任張瑜 謝惠民 鞠 楊

?(清華大學(xué)航天航空學(xué)院應(yīng)用力學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084)

?(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)，煤炭資源與安全開(kāi)采國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100083)

準(zhǔn)確表征和直觀顯示材料內(nèi)部應(yīng)力場(chǎng)是分析結(jié)構(gòu)力學(xué)行為、研究其失效破壞過(guò)程的基礎(chǔ)。光測(cè)力學(xué)是實(shí)驗(yàn)力學(xué)的重要分支之一，其結(jié)合現(xiàn)代光學(xué)方法進(jìn)行物體力學(xué)參數(shù)的測(cè)量與表征，如表征應(yīng)力場(chǎng)的光彈性法、表征變形場(chǎng)的幾何云紋法、云紋干涉法、數(shù)字圖像相關(guān)法等。其中，作為一種能夠直觀顯示材料內(nèi)部全場(chǎng)應(yīng)力分布的方法，光彈性法測(cè)試技術(shù)的發(fā)展在工程應(yīng)用中備受重視。目前，光彈性法已成為光測(cè)力學(xué)方法教學(xué)中的重要內(nèi)容[1-2]。光彈性法是建立在諾埃曼-麥克斯韋應(yīng)力-光學(xué)定律基礎(chǔ)上的應(yīng)力分析方法[3]。該方法主要利用光敏樹(shù)脂材料的暫時(shí)雙折射效應(yīng)，即當(dāng)處于偏振光場(chǎng)中的模型受力時(shí)，偏振光穿過(guò)模型，沿不同的折射方向傳播，在不同折射方向上形成的光程不同[4-5]。當(dāng)不同折射方向的光線穿過(guò)檢偏鏡后，在檢偏鏡光軸方向上發(fā)生干涉，便形成光彈條紋，這些條紋可以表示不同折射主軸方向上的光程差信息，根據(jù)應(yīng)力-光學(xué)定律便可將光程差轉(zhuǎn)化為主應(yīng)力差和主應(yīng)力方向信息[6]，進(jìn)而可以直觀地顯示二維和三維模型中全場(chǎng)應(yīng)力的分布狀態(tài)。根據(jù)測(cè)量模型的不同，可以將其分為二維光彈性法和三維光彈性法，其中，二維光彈性法以其操作簡(jiǎn)單，光彈條紋直觀可視等優(yōu)點(diǎn)，已成為測(cè)試方法的核心教學(xué)內(nèi)容之一。

光彈性法主要分為如下三個(gè)步驟[5,7]。(1) 模型制備，即基于幾何相似條件，設(shè)計(jì)真實(shí)物體的相似模型，利用環(huán)氧樹(shù)脂、聚碳酸酯等具有暫時(shí)雙折射效應(yīng)的透明樹(shù)脂材料澆鑄模型，模型成型后，進(jìn)行退火處理，消除模型內(nèi)部的殘余應(yīng)力；(2) 光彈條紋形成，即將光彈模型置于光彈性光路中，根據(jù)真實(shí)物體的邊界條件施加模型邊界載荷，得到模型內(nèi)部的光彈性條紋圖；(3)應(yīng)力場(chǎng)提取，即基于條紋分析技術(shù)，如相移法、載波法等，處理光彈性條紋圖，得到模型內(nèi)部的應(yīng)力場(chǎng)信息。其中，光彈性模型的成功制備是光彈性法得以應(yīng)用的前提。目前，一般采用傳統(tǒng)光彈性澆鑄方法制備模型，存在制作周期長(zhǎng)，成本高，模型殘余應(yīng)力大，難以制備內(nèi)嵌復(fù)雜結(jié)構(gòu)的模型等問(wèn)題，相關(guān)問(wèn)題限制了光彈性法的發(fā)展、應(yīng)用[8-11]。同時(shí)，傳統(tǒng)光彈性模型制備多以環(huán)氧樹(shù)脂為原料，加入固化劑、增塑劑等材料，澆鑄固化成型，模型制作過(guò)程中，會(huì)產(chǎn)生有較強(qiáng)刺激性氣體，不利于在課堂教學(xué)中直接展示和應(yīng)用[4]。

