鄒浩然，王恒升,2*

（1.中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，長沙 410083；（2.中南大學(xué) 高性能復(fù)雜制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410083）

0 引言

隔膜分切機(jī)是鋰電池隔膜生產(chǎn)的關(guān)鍵設(shè)備之一，其功能是將大卷徑，大寬度的料卷分切為各種小卷徑，小寬度的料卷。隔膜分切機(jī)的結(jié)構(gòu)可分為放卷系統(tǒng)、牽引系統(tǒng)和收卷系統(tǒng)三個(gè)部分：放卷系統(tǒng)將料卷展開送入牽引系統(tǒng)中；牽引系統(tǒng)使隔膜平穩(wěn)傳輸并完成分切；收卷系統(tǒng)將分切后的隔膜重新卷繞。為滿足產(chǎn)品質(zhì)量要求，保證隔膜在分切機(jī)中的傳輸效果至關(guān)重要。由于隔膜為柔性基材，若張力過大，材料易拉伸變形，使產(chǎn)品失效；若張力過小，材料松弛，就無法分切且極易發(fā)生褶皺。因此張力成為影響傳輸效果的重要因素，也成為了隔膜分切機(jī)控制的主要目標(biāo)。其中，放卷張力為系統(tǒng)提供基準(zhǔn)張力，因此放卷張力控制成為了重中之重。隔膜分切機(jī)的放卷系統(tǒng)是一種多軸卷繞系統(tǒng)，通過協(xié)調(diào)各輥的速度實(shí)現(xiàn)張力控制。由于系統(tǒng)是一個(gè)非線性、強(qiáng)耦合的機(jī)電系統(tǒng)，工作情況復(fù)雜，造成張力控制的難度很大。為滿足產(chǎn)品質(zhì)量的要求，隔膜的張力控制精度要不斷提高，能夠處理不同工況和存在干擾的情況，這對控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提出更高的要求。

針對隔膜分切機(jī)和其他多軸卷繞系統(tǒng)的控制，國內(nèi)外學(xué)者在相關(guān)領(lǐng)域做了大量的研究。張力控制的難點(diǎn)和重點(diǎn)集中在系統(tǒng)建模和控制器設(shè)計(jì)方面。在建模方面，Pagilla等[1～3]考慮了由于卷材的減少造成的放卷輥慣量的變化，分析了放卷輥的受力變化情況，建立了較為準(zhǔn)確的系統(tǒng)動力學(xué)方程。同時(shí)分析了卷材傳輸時(shí)的張力變化機(jī)理，建立了張力模型。陳建魁[4]分析了卷繞系統(tǒng)工作時(shí)的張力波動機(jī)理，并將系統(tǒng)劃分為若干個(gè)子系統(tǒng)，建立了動力學(xué)模型，并提出了分布式張力控制方法。相關(guān)學(xué)者研究了張力波動的影響因素以完善模型。Seki等[5]分析了制造或裝配等造成的周期性擾動對張力控制的影響，并設(shè)計(jì)了反饋補(bǔ)償器。Baumgart等[6]研究了一種卷繞過程中的空氣擾動模型，并仿真分析了空氣夾帶對張力波動的影響。Lin[7]考慮了摩擦力和慣量的不確定性對張力的影響，并由此設(shè)計(jì)了摩擦力和慣量補(bǔ)償?shù)膹埩刂破?。隨著科技水平的提高，各種先進(jìn)的控制算法在張力控制中得到應(yīng)用。李實(shí)永等[8]設(shè)計(jì)了模糊控制器，對傳統(tǒng)PID控制作了改進(jìn)。Zhao等[9]設(shè)計(jì)了自適應(yīng)滑模控制器，應(yīng)用在消除擾動的張力控制中。

在以上的研究中，控制器大多為單回路結(jié)構(gòu)，張力控制一般應(yīng)用在特殊工況下，適應(yīng)性不強(qiáng)。有些控制精度不高，達(dá)不到生產(chǎn)要求。串級控制一般是通過設(shè)計(jì)多個(gè)回路實(shí)現(xiàn)最終控制。其中，外環(huán)控制量是內(nèi)環(huán)控制的輸入量[10]。串級控制能夠提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，在非線性、強(qiáng)耦合的系統(tǒng)中有好的效果，在工業(yè)控制中應(yīng)用廣泛[11]。本文針對隔膜分切機(jī)放卷系統(tǒng)，建立動力學(xué)模型，基于模型預(yù)測控制和反演控制設(shè)計(jì)了混合串級張力控制系統(tǒng)?？刂葡到y(tǒng)提高了控制精度和響應(yīng)速度以及張力控制的適應(yīng)性，在工業(yè)中有更強(qiáng)的實(shí)際價(jià)值，在其他控制的研究中有一定的借鑒價(jià)值。

