部代理模型。在通常情況下，全局代理模型用于平滑原問題的局部最優(yōu)解，并引導(dǎo)搜索算法快速定位到最優(yōu)解附近。LIU等［16］提出一個(gè)求解中等規(guī)模費(fèi)時(shí)優(yōu)化問題的高斯過程輔助的進(jìn)化算法。SCHNEIDER 等［17］采用高斯過程模型的貝葉斯優(yōu)化以改進(jìn)具有許多自由度的光學(xué)結(jié)構(gòu)。TIAN 等［12］提出一個(gè)高斯過程輔助的進(jìn)化算法（MGP-SLPSO），采用多目標(biāo)填充準(zhǔn)則的方式選擇真實(shí)評價(jià)的個(gè)體。YU 等［18］提出一種最優(yōu)重啟策略代理輔助的社會學(xué)習(xí)粒子群優(yōu)化算法（GORSSSLPSO），集成了重啟策略和全局RBF 代理模型以提供功能強(qiáng)大的優(yōu)化器來解決計(jì)算耗時(shí)的問題。局部代理模型則用于較好地?cái)M合原問題在某一個(gè)區(qū)域中的函數(shù)形狀，從而輔助算法在該區(qū)域中進(jìn)行搜索，從而提高最優(yōu)解精度。LIM 等［7］使用集成和平滑的局部代理模型同時(shí)進(jìn)行局部搜索，共同生成可靠的適應(yīng)值預(yù)測和搜索改進(jìn)策略。適應(yīng)值繼承是一種特殊的局部代理模型，SUN 等［19-20］基于同一代兄弟個(gè)體和父代個(gè)體提出一種新的適應(yīng)值估計(jì)策略。全局和局部混合代理模型相比于使用單全局代理模型或者單局部代理模型在輔助優(yōu)化算法搜索最優(yōu)解時(shí)具有較好的搜索性能。WANG 等［21］提出基于主動學(xué)習(xí)的代理模型輔助的粒子群優(yōu)化算法（CAL-SAPSO），結(jié)合全局和局部代理模型管理策略進(jìn)行優(yōu)化。SUN等［11］提出代理模型輔助的協(xié)同優(yōu)化算法，利用RBF全局代理模型輔助社會學(xué)習(xí)微粒群算法進(jìn)行全局最優(yōu)解的探索，同時(shí)利用適應(yīng)值估計(jì)策略輔助的微粒群算法進(jìn)行局部開采，從而實(shí)現(xiàn)對高維計(jì)算費(fèi)時(shí)優(yōu)化問題的求解。YU 等［22］提出代理模型輔助的分層粒子群優(yōu)化算法（SHPSO），與代理模型輔助的協(xié)同優(yōu)化算法不同，在SHPSO 中，社會學(xué)習(xí)粒子群優(yōu)化用于進(jìn)行局部空間的開采，而粒子群優(yōu)化用于在全局空間中進(jìn)行探索，從而提高全局最優(yōu)解的尋找性能。LI 等［23］提出一種求解高維費(fèi)時(shí)問題的代理輔助的多種群優(yōu)化算法（SAMSO），全局和局部代理模型分別輔助兩個(gè)種群進(jìn)化，同時(shí)兩個(gè)種群通過相互學(xué)習(xí)來提高算法的搜索性能。LIAO 等［24］利用所有歷史樣本訓(xùn)練全局代理模型，采用最優(yōu)的若干樣本訓(xùn)練局部代理模型，并通過多任務(wù)優(yōu)化方法搜索兩個(gè)模型的最優(yōu)解。

混合代理模型輔助的元啟發(fā)式優(yōu)化算法能夠利用不同模型的優(yōu)勢，相比于單代理模型能夠更好地輔助優(yōu)化算法在評價(jià)次數(shù)或者計(jì)算資源有限的情況下找到較優(yōu)解。本文基于已有的歷史數(shù)據(jù)，通過不同的樣本選擇策略建立全局代理模型和局部代理模型。對全局代理模型和局部代理模型進(jìn)行最優(yōu)解的交互搜索，通過對全局代理模型的搜索實(shí)現(xiàn)對原問題最優(yōu)解的探索，模型最優(yōu)解根據(jù)真實(shí)計(jì)算用于更新局部代理模型，使其能夠更好地?cái)M合目前最優(yōu)解附近的局部區(qū)域，通過對局部代理模型最優(yōu)解的搜索提高獲得更優(yōu)解的概率。