近年來(lái)，3D 打印技術(shù)，特別是以光敏樹(shù)脂為原材料的3D 打印技術(shù)快速發(fā)展，為光彈性模型的高效制備提供了有效的新方法[12]。文獻(xiàn)[13-16]采用具有應(yīng)力雙折射效應(yīng)的3D 打印材料，制備了含有與天然巖體內(nèi)部復(fù)雜孔隙、裂隙、顆粒等結(jié)構(gòu)一致的三維物理模型，并將其用于三維應(yīng)力光彈法凍結(jié)試驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜巖體結(jié)構(gòu)內(nèi)部三維應(yīng)力場(chǎng)的可視化測(cè)量。Amini 等[17]利用3D 打印技術(shù)制備復(fù)雜形狀的顆粒模型，并結(jié)合光彈法研究了其受載時(shí)內(nèi)部應(yīng)力分布情況。

為了簡(jiǎn)化光彈性模型的制作過(guò)程，降低模型的殘余應(yīng)力，提高復(fù)雜結(jié)構(gòu)模型的制備能力，促進(jìn)光彈性方法在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的應(yīng)用，本研究將3D 打印技術(shù)(PolyJet) 引入光彈性實(shí)驗(yàn)力學(xué)方法的教學(xué)中，利用光敏樹(shù)脂打印制備模型。以光彈性法教學(xué)中常用的圓盤模型為例，展示了基于3D 打印技術(shù)的光彈性模型制備過(guò)程，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明: 3D 打印光彈性模型具有工藝殘余應(yīng)力低，成型精度高，制作周期短等優(yōu)點(diǎn)。本文研究中，以圓盤和圓環(huán)模型的對(duì)徑壓縮試驗(yàn)為例，結(jié)合相移法和條紋解包裹技術(shù)，計(jì)算了模型內(nèi)部的等傾線和等色線分布。通過(guò)受壓圓盤中心區(qū)域條紋級(jí)數(shù)與其理論解的對(duì)應(yīng)關(guān)系，求解了該3D 打印模型材料的光彈性應(yīng)力條紋值。打印制備了含有不同形狀孔隙的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ停S富了實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容。將3D 打印技術(shù)引入光彈性方法的教學(xué)過(guò)程中，實(shí)現(xiàn)了光彈性法從數(shù)字光彈模型設(shè)計(jì)，物理模型制備，光彈性條紋圖采集，應(yīng)力場(chǎng)提取等全過(guò)程的展示，可以使學(xué)生對(duì)光彈性方法、技術(shù)有更直觀認(rèn)識(shí)和深入的理解，為進(jìn)一步進(jìn)行工程結(jié)構(gòu)的測(cè)量應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

1 光彈性模型制備

3D 打印制備光彈性模型分為數(shù)字模型設(shè)計(jì)和模型打印兩個(gè)步驟，首先借助三維模型設(shè)計(jì)軟件，如AutoCAD, Solidworks 等設(shè)計(jì)所需的數(shù)字模型，然后將設(shè)計(jì)的三維數(shù)字模型導(dǎo)入3D 打印機(jī)，進(jìn)行物理模型打印。本實(shí)驗(yàn)中，采用AutoCAD 軟件設(shè)計(jì)了圓盤和圓環(huán)模型，將數(shù)字模型以STL 文件格式導(dǎo)出，該文件既包含了模型的幾何尺寸信息，同時(shí)可以與打印機(jī)控制軟件匹配、對(duì)接。我們利用Stratasys 公司的3D 打印機(jī)(型號(hào)為Objet Connex500) 進(jìn)行模型的打印，如圖1(a)所示。該打印機(jī)采用的是光固化成型SLA (stereo lithography appearance)中的Polyjet打印技術(shù)，最大成型體積為50 cm×40 cm×20 cm。該技術(shù)通過(guò)打印噴頭將液態(tài)的光敏樹(shù)脂噴涂到模型設(shè)計(jì)的區(qū)域，紫外線光源隨打印噴頭移動(dòng)，保證打印噴頭噴涂的液體樹(shù)脂能夠快速固化成型，模型厚度隨打印過(guò)程逐層增加，最后完成整個(gè)模型的打印[18]。該打印機(jī)功能豐富，可實(shí)現(xiàn)多種材料混合式打印[13]，其最小打印厚度為16 μm，具有較高的成型精度。PolyJet 打印技術(shù)的打印過(guò)程可以參考其公司網(wǎng)頁(yè)說(shuō)明 (https://www.stratasys.com/polyjettechnology)。打印中，圓盤試件的打印方向和厚度堆積方向如圖1(b) 所示。研究表明，沿Z方向堆積成型的模型具有最好的透光性[15]，層間界面位于與圖1(b)所示的X和Y軸垂直的平面上，對(duì)與Z軸垂直的平面影響最小，所以層間界面對(duì)光彈性成像的影響可以忽略，打印模型完全能夠滿足光彈性技術(shù)的要求。圖1(c) 展示了打印成型后的圓盤試件及其幾何尺寸。