1 系統(tǒng)動力學(xué)模型

如圖1所示為隔膜分切機(jī)放卷系統(tǒng)示意圖。其中v表示放卷輥線速度，v1為牽引輥線速度，T表示隔膜張力，R為實(shí)時(shí)卷徑。

圖1 放卷系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖

牽引電機(jī)帶動牽引輥使隔膜以一定的速度傳輸，同時(shí)由于牽引輥表面為橡膠，與隔膜摩擦力較大，對兩側(cè)的張力有隔離作用，是放卷系統(tǒng)和牽引系統(tǒng)的分界；惰輥保證了隔膜在張力傳感器上的包角，便于測量張力，同時(shí)使隔膜在長距離傳輸時(shí)保持平整；放卷輥在伺服電機(jī)的驅(qū)動下釋放隔膜，調(diào)節(jié)張力。由于惰輥和張力傳感器對張力的影響較小，本文將忽略其在張力控制中的影響，只考慮放卷輥和牽引輥的運(yùn)動情況。由系統(tǒng)運(yùn)行規(guī)律可知，張力的變化與兩輥運(yùn)動的協(xié)調(diào)性相關(guān)。為簡化控制方法，牽引輥采用速度控制，放卷輥采用力矩控制。牽引輥的控制在控制器中易于實(shí)現(xiàn)且效果穩(wěn)定，本文不再贅述。下文將對兩輥間的隔膜張力和放卷輥運(yùn)動情況進(jìn)行建模。

1.1 隔膜張力模型

假設(shè)隔膜與輥之間有足夠的摩擦力，即認(rèn)為隔膜與輥之間是純滾動，隔膜的張力產(chǎn)生是發(fā)生了純彈性變形。忽略溫度等對隔膜材料變化的影響，由胡克定律可得：

式中，E表示隔膜的彈性模量(N/m2)，A表示隔膜的橫截面積(m2)，ε表示隔膜的形變率（應(yīng)變），l0表示材料拉伸前長度，l表示材料拉伸后長度。

設(shè)隔膜拉伸前后線密度分別為ρ0，ρl(kg/m）。假設(shè)拉伸前后橫截面積不變，拉伸前后各處應(yīng)變保持一致（均勻拉伸），根據(jù)質(zhì)量守恒定律，有：

由質(zhì)量守恒定律，拉伸后在dt時(shí)間內(nèi)，兩輥間隔膜質(zhì)量變化量等于進(jìn)入的隔膜質(zhì)量減去送出的隔膜質(zhì)量。根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)[12，13]得到，在放卷輥和牽引輥之間的隔膜傳遞滿足式(4)所示關(guān)系：

其中ε`，ε"分別表示隔膜展開前后的應(yīng)變。

整理得到隔膜張力的數(shù)學(xué)模型為：

式中T0表示放卷前初始張力。

1.2 放卷輥動力學(xué)模型

由圖1可知放卷輥受到了電機(jī)驅(qū)動力矩，張力力矩和摩擦力矩的作用，系統(tǒng)慣量隨著卷材的減少而發(fā)生變化，整個(gè)系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。由于電機(jī)與放卷軸之間的傳動比為1，由牛頓第二定律，得到：

在任意時(shí)刻，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量主要有機(jī)械部分，料卷紙筒及隔膜三部分組成，即：