1 相關(guān)技術(shù)

1.1 徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)

徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)（Radial Basis Function Network，RBFN）是一種包含輸入層、隱藏層和輸出層共三層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。RBFN 作為代理模型在輔助優(yōu)化算法中具有較好的擬合效果，且其擬合效果對于問題維度的增加相對不敏感［25-26］。給定樣本庫{(xi，f(xi))，i=1，2，…，Na}，Na表示樣本庫中初始樣本數(shù)量，RBFN 模型可表示如下：

其中：ω=為RBF 網(wǎng)絡(luò)的輸出權(quán)重；Nc為隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)；φ（·）為徑向基核函數(shù)；ci為第i個(gè)隱含節(jié)點(diǎn)徑向基函數(shù)的中心。常見的核函數(shù)有高斯核、線性核、多重二次曲面核、立方核等［27］。本文算法中徑向基核函數(shù)采用立方核函數(shù)。

1.2 差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化（Differential Evolution，DE）算法在許多優(yōu)化問題上已被證明是一個(gè)簡單有效的進(jìn)化算法［28-29］，遵循進(jìn)化算法的一般流程，即首先在問題決策空間中產(chǎn)生一個(gè)初始化種群{x1(t)，x2(t)，…，xN()t}，其中，t=0，N為種群大小，xi=(xi1，xi2，…，xiD)表示第i個(gè)個(gè)體，D表示問題的維度。然后通過變異、交叉和選擇操作找到問題的最優(yōu)解。在DE 算法中，常見的變異策略有DE/rand/1、DE/current-to-best/1和DE/best/1等［30］。本文算法中采用標(biāo)準(zhǔn)的DE/rand/1變異策略，即對于每一代t，隨機(jī)選擇3 個(gè)不同于當(dāng)前個(gè)體i的個(gè)體，并通過以下公式得到變異后的向量vi(t)：

其中：r0、r1和r2為[1，N]中3 個(gè)不同的隨機(jī)數(shù)；和表示當(dāng)前種群中不同于個(gè)體xi的3 個(gè)個(gè)體；Fi稱為DE 的變異因子。

每個(gè)個(gè)體根據(jù)一定的概率在各個(gè)維度上進(jìn)行交叉操作，通過式（3）的交叉方法得到交叉后的向量ui(t+1)=(ui1(t)，ui2(t)，…，uiD(t))。uij(t+1)的計(jì)算公式如下：

其中：CRj∈[0，1]為交叉概率；jrandint為［1，D］中隨機(jī)產(chǎn)生的一個(gè)整數(shù)。對每個(gè)向量ui(t+1)計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值，并與其父代個(gè)體進(jìn)行適應(yīng)值的對比，保留較優(yōu)的個(gè)體作為下一代的父代個(gè)體，即：

2 全局與局部代理模型交替輔助的DE 算法

2.1 算法整體流程

算法1 給出了全局與局部代理模型交替輔助的差分進(jìn)化算法AGL-DE 的偽代碼。首先，通過拉丁超立方體產(chǎn)生一定數(shù)量的初始樣本，對其使用真實(shí)的目標(biāo)函數(shù)評價(jià)并將其存入數(shù)據(jù)集Arc 中?；谶@些真實(shí)評價(jià)的個(gè)體確定當(dāng)前最優(yōu)解，記為gbest。然后，若沒有達(dá)到停止條件，即達(dá)到最大的評價(jià)次數(shù)，則循環(huán)執(zhí)行以下操作：交替建立全局代理模型和局部代理模型并對模型進(jìn)行最優(yōu)解搜索，搜索到的最優(yōu)解進(jìn)行真實(shí)目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算，存入數(shù)據(jù)集Arc 中，并更新最優(yōu)解gbest。最后，詳細(xì)介紹全局代理模型和局部代理模型的訓(xùn)練（步驟6 和步驟10）及其優(yōu)化。