圖1 (a) Objet Connex500 的打印機(jī)，(b) 打印方向和堆積方向，(c) 成型后模型，(d) 單色光源圓偏振光暗場(chǎng)條件下的光彈性條紋

采用Objet Connex500 打印機(jī)制備圓盤模型如圖1(c) 所示，所采用的液體光敏樹(shù)脂材料為RGD Veroclear810，打印圓盤模型質(zhì)量約為20 g，所需時(shí)間約為54 min。模型制作效率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)光彈性法，因?yàn)閭鹘y(tǒng)的光彈性模型制備流程需要經(jīng)歷液體配置、模具制備、澆鑄固化、脫模、退火等多個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成的復(fù)雜制造過(guò)程，制樣周期長(zhǎng)、且制作中容易產(chǎn)生氣泡，影響制樣質(zhì)量。而基于3D 打印機(jī)制備模型，整個(gè)模型制備過(guò)程都在打印機(jī)箱遮蔽的平臺(tái)上進(jìn)行，既不會(huì)對(duì)室內(nèi)環(huán)境產(chǎn)生影響，也可以隨時(shí)觀察模型制備進(jìn)度，這為課堂教學(xué)展示提供了便利。為了測(cè)量3D 打印制備模型中殘余應(yīng)力，將3D 打印的圓盤模型放置在以單色鈉光燈為光源的圓偏振光暗場(chǎng)光路中(該光路下，光彈條紋直接反映模型內(nèi)部的應(yīng)力場(chǎng))，如圖1(d) 所示，未受載圓盤內(nèi)部沒(méi)有明顯的光彈性條紋，說(shuō)明3D 打印模型內(nèi)部的殘余應(yīng)力較小。

3D 打印技術(shù)為光彈教學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了模型制備新技術(shù)。圖2 為3D 打印制備的內(nèi)含不同形狀孔隙結(jié)構(gòu)的光彈性教學(xué)模型，豐富了課堂教學(xué)的內(nèi)容。采用Polyjet 3D 打印技術(shù)制作光彈性模型還可以制備內(nèi)含復(fù)雜非規(guī)則結(jié)構(gòu)的三維模型，為了直觀展示3D打印制備復(fù)雜結(jié)構(gòu)三維光彈性模型的能力，圖3(a)～圖3(c) 展示了從含有復(fù)雜裂隙結(jié)構(gòu)的天然煤巖體到打印與其內(nèi)部結(jié)構(gòu)一致的光彈模型的過(guò)程，首先由CT 掃描獲取其內(nèi)部的裂隙結(jié)構(gòu)，然后通過(guò)數(shù)字圖像處理建立其三維數(shù)字模型，最后導(dǎo)入3D 打印機(jī)進(jìn)行打印，從圖3(c) 可以看出基于3D 打印技術(shù)可以制備含缺陷的復(fù)雜模型結(jié)構(gòu)，缺陷結(jié)構(gòu)幾何形狀可以靈活設(shè)計(jì)、位置可任意調(diào)整[12]，且一次成型，提升了制樣效率。

