王懷磊

(南京航空航天大學(xué)振動工程研究所，南京 210016)

(南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016)

現(xiàn)有國內(nèi)外振動力學(xué)教程在介紹求解線性系統(tǒng)任意激勵響應(yīng)的Duhamel 積分時(shí)，大都是基于物理概念的分析，先求解單位脈沖響應(yīng)函數(shù)，然后將任意激勵分解和理解成無窮多個(gè)微沖量(脈沖) 作用，再對求得的各脈沖響應(yīng)進(jìn)行積分求和[1-9]。具體說來，考慮如下單自由度受迫振動系統(tǒng)

則每一τ ∈[0, t] 時(shí)刻脈沖f(τ)dτ所激發(fā)的系統(tǒng)在t時(shí)刻的響應(yīng)為

其中h(t-τ) 為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。根據(jù)線性疊加原理，系統(tǒng)在t時(shí)刻的響應(yīng)x(t) 應(yīng)為所有τ ∈[0, t] 時(shí)刻的脈沖響應(yīng)之和，即

一般振動力學(xué)教程中對Duhamel 積分的介紹到此就結(jié)束了。然而，筆者在教學(xué)實(shí)踐過程中發(fā)現(xiàn)，此處尚有兩個(gè)較為深入的問題需要討論。

第一個(gè)問題：應(yīng)如何理解脈沖激勵的作用過程？具體說來，是應(yīng)按照串行累計(jì)方式還是按照并行疊加方式理解？所謂串行累計(jì)是指，將[0, t] 內(nèi)的連續(xù)激勵分解為一系列沿時(shí)間線首尾相接的脈沖激勵的連續(xù)作用，則系統(tǒng)的響應(yīng)應(yīng)為各脈沖激勵持續(xù)作用、串行累計(jì)的結(jié)果，即后一個(gè)脈沖f(τ+Δτ)dτ在前一個(gè)脈沖f(τ)dτ產(chǎn)生的響應(yīng)基礎(chǔ)之上繼續(xù)作用產(chǎn)生下一個(gè)響應(yīng)，然后不斷累計(jì)直至得出t時(shí)刻的響應(yīng)。所謂并行疊加，正如Duhamel 積分的導(dǎo)出過程所見，是指將所有脈沖激勵都獨(dú)立看待，它們分別作用在零初值系統(tǒng)上，然后將各自響應(yīng)進(jìn)行疊加而得到系統(tǒng)的整體響應(yīng)。這兩種對脈沖激勵作用過程的理解和處理方式結(jié)果是否一致，其各自的理論依據(jù)是什么，現(xiàn)有振動力學(xué)教程沒有給出明確的說明。

第二個(gè)問題：Duhamel 積分是根據(jù)力學(xué)系統(tǒng)的物理意義構(gòu)造出來的，但一般說由物理分析所得到的數(shù)學(xué)公式最初只能認(rèn)為是一種猜想，必須要經(jīng)過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)驗(yàn)證才能予以確認(rèn)，尤其是這種將外激勵分解為無窮多個(gè)脈沖激勵的無窮分割問題，對其直接使用初等有限相加思想所得出的結(jié)論并不一定正確。如何進(jìn)一步嚴(yán)格證明Duhamel 積分的確就是系統(tǒng)方程的解，現(xiàn)有振動力學(xué)教程一般也不做這方面的論證。

針對上述兩個(gè)問題，本文對Duhamel 積分作更為深入的分析和討論。

1 脈沖激勵作用的兩種理解方式

若以串行累計(jì)方式理解脈沖激勵的作用，則在此過程中，除了在計(jì)算第一個(gè)脈沖響應(yīng)時(shí)系統(tǒng)具有零初值外，后續(xù)各個(gè)脈沖都是在前一脈沖激發(fā)的非零狀態(tài)之上發(fā)生作用，因此后續(xù)響應(yīng)的計(jì)算必須將非零初值的影響納入進(jìn)來?？梢韵胂?，這種累計(jì)計(jì)算過程應(yīng)該相當(dāng)復(fù)雜，但幸運(yùn)的是，線性系統(tǒng)具有一個(gè)非常好的性質(zhì)，即：線性系統(tǒng)脈沖激勵的非零初值響應(yīng)為自由系統(tǒng)非零初值響應(yīng)與脈沖激勵的零初值響應(yīng)之和[10]。這就可以使得整個(gè)響應(yīng)計(jì)算過程得到大大簡化。為此，以三個(gè)等間隔脈沖激勵為例進(jìn)行討論，如圖1 所示。