算法1AGL-DE 算法

2.2 全局代理模型的訓(xùn)練與優(yōu)化

在代理模型輔助的進(jìn)化算法中，為了保證算法的收斂性，通常選用適應(yīng)值最優(yōu)的若干個(gè)樣本來訓(xùn)練模型，但是這樣會導(dǎo)致算法很快陷入局部最優(yōu)，使得算法性能下降。本文選擇具有代表性的樣本建立全局代理模型，并通過在決策空間對全局代理模型最優(yōu)解的搜索提高算法探索能力，防止算法陷入局部最優(yōu)。文獻(xiàn)［31］表明全局代理模型并非一定需要與原函數(shù)精確擬合，其主要作用在于平滑掉局部最優(yōu)，加速定位到全局最優(yōu)解附近。為此，本文通過計(jì)算每個(gè)樣本xi和其最近鄰個(gè)體之間的擁擠度（記為C(xi)）來選擇全局代理模型的訓(xùn)練樣本。計(jì)算方式為對Arc 中個(gè)體按照目標(biāo)函數(shù)值從小到大排序，對任意個(gè)體xi，其擁擠度為相鄰兩個(gè)個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)之差。顯然，擁擠度越大，說明該個(gè)體和其他個(gè)體之間的目標(biāo)函數(shù)差值越大，擁擠度越小，說明和該個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)的相似度較大。為了更好地訓(xùn)練全局代理模型，選擇擁擠度大且考慮估值小的樣本個(gè)體來訓(xùn)練模型。通過-max 的方式將最大化擁擠度轉(zhuǎn)換成最小化問題，根據(jù)個(gè)體擁擠度和其適應(yīng)值進(jìn)行非支配排序，并從非支配排序后的第一層開始選擇該層的所有樣本放入訓(xùn)練樣集，直到當(dāng)加入第k層的所有樣本選擇出的樣本數(shù)大于預(yù)定樣本數(shù)時(shí)，在第k層隨機(jī)選擇樣本直到達(dá)到預(yù)定樣本數(shù)，并利用選擇出的所有樣本訓(xùn)練全局代理模型。使用差分進(jìn)化算法搜索模型的最優(yōu)解，并對其進(jìn)行真實(shí)的目標(biāo)函數(shù)計(jì)算。需要注意的是對模型進(jìn)行最優(yōu)解搜索時(shí)，初始化種群中的個(gè)體來自：1）使用拉丁超立方體采樣技術(shù)得到的初始個(gè)體；2）數(shù)據(jù)集Arc 中適應(yīng)值較優(yōu)的若干個(gè)體。初始化種群中增加Arc 中適應(yīng)值較優(yōu)的個(gè)體是為了加快模型最優(yōu)解的搜索速度。將經(jīng)過真實(shí)目標(biāo)函數(shù)計(jì)算的模型最優(yōu)解存入樣本庫Arc 中并更新目前找到的最優(yōu)解gbest。算法2 為算法1 中訓(xùn)練全局代理模型的偽代碼。

算法2全局代理模型訓(xùn)練算法

2.3 局部代理模型的訓(xùn)練與優(yōu)化

為快速找到更優(yōu)解，利用數(shù)據(jù)集Arc 中的若干最優(yōu)解建立局部代理模型。算法3 給出了訓(xùn)練局部代理模型的偽代碼。與訓(xùn)練全局代理模型類似，從數(shù)據(jù)集Arc 中選擇一定數(shù)量的訓(xùn)練數(shù)據(jù)訓(xùn)練局部代理模型。利用差分進(jìn)化算法進(jìn)行局部代理模型最優(yōu)解的搜索。對找到的局部代理模型最優(yōu)解使用真實(shí)的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，存入數(shù)據(jù)集Arc 中并更新目前計(jì)算得到的最優(yōu)解。