其中，Jm是機(jī)械部分轉(zhuǎn)動慣量，包括電機(jī)軸，輥軸等。Jt為紙筒的轉(zhuǎn)動慣量，Jd是隔膜卷轉(zhuǎn)動慣量。

由相關(guān)文獻(xiàn)[2]可知，隔膜卷轉(zhuǎn)動慣量可以描述為：

式中，ρ表示隔膜密度，H表示隔膜寬度，r表示隔膜卷內(nèi)徑。R為卷外徑。

由于厚度很薄，在不考慮隔膜間間隙的情況下，根據(jù)質(zhì)量守恒定律，傳輸過程中可以認(rèn)為在dt時(shí)間內(nèi)有，RdR所以：

式中，h表示隔膜厚度。

根據(jù)上述推論，整理式(10)可以得到放卷輥的動力學(xué)模型為：

根據(jù)式(9)和式(14)，考慮系統(tǒng)擾動，可以得到隔膜分切機(jī)放卷系統(tǒng)的動力學(xué)模型狀態(tài)空間方程描述如下：

2 控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)式(8)可知，隔膜張力的變化取決于兩端輥的速度，張力滯后于速度，控制兩輥速度能實(shí)現(xiàn)張力控制。本系統(tǒng)中牽引輥決定了系統(tǒng)運(yùn)行速度，放卷輥跟隨其運(yùn)動。根據(jù)系統(tǒng)特性，本文提出混合串級控制策略：外環(huán)依據(jù)隔膜張力模型設(shè)計(jì)張力控制器，得到放卷輥期望速度；內(nèi)環(huán)依據(jù)放卷輥模型實(shí)現(xiàn)速度跟蹤。外環(huán)使用模型預(yù)測控制，利用其滾動優(yōu)化的特點(diǎn)，控制器能夠得到最優(yōu)速度期望值；內(nèi)環(huán)針對放卷輥的非線性特性，使用反演控制能提高控制精度和穩(wěn)定性。相比于單回路控制器，上述混合串級控制系統(tǒng)能夠簡化控制模型，從張力產(chǎn)生機(jī)理出發(fā)，提高張力控制的準(zhǔn)確性和快速性。針對系統(tǒng)存在的擾動因素，設(shè)計(jì)干擾觀測器，對內(nèi)外兩環(huán)控制器進(jìn)行補(bǔ)償，提高了控制系統(tǒng)的的穩(wěn)定性和環(huán)境適應(yīng)性。下文將針對干擾觀測器和內(nèi)外兩環(huán)控制器設(shè)計(jì)進(jìn)行說明。

2.1 干擾觀測器設(shè)計(jì)

根據(jù)式(15)，將狀態(tài)空間方程表示為：

設(shè)計(jì)干擾觀測器如式(17)所示[14]，

由式(17)可知，

由上式可知，系統(tǒng)最終穩(wěn)定狀態(tài)ed=0，達(dá)到了干擾觀測的目的。

2.2 模型預(yù)測控制器設(shè)計(jì)

模型預(yù)測控制是一種被廣泛應(yīng)用的先進(jìn)控制算法，其基本思想是根據(jù)控制目標(biāo)優(yōu)化得到最優(yōu)的控制量，有模型預(yù)測、滾動優(yōu)化和反饋矯正的特征，有效的克服被控對象的不確定性，時(shí)變性等特點(diǎn)[16]，使系統(tǒng)具有較好的魯棒性和穩(wěn)定性。

在模型預(yù)測控制中，需要一個(gè)能預(yù)測系統(tǒng)未來動態(tài)的模型，可以是狀態(tài)空間模型，傳遞函數(shù)模型，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等。本節(jié)利用隔膜張力的數(shù)學(xué)模型作為預(yù)測模型進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。由式(9)得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：

式中，x(t)為狀態(tài)量，u(t)為控制量，w(t)為環(huán)境量，y(t)為觀測值，d2(t)通過干擾觀測器得到。其中，x=T，u=·θ，w=v1，A(t)=-v1/L，B(t)=(T0-EA)R/L，D(t)=EA/L，c=1。

由狀態(tài)方程可知，此系統(tǒng)為線性時(shí)變系統(tǒng)。針對此連續(xù)狀態(tài)方程，可以采用一階差商的方法進(jìn)行離散化，得到離散后的狀態(tài)空間方程為：

式中Ad=I+TsA，Bd=TsB，Dd=TsD，Ts，為采樣周期。

引入新的的狀態(tài)變量形式：

將式(21)改寫成如下形式：

預(yù)測模型表示為增量模型，引入積分能夠減小或消除靜態(tài)誤差[17]。根據(jù)模型預(yù)測控制的基本原理，設(shè)控制時(shí)域NP，預(yù)測時(shí)域?yàn)镹m，且Nm≤NP。為了推導(dǎo)預(yù)測方程，有兩個(gè)基本假設(shè)，即：