圖1 脈沖響應(yīng)串行累計(jì)示意圖

第一脈沖f(τ1)Δτ在t=τ1= 0 時(shí)激發(fā)出一個(gè)非零初值的自由振動x(t)=Δx1(t), t>τ1。該自由振動延續(xù)至t=τ2時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)為x(t) = Δx1(τ2)，以此為初始狀態(tài)作用第二脈沖f(τ2)Δτ，所產(chǎn)生的響應(yīng)可分為兩部分：一部分是初值為Δx1(τ2)的系統(tǒng)自由振動，實(shí)際上也就是第一脈沖在t=τ1=0 時(shí)刻激發(fā)的自由振動響應(yīng)的延續(xù)，即Δx1(t)；另一部分則是由第二脈沖單獨(dú)產(chǎn)生的零初值響應(yīng)增量Δx2(t)。因此，根據(jù)線性系統(tǒng)性質(zhì)，作用第二脈沖后系統(tǒng)的響應(yīng)為x(t) = Δx1(t) + Δx2(t), t>τ2。該自由振動延續(xù)至t=τ3時(shí)刻時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)為x(τ3) =Δx1(τ3) + Δx2(τ3)，以此為初始狀態(tài)作用第三脈沖f(τ3)Δτ時(shí)，系統(tǒng)的后續(xù)響應(yīng)類似地也為兩部分之和：一部分是初值為Δx1(τ3)+Δx2(τ3)的自由振動，實(shí)際上也就是前面兩次單獨(dú)的零初值脈沖響應(yīng)之和的延續(xù)，即Δx1(t)+Δx2(t)；另一部分則是第三脈沖單獨(dú)產(chǎn)生的零初值響應(yīng)增量Δx3(t)。因此，作用第三脈沖后系統(tǒng)的響應(yīng)為

令Δτ →0，并記為dτ，則式(5) 的極限形式即為Duhamel 積分。由以上分析可以看出，雖然在物理上各脈沖作用有先后順序，但對于線性系統(tǒng)來說，其各自產(chǎn)生的響應(yīng)增量實(shí)際上已經(jīng)解耦，互不干擾，從而脈沖激勵串行作用的物理過程最終轉(zhuǎn)化成了各自響應(yīng)增量的并行疊加計(jì)算過程。因此，以串行累計(jì)方式理解脈沖激勵的作用過程與Duhamel 積分所表示的并行疊加計(jì)算過程是一致的，或者說，Duhamel 積分的確正確反映了τ ∈[0, t] 內(nèi)各脈沖激勵持續(xù)作用、串行累計(jì)的物理過程。

綜上所述，無論以串行累計(jì)方式還是并行疊加的方式來理解脈沖激勵作用過程，其最終計(jì)算結(jié)果都?xì)w結(jié)為各脈沖零初值響應(yīng)增量的并行疊加。基于此，Duhamel 積分的計(jì)算過程可用一虛擬實(shí)驗(yàn)描述為：將外激勵在 [0, t] 內(nèi)分解成n個(gè)脈沖激勵f(τi)dτ，同時(shí)做出n個(gè)相同的零初值系統(tǒng)，建立統(tǒng)一的時(shí)間坐標(biāo)系，將脈沖f(τi)dτ在τi時(shí)刻(τi的時(shí)間屬性目前僅體現(xiàn)于此) 分別作用于各自系統(tǒng)上，記錄下各系統(tǒng)在t時(shí)刻的響應(yīng)，最后對各響應(yīng)值進(jìn)行代數(shù)疊加即可得到原系統(tǒng)在t時(shí)刻的響應(yīng)。由此過程也可看出，Duhamel 積分表達(dá)的是各τ時(shí)刻的脈沖激勵在t時(shí)刻產(chǎn)生的響應(yīng)的疊加，此時(shí)τ的時(shí)間先后屬性已經(jīng)非常淡化，因此更宜將其理解為區(qū)間[0, t] 內(nèi)的一個(gè)分布變量。

2 Duhamel 積分的數(shù)學(xué)驗(yàn)證

僅從求解數(shù)學(xué)方程的角度來看，獲得線性振動系統(tǒng)任意激勵響應(yīng)的Duhamel 積分公式并非難事，比如用拉普拉斯變換及其反變換即可得到該公式。20世紀(jì)90 年代國內(nèi)一些學(xué)者也曾注意到此問題，并嘗試采用各種嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法，如復(fù)數(shù)變換降階法[11]，常數(shù)變易法[12]，積分因子降階法[13]等導(dǎo)出了Duhamel 積分。從這個(gè)意義上說，Duhamel 積分的理論體系是完備的。但筆者在振動理論的教學(xué)實(shí)踐中感覺到，上述諸方法在論證的直觀性方面尚有不足，因此本文用最基本的微積分運(yùn)算給出一個(gè)直接的驗(yàn)證，以加深對Duhamel 積分的理論認(rèn)知。

3 結(jié)論

論文對Duhamel 積分所涉及的脈沖激勵作用過程進(jìn)行了深入的分析，論證了無論以串行累計(jì)方式還是并行疊加方式來理解脈沖激勵，其計(jì)算結(jié)果都?xì)w結(jié)為Duhamel 積分，揭示出Duhamel 積分的計(jì)算本質(zhì)是脈沖響應(yīng)的并行疊加。另外，論文用最簡單直接的微積分運(yùn)算對Duhamel 積分進(jìn)行了數(shù)學(xué)驗(yàn)證，嚴(yán)格證明了Duhamel 積分的確是系統(tǒng)的零初值響應(yīng)。本文結(jié)論應(yīng)能對全面深刻理解Duhamel 積分的物理意義及其理論基礎(chǔ)起到積極的作用。