算法3局部代理模型訓(xùn)練算法

3 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與結(jié)果分析

為評估AGL-DE 算法的性能，在7 個(gè)單目標(biāo)基準(zhǔn)問題［7，32］上進(jìn)行測試，這7 個(gè)基準(zhǔn)問題的函數(shù)名稱、全局最優(yōu)值和函數(shù)特征如表1 所示。本節(jié)首先給出了AGL-DE 算法的參數(shù)設(shè)置，然后將其與近年來提出的求解費(fèi)時(shí)問題的優(yōu)化算法在測試函數(shù)上進(jìn)行結(jié)果比較，最后對算法框架、參數(shù)進(jìn)行敏感性分析。所有算法均獨(dú)立運(yùn)行25 次，并通過顯著性水平為0.05 的帶有Bonferroni校驗(yàn)的Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)方法［33］對25 次獨(dú)立運(yùn)行結(jié)果進(jìn)行顯著性統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。

表1 基準(zhǔn)函數(shù)特性Table 1 Characteristics of the benchmark functions

3.1 參數(shù)設(shè)置

在AGL-DE 算法中，不同的代理模型均可作為全局與局部代理模型，本文采用RBF 代理模型，主要原因在于RBF 代理模型對于高維問題具有較好的擬合效果［22］。訓(xùn)練RBF 代理模型的最小樣本數(shù)為2×D。實(shí)驗(yàn)中初始產(chǎn)生的樣本數(shù)為2×D，隨著評價(jià)次數(shù)增多，Arc 中真實(shí)計(jì)算的樣本數(shù)增多。若樣本過多，則訓(xùn)練模型的速度會減慢，因此在實(shí)驗(yàn)中設(shè)定訓(xùn)練模型的最大樣本數(shù)為5×D，在每次模型訓(xùn)練時(shí)訓(xùn)練模型的樣本數(shù)為［2×D，5×D］中的一個(gè)隨機(jī)整數(shù)Nt。需要注意的是若產(chǎn)生的隨機(jī)整數(shù)Nt大于當(dāng)前已有樣本數(shù)，則Arc 中所有樣本均參與模型的訓(xùn)練，否則從Arc 中隨機(jī)挑選Nt個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行模型訓(xùn)練。對于模型最優(yōu)解的搜索，初始種群大小設(shè)置為50，從Arc中選擇的最優(yōu)解個(gè)數(shù)為［40，50］中的一個(gè)隨機(jī)整數(shù)，剩余的初始解使用拉丁超立方體方法產(chǎn)生。迭代次數(shù)設(shè)置為［D，4×D］中產(chǎn)生的一個(gè)隨機(jī)整數(shù)。使用DE/rand/1 作為變異策略，二項(xiàng)式交叉作為DE 的交叉策略，變異因子設(shè)置為0.5，交叉概率設(shè)置為0.3。在實(shí)驗(yàn)對比中，所有算法的終止條件均為達(dá)到最大的真實(shí)評價(jià)次數(shù)，在10、20 和30 維的低維測試問題上算法評價(jià)11×D次，在50 和100 維的高維測試問題上算法評價(jià)1 000 次。

3.2 與其他算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比分析

表2 給出了AGL-DE 與GORS-SSLPSO［18］、CAL-SAPSO［21］、DDEA-SE［34］、SHPSO［22］算法在低維測試問題上的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，其中，符號“+”、“-”和“≈”分別表示AGL-DE 算法相較于其他算法具有顯著性優(yōu)、顯著性差和沒有顯著性差異，加粗?jǐn)?shù)據(jù)表示該數(shù)據(jù)對應(yīng)的算法找到的解是所有算法中最優(yōu)的，最后一行的數(shù)字分別表示AGL-DE 算法相較于其他算法具有顯著性優(yōu)的個(gè)數(shù)、顯著性差的個(gè)數(shù)和沒有顯著性差異的個(gè)數(shù)。SHSPO 算法在低維問題上只涉及了30 維，因此僅對SHPSO 算法在30 維問題上的結(jié)果進(jìn)行比較。從表2 可以看出，除了F5 測試問題以外，AGL-DE 算法在F1～F4 這4 個(gè)測試問題上基本優(yōu)于其他算法，雖然GORS-SSLPSO 算法在F4 上的結(jié)果略好，但是與AGL-DE 算法并沒有顯著性差異。