圖2 不同結(jié)構(gòu)的光彈性法教學(xué)模型，內(nèi)含(a) 正方形，(b)等邊三角形，(c) 圓形，(d) 小曲率橢圓形(長(zhǎng)軸: 短軸=2:1)和(e) 大曲率橢圓形(長(zhǎng)軸:短軸= 8:1) 結(jié)構(gòu)的教學(xué)模型

圖3 基于3D 打印技術(shù)制備的復(fù)雜結(jié)構(gòu)模型，(a) 天然煤巖體模型，(b) 天然煤巖體內(nèi)部復(fù)雜裂隙結(jié)構(gòu)的三維數(shù)字模型，(c) 打印煤巖體結(jié)構(gòu)模型[13]

2 光彈性實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)中利用如圖4(a)所示的光彈性條紋測(cè)量系統(tǒng)采集的光彈條紋圖，該系統(tǒng)包括白光和單色光光源(鈉光燈)、起偏鏡、兩個(gè)1/4 玻片、檢偏鏡、CCD 相機(jī)和平面伺服加載系統(tǒng)。平面伺服加載系統(tǒng)對(duì)圓盤施加對(duì)徑壓縮載荷，利用CCD 相機(jī)捕捉光彈性條紋圖。為了保證準(zhǔn)靜態(tài)加載條件，實(shí)驗(yàn)中以0.05 mm/min的加載速度緩慢加載至1 500 N，然后分別拍攝單色光和白光光源下圓偏振光暗場(chǎng)時(shí)的光彈性條紋，如圖4(b)和圖4(c)所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,條紋清晰、對(duì)比度高，3D 打印材料具有較好的應(yīng)力雙折射效應(yīng)。

圖4 (a) 光彈性條紋測(cè)量系統(tǒng)，(b) 對(duì)徑壓縮圓盤(載荷為1500 N) 在白光光源的圓偏振光暗場(chǎng)下的光彈條紋圖，(c) 對(duì)徑壓縮圓盤(載荷為1500 N) 在以單色光光源(鈉光燈) 的圓偏振光暗場(chǎng)下的光彈條紋圖

3 相位求解

圓偏振光暗場(chǎng)條件下的光彈性條紋分布直接反映全場(chǎng)應(yīng)力的分布，但是根據(jù)條紋的分布只能半定量或者定性反映模型內(nèi)部的應(yīng)力場(chǎng)。如果要定量計(jì)算模型內(nèi)部全場(chǎng)應(yīng)力分布，必須求解干涉形成的光彈性條紋對(duì)應(yīng)的等傾線和等色線相位，以及將等色線相位轉(zhuǎn)換為應(yīng)力場(chǎng)的材料應(yīng)力條紋值。

3.1 對(duì)徑受壓圓盤內(nèi)部的等傾線和等色線相位

光彈性法常用的相位解包裹有相移法、載波法、RGB 法等，其中相移法以其抗干擾能力強(qiáng)和全場(chǎng)快速求解的優(yōu)勢(shì)被廣泛應(yīng)用。本文采用四步和六步相移法對(duì)模型內(nèi)部全場(chǎng)等傾線和等色線相位進(jìn)行求解。

四步相移法采用漫反射白光光源，光路設(shè)置如圖5(a) 所示，通過(guò)調(diào)整偏振片不同的光軸角度，拍攝不同光軸角度組合的4 幅彩色條紋圖(見(jiàn)圖5(c))，最后聯(lián)立彩色條紋圖的光強(qiáng)方程確定包裹等傾線相位[19-20]。平面偏振光路時(shí)透射光光強(qiáng)J為[4]