1）控制時(shí)域之外，控制量不變。

2）預(yù)測時(shí)域之內(nèi)，擾動量不變。

根據(jù)k時(shí)刻測量值，得到一系列輸出預(yù)測值：

控制時(shí)域內(nèi)的控制量輸入表示為：

預(yù)測時(shí)域內(nèi)的環(huán)境量變化為：

由式(20)可知，環(huán)境量為牽引輥的速度，設(shè)其加速度為a1，由于預(yù)測時(shí)域有限，假設(shè)在該段時(shí)間內(nèi)加速度不變，則某一時(shí)刻的環(huán)境量w(k+N)=v1(k)+a1(Np-1)·Ts

因此，在k時(shí)刻得到的預(yù)測方程可以表示為：

根據(jù)滾動優(yōu)化的原則，為了得到最優(yōu)控制量，根據(jù)控制目標(biāo)設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)如式(28)所示：

式中，Q1表示輸出誤差的權(quán)重系數(shù)矩陣，Q2表示控制量的權(quán)重系數(shù)矩陣。

將式(27)代入，可以發(fā)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)J是關(guān)于控制量ΔU的函數(shù)。求ΔU最優(yōu)解，即求minJ的解。根據(jù)，求得最優(yōu)控制量增量：

式中，E(k+1)=Yd(k+1)-Sxψ(k)-Sww(k)-Sdd2(k)，Yd(k+1)表示期望值矩陣。即：

將所求最優(yōu)控制增量矩陣的第一個(gè)元素作為下一時(shí)刻控制信號增量。最終，模型預(yù)測控制器的控制量為：

進(jìn)入下一時(shí)刻，重復(fù)上述過程，最終可以達(dá)到控制要求。最優(yōu)控制量即為期望的放卷輥角速度·θd。為達(dá)到這樣的速度條件，需要進(jìn)行下一步設(shè)計(jì)。

2.3 反演控制器設(shè)計(jì)

反演控制是一種常用的非線性控制方法，其基本思想是將復(fù)雜的非線性系統(tǒng)分解成多個(gè)低階子系統(tǒng)[18]。它的每一步通過李雅普諾夫函數(shù)推導(dǎo)出使系統(tǒng)穩(wěn)定的虛擬控制律，最終得到真實(shí)的控制器，實(shí)現(xiàn)整個(gè)系統(tǒng)的控制。本節(jié)根據(jù)放卷輥動力學(xué)模型設(shè)計(jì)速度跟蹤控制器，將通過設(shè)計(jì)位置跟蹤控制器方式，實(shí)現(xiàn)速度跟蹤，同時(shí)能提高速度控制的準(zhǔn)確性。

由式(14)、式(15)，得到干擾條件下的放卷輥動力學(xué)模型如下：

步驟一：根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，首先設(shè)計(jì)李雅普諾夫函數(shù)為：

由于e1=θ-θd，所以有，所以得到：

設(shè)虛擬控制量e2，使，其中k1＞0，將其代入式(35)中有：

顯然，當(dāng)e2=0時(shí)，，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。為達(dá)到最終控制目的，需要進(jìn)行第二步設(shè)計(jì)。

步驟二：再次構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)

所以：

當(dāng)控制量滿足：

所以，反演控制的控制律為：

式中，

3 仿真研究

根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)方程(15)，選取系統(tǒng)模型各參數(shù)如表1所示。

表1 模型參數(shù)表

利用MATLAB/Simulink仿真平臺，搭建控制仿真系統(tǒng)。采用四階Runge-Kutta方法求解，采樣周期取Ts=0.005。仿真調(diào)試時(shí)發(fā)現(xiàn)控制器中各參數(shù)對結(jié)果有影響。為達(dá)到最好的控制效果，要對參數(shù)進(jìn)行選擇。預(yù)測控制中一般預(yù)測步數(shù)增多精度會提高，但也增加了求解難度，本文中取預(yù)測時(shí)域與控制時(shí)域分別取Np=10，Nm=4；權(quán)重矩陣取Q1=diag{10，10…10}，Q2=diag{1，1…1}，能夠提高控制精度；反演控制中k1和k2選擇改變了系統(tǒng)動態(tài)特性，增大k1對提高控制精度有幫助，增大k2能夠加速系統(tǒng)穩(wěn)定，但同時(shí)增大了超調(diào)量。根據(jù)本系統(tǒng)特性，反演控制器增益取k1=100，k2=0.01。干擾觀測器增益參數(shù)p1=100，p2=100。