表2 AGL-DE 與GORS-SSLPSO、CAL-SAPSO、DDEA-SE、SHPSO 算法在低維測試問題上的統(tǒng)計(jì)結(jié)果Table 2 Statistical results of AGL-DE and GORS-SSLPSO，CAL-SAPSO，DDEA-SE，SHPSO algorithms on low-dimensional test problems

表3 給出了AGL-DE 與GORS-SSLPSO［18］、MGP-SLPSO［12］、DDEA-SE［34］、SHPSO［22］、SAMSO［23］算法在高維測試問題上的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。從表3 中可以看 出，AGL-DE 算法相比于 GORS-SSLPSO、MDP-SLPSO、DDEA-SE、SHPSO、SAMSO 算法在高維問題上獲得了13/14、8/14、13/14、10/14 和9/14 的更好解。此外，還可以看出AGL-DE 算法在5/7 個(gè)100 維測試問題上獲得了比其他算法更優(yōu)的結(jié)果，表明AGL-DE 算法對于高維問題具有較好的求解效果。

表3 AGL-DE 與GORS-SSLPSO、MGP-SLPSO、DDEA-SE、SHPSO、SAMSO 算法在高維測試問題上的統(tǒng)計(jì)結(jié)果Table 3 Statistical results of AGL-DE and GORS-SSLPSO，MGP-SLPSO，DDEA-SE，SHPSO，SAMSO algorithms on high-dimensional test problems

為更好地分析算法的收斂性能，圖1、圖2 分別給出了AGL-DE 算法和其他算法在低維和高維測試問題上的函數(shù)收斂曲線圖，橫坐標(biāo)代表真實(shí)適應(yīng)值的評估次數(shù)，記為T，為了能夠更加明顯地觀察收斂曲線圖的變化情況，縱坐標(biāo)用25 次獨(dú)立運(yùn)行得到的適應(yīng)值的中值的對數(shù)表示，記為lg（F（xT）），其中xT為算法第T次真實(shí)適應(yīng)值評估下找到的最優(yōu)解，F(xiàn)（xT）為xT對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值。

圖1 AGL-DE 與GORS-SSLPSO、CAL-SAPSO、SHPSO 算法在低維測試問題上的函數(shù)收斂曲線圖Fig.1 Function convergence curves of AGL-DE and GORS-SSLPSO，CAL-SAPSO，SHPSO algorithms on low-dimensional test problems

圖2 AGL-DE 與GORS-SSLPSO、MGP-SLPSO、SHPSO、SAMSO 算法在高維測試問題上的函數(shù)收斂曲線圖Fig.2 Function convergence curves of AGL-DE and GORS-SSLPSO，MGP-SLPSO，SHPSO，SAMSO algorithms on high-dimensional test problems

由于F6 測試問題的適應(yīng)值可能是負(fù)值，因此在該測試問題的收斂曲線圖上沒有對適應(yīng)值進(jìn)行取對數(shù)操作。需要注意的是，DDEA-SE 算法是一種基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的離線優(yōu)化算法，在優(yōu)化的過程中不會產(chǎn)生需要真實(shí)適應(yīng)度評估的個(gè)體，故沒有給出其收斂曲線圖。