其中Ib和Ia分別為背景光強(qiáng)和光源光強(qiáng)，β為檢偏鏡光軸角度，δ為光程差。θ為等傾線相位，四步相移法不同組合的偏振片光軸角度和光強(qiáng)表達(dá)式見(jiàn)表1，α為起偏鏡光軸角度。表中光強(qiáng)Ji為紅、綠、藍(lán)光強(qiáng)的平均值，即Ji= (Jir+Jig+Jib)/3,i=1,2,3,4,Jir，Jig和Jib為彩色相機(jī)紅、綠、藍(lán)通道的光強(qiáng)[4]。通過(guò)聯(lián)立光強(qiáng)表達(dá)式可得

表1 四步彩色相移法不同偏振角度時(shí)的光強(qiáng)方程

需要注意的是，方程(2)中的反正切函數(shù)的取值范圍為(-π/2, π/2)，所以通過(guò)方程(2) 計(jì)算的等傾線相位在(0, π/4) 范圍內(nèi)，通過(guò)解包裹方法可將其擴(kuò)展到(-π/2, π/2) 范圍內(nèi)(見(jiàn)圖5(e))[20]。

六步相移法采用單色光光源，光路設(shè)置如圖5(b)所示，通過(guò)調(diào)整不同的偏振片和1/4 玻片的光軸角度，拍攝不同光軸角度組合的6 幅單色條紋圖(見(jiàn)圖5(d))，聯(lián)立光強(qiáng)方程獲取等色線信息[21-23]。六步相移法中的光強(qiáng)為[4]

其中Ib和Ia分別為背景光強(qiáng)和光源光強(qiáng)，η和β分別為第二個(gè)1/4 波片和檢偏鏡光軸角度。對(duì)于圖5(b)所示的光路，不同組合的偏振片光軸角度、1/4玻片角度和光強(qiáng)表達(dá)式見(jiàn)表2，ξ為第1 個(gè)1/4 玻片光軸角度。通過(guò)聯(lián)立光強(qiáng)表達(dá)式可得

表2 六步相移法圓偏振光場(chǎng)光強(qiáng)表達(dá)式[4]

圖5 (a) 和(b) 四步和六步相移法光路設(shè)計(jì)圖，(c) 四步相移法使用的4 幅彩色條紋圖，(d) 六步相移法使用的6 幅單色條紋圖，(e) 等傾線相位圖，(f) 包裹等色線相位圖，(g) 等色線相位圖

其中θ′為由四步相移法確定的等傾線相位，由方程(4) 和其分子、分母的正負(fù)情況可直接得到包裹等色線相位[0, 2π] 的分布，如圖5(f) 所示。然后應(yīng)用相位解包裹方法[24-26]，計(jì)算得到連續(xù)分布的等色線相位(見(jiàn)圖5(g))。

3.2 對(duì)徑受壓圓環(huán)內(nèi)部等傾線和等色線

圓環(huán)是光彈實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的常用模型，為了豐富展示3D 打印技術(shù)用于光彈性模型制備的有效性，本文增加了對(duì)徑受壓圓環(huán)內(nèi)部光彈性條紋、等傾線和等色線的測(cè)量結(jié)果。打印圓環(huán)的厚度為8 mm，外徑為50 mm，內(nèi)徑為20 mm，所受的對(duì)徑壓縮載荷為1 000 N。圖6(a)和圖6(b)分別展示了對(duì)徑受壓圓環(huán)在白光和單色光作為光源時(shí)圓偏振光暗場(chǎng)條件下的光彈性條紋圖。采用3.1 節(jié)中介紹的四步和六步相移法，計(jì)算了對(duì)徑受壓圓環(huán)內(nèi)部的等傾線和等色線相位，結(jié)果如圖7(a)～圖7(c) 所示，分別為圓環(huán)內(nèi)部的等傾線、包裹等色線和解包裹后的等色線分布云圖。

圖6 對(duì)徑受壓圓環(huán)模型在圓偏振光暗場(chǎng)條件下的光彈性條紋圖，(a) 白光作為光源，(b) 單色鈉光作為光源

圖7 對(duì)徑受壓圓環(huán)內(nèi)部(a) 等傾線分布，(b) 包裹等色線分布，(c) 等色線相位分布

3.3 材料條紋值

根據(jù)光彈性應(yīng)力-光學(xué)定律，等色線相位和主應(yīng)力差的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以表示為