3.1 張力控制測試

仿真初始條件系統(tǒng)速度為零，張力為零。仿真開始后系統(tǒng)加速度（牽引輥）為0.5m/s2，加速0.5s后系統(tǒng)勻速運(yùn)行。設(shè)期望張力為5N，張力響應(yīng)如圖2(a)所示；系統(tǒng)速度、模型預(yù)測控制產(chǎn)生的期望速度和反演速度跟蹤的關(guān)系如圖2(b)所示?？刂屏厝鐖D2(c)所示由圖可知，在控制器的作用下，系統(tǒng)的張力的階躍響應(yīng)快速，在0.1秒左右達(dá)到期望值，穩(wěn)態(tài)誤差很小。從速度響應(yīng)圖來看，控制器根據(jù)系統(tǒng)的速度（牽引輥速度）能夠及時(shí)得出放卷輥期望速度且跟蹤精度較高，從而使系統(tǒng)張力控制效果較好。同時(shí)控制力矩變化平穩(wěn)。

圖2 張力串級控制的仿真圖

如圖3、圖4所示分別為階躍期望張力和正弦張力下的張力響應(yīng)（仿真條件不變）。其中階躍期望張力分別為2N，5N，3N；正弦期望張力Td=5+sin(πt)N。由圖可知，在期望張力改變的情況下，張力能夠較好的跟蹤，證明了控制器能夠應(yīng)對期望張力變化的工作情況。

圖3 階躍期望張力下張力響應(yīng)圖

圖4 正弦期望張力下張力響應(yīng)圖

改變仿真條件，保持加速時(shí)間(0.5秒)不變，分別設(shè)置加速度為0.5m/s2，1m/s2和2m/s2，最終系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行速度為0.25m/s，0.5m/s和1m/s。期望張力為5N時(shí)的張力響應(yīng)如圖5(a)所示。速度響應(yīng)如圖5(b)所示。由圖可知，系統(tǒng)在不同的運(yùn)行情況下張力的控制效果良好，速度響應(yīng)及時(shí)。在不同加速度下，張力響應(yīng)曲線基本重合，體現(xiàn)了混合串級控制器的優(yōu)勢，外環(huán)控制器能夠更快的得到最優(yōu)速度期望值，提高了響應(yīng)速度和環(huán)境變化時(shí)的應(yīng)對能力。

圖5 系統(tǒng)在不同加速度情況下的控制仿真圖

3.2 抗干擾性能測試

由于模型誤差等因素造成的干擾在實(shí)際系統(tǒng)中經(jīng)常存在。控制器中引入干擾觀測器能夠有效的對干擾進(jìn)行觀測和補(bǔ)償。在仿真中分別設(shè)置了模型參數(shù)誤差和存在外部力矩?cái)_動的系統(tǒng)運(yùn)行條件。圖(6)是模型參數(shù)誤差下的張力響應(yīng)圖。系統(tǒng)模型中粘性摩擦系數(shù)b=0.056，控制器中參數(shù)設(shè)置為b=0.01。圖7是干擾力矩下的張力響應(yīng)圖。在系統(tǒng)中加入了大小在0.1～0.2N·m的干擾力矩。由兩圖中可知，控制器在處理干擾情況下效果明顯。干擾觀測器及時(shí)補(bǔ)償了擾動造成的控制量偏差，使張力控制值達(dá)到期望值。

圖6 模型參數(shù)誤差下的張力響應(yīng)圖

圖7 干擾力矩下的張力響應(yīng)圖

4 結(jié)語

本文研究了鋰電池隔膜分切機(jī)放卷系統(tǒng)的系統(tǒng)建模和張力控制問題。提出了以張力控制為外環(huán)，速度控制為內(nèi)環(huán)的混合串級控制策略，并使用模型預(yù)測控制和反演控制設(shè)計(jì)了控制系統(tǒng)，同時(shí)設(shè)計(jì)干擾觀測器對控制器進(jìn)行補(bǔ)償。仿真結(jié)果表明，控制系統(tǒng)在張力控制的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性方面有不錯(cuò)的效果，適用于多種工況。外環(huán)能夠根據(jù)系統(tǒng)速度及時(shí)得到期望放卷速度，內(nèi)環(huán)速度跟蹤精度高，證明了控制策略的有效性?？刂葡到y(tǒng)的效果有待于在實(shí)際系統(tǒng)中進(jìn)一步驗(yàn)證。