從圖1 可以看出，AGL-DE 在F1～F4 測試問題上都比其他算法具有更快的收斂速度，在低維的單模態(tài)和多模態(tài)問題上都展現(xiàn)了良好的性能。對于高維優(yōu)化問題，從圖2 可以看出，本文所提AGL-DE 算法在大部分優(yōu)化問題上具有較快的收斂速度。但是從圖2 也可以看出其容易陷入局部最優(yōu)，如50 維的F2、F3、F5 和F7 測試問題，在搜索算法到達(dá)一定程度后不再繼續(xù)下降。由此分析其早熟收斂的主要原因在于初始樣本的選擇。從Arc 中選擇若干最優(yōu)解作為DE 的初始種群，當(dāng)這些解的差別較小時(shí)，初始種群的多樣性較差。這些解雖然能夠引導(dǎo)算法快速收斂到某一個(gè)解，但是很難跳出局部最優(yōu)，從而導(dǎo)致了算法的早熟收斂。

3.3 全局與局部代理模型有效性分析

為驗(yàn)證全局與局部代理模型交替輔助的有效性，將其與僅使用全局代理模型輔助進(jìn)化算法（G-DE）和僅使用局部代理模型輔助進(jìn)化算法（L-DE）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較，在實(shí)驗(yàn)過程中其他參數(shù)設(shè)置與3.1 節(jié)的設(shè)置相同。表4 給出了AGL-DE、G-DE 和L-DE 算法在10 維、20 維和50 維的F1、F3 和F4 測試問題上的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。從統(tǒng)計(jì)結(jié)果上來看：AGL-DE 比G-DE 顯著性好3 個(gè)，顯著性差1 個(gè)，無顯著性差異5 個(gè)；AGL-DE 比L-DE 顯著性好3 個(gè)，顯著性差2 個(gè)，無顯著性差異4 個(gè)。統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明：全局代理模型和局部代理模型交替輔助差分進(jìn)化算法比單一模型輔助差分進(jìn)化算法的效果好。

表4 AGL-DE 與G-DE、L-DE 算法在F1、F3 和F4 測試問題上的統(tǒng)計(jì)結(jié)果Table 4 Statistical results of AGL-DE and G-DE，L-DE algorithms on F1，F(xiàn)3 and F4 test problems

3.4 參數(shù)敏感性分析

為驗(yàn)證在一定區(qū)間內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的訓(xùn)練集樣本數(shù)Nt、種群迭代次數(shù)iter 和從Arc 中選擇的初始樣本數(shù)Na的有效性，在不改變其他參數(shù)設(shè)置的情況下，與固定這3 個(gè)參數(shù)的3 種策略進(jìn)行比較，分別將它們固定為區(qū)間內(nèi)的最小值、中值和最大值，即min-values、med-values 和max-values，具體參數(shù)設(shè)置如表5 所示。在這3 種策略上對50 維和100 維的F1、F2、F4 和F6 測試問題進(jìn)行測試，表6 給出了AGL-DE 算法和這3 種策略的對比統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以看出在一定區(qū)間內(nèi)隨機(jī)生成參數(shù)的AGL-DE 算法要比單純固定這些參數(shù)的3 種策略具有更好的性能。

表5 3 種策略的參數(shù)設(shè)置Table 5 Parameter settings of three strategies

表6 AGL-DE 算法與min-values、med-values、max-values策略在F1、F2、F4 和F6 測試問題上的統(tǒng)計(jì)結(jié)果Table 6 Statistical results of AGL-DE algorithm and min-values，med-values，max-values strategies on F1，F(xiàn)2，F(xiàn)4 and F6 test problems

4 結(jié)束語

本文提出一種全局與局部代理模型交替輔助的差分進(jìn)化算法，通過對全局代理模型和局部代理模型最優(yōu)解的交替搜索來更新數(shù)據(jù)集以及原費(fèi)時(shí)優(yōu)化問題的最優(yōu)解，從而在計(jì)算資源有限的情況下獲得問題的更優(yōu)解。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相比于近年來提出的求解費(fèi)時(shí)問題的優(yōu)化算法，該算法在低維和高維測試問題上均獲得了較好的尋優(yōu)效果，然而在某些高維測試問題上容易陷入局部最優(yōu)，導(dǎo)致早熟收斂。因此在下一步工作中將考慮增強(qiáng)算法多樣性，以便跳出局部最優(yōu)，從而在計(jì)算資源有限的情況下找到目標(biāo)函數(shù)的更優(yōu)解。