其中σ1和σ2為第一和第二主應(yīng)力分量，δ為等色線相位，d為模型厚度，f為材料條紋值。材料條紋值是連接應(yīng)力場(chǎng)和等色線相位的關(guān)鍵參數(shù)，條紋值確定后，根據(jù)方程(5)，可將等色線相位直接轉(zhuǎn)換為主應(yīng)力差的分布。

光彈性法中材料條紋值是基于對(duì)徑受壓圓盤內(nèi)部局部區(qū)域的理論解與等色線相位或條紋級(jí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行計(jì)算的。對(duì)徑受壓圓盤內(nèi)部應(yīng)力分量的理論解[27]為

方程(8)中，等色線相位δ可由3.1 節(jié)所述方法計(jì)算，應(yīng)力分量表示的主應(yīng)力差可由對(duì)徑受壓圓盤的理論解求得。因?yàn)閷?duì)徑受壓圓盤加載端應(yīng)力高度集中，條紋比較密集，等色線相位計(jì)算誤差比較大，所以本文采用如圖8 所示的區(qū)域(灰色區(qū)域?yàn)?10×440 像素，整個(gè)圓盤為890×900 像素) 作為條紋值計(jì)算區(qū)域[28-29]。將圖8 灰色區(qū)域中的等色線相位和對(duì)應(yīng)位置主應(yīng)力差的理論解代入到方程(8)中，得到該區(qū)域中510×440 個(gè)條紋值，然后對(duì)這些條紋值進(jìn)行最小二乘擬合，最后得到條紋值大小為36.01 N/mm/條。基于方程(5)，可將模型內(nèi)部的光彈性等色線相位直接轉(zhuǎn)換為主應(yīng)力差分布，其分布趨勢(shì)與等色線相位一致。

圖8 條紋值計(jì)算與理論解匹配區(qū)域

4 結(jié)論

本文將3D 打印技術(shù)制備光彈性模型的方法引入教學(xué)過(guò)程中，實(shí)現(xiàn)了光彈性法從數(shù)字模型設(shè)計(jì)，物理模型制備，光彈性條紋圖采集，應(yīng)力場(chǎng)提取等全過(guò)程的教學(xué)與展示，豐富了光彈性法的教學(xué)內(nèi)容。主要結(jié)論如下。

(1) 采用以光敏樹(shù)脂為原材料的3D 打印技術(shù)(Polyjet) 制備光彈性實(shí)驗(yàn)教學(xué)模型，并以圓盤模型為例，展示了3D 打印光彈性模型的制備過(guò)程，驗(yàn)證了模型較低的初始?xì)堄鄳?yīng)力和良好的光彈性效應(yīng)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明3D 打印技術(shù)的應(yīng)用，極大地簡(jiǎn)化了光彈性模型的制備過(guò)程，降低了模型的初始?xì)堄鄳?yīng)力，提升了含復(fù)雜結(jié)構(gòu)教學(xué)模型的制備能力，豐富了光彈性實(shí)驗(yàn)的教學(xué)模型。

(2)獲得了光彈性法教學(xué)中常用的3D 打印圓盤和圓環(huán)模型內(nèi)部的光彈性條紋圖，并采用相移法和解包裹技術(shù)，計(jì)算了模型內(nèi)部的等傾線和等色線相位，通過(guò)對(duì)徑壓縮圓盤中心區(qū)域的條紋級(jí)數(shù)分布，計(jì)算了所用3D 打印材料的條紋值。

(3) 通過(guò)本文實(shí)驗(yàn)，可以使學(xué)生了解先進(jìn)的3D打印制樣技術(shù)，加深對(duì)光彈性方法測(cè)試?yán)碚摰睦斫?、認(rèn)識(shí)；培養(yǎng)光彈性法測(cè)量應(yīng)力的基本實(shí)驗(yàn)?zāi)芰?，為學(xué)生進(jìn)一步應(yīng)用該方法解決工程問(wèn)題奠定基礎(chǔ)。