李奎奎 趙建昌 王立安

(蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院，蘭州 730070)

地基在移動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)一直是巖土工程和交通工程領(lǐng)域的重點(diǎn)關(guān)注課題。隨著運(yùn)輸業(yè)的發(fā)展，車輛的行駛速度越來越快，載重也越來越大，在此背景下研究地基土在移動(dòng)荷載作用下動(dòng)力響應(yīng)問題對(duì)于道路結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和環(huán)境振動(dòng)影響分析都具有重要意義。地基土體是一種具有多相組成和骨架孔隙結(jié)構(gòu)的復(fù)雜介質(zhì)，在動(dòng)力作用下由于土體內(nèi)部存在多場(chǎng)耦合效應(yīng)，使其動(dòng)力響應(yīng)分析變得非常復(fù)雜。將地基土體視為固體骨架和孔隙水組成的兩相飽和介質(zhì)，利用Biot 多孔介質(zhì)波動(dòng)理論進(jìn)行動(dòng)力響應(yīng)分析已經(jīng)相當(dāng)成熟[1-4]。徐斌等[5]根據(jù)Biot 波動(dòng)理論，采用傳遞、反射矩陣方法研究了移動(dòng)荷載作用下層狀飽和土動(dòng)力響應(yīng)問題。王立安等[6]對(duì)非均勻飽和地基的動(dòng)力特性做了研究。徐長(zhǎng)節(jié)等[7]和周鳳璽等[8]基于Vardoulakis 等[9]的理論研究了非飽和土中波的傳播規(guī)律。李紹毅[10]采用半解析法研究了移動(dòng)荷載作用下多層非飽和鐵路地基的共振問題，分析了土體飽和度對(duì)非飽和地基振動(dòng)的影響。Lu等[11]研究了矩形移動(dòng)荷載作用下非飽和地基的動(dòng)力響應(yīng)。Fang 等[12]研究了列車荷載作用下非飽和地基的振動(dòng)響應(yīng)。Song 等[13]對(duì)埋置荷載作用下的非飽和地基動(dòng)力響應(yīng)問題做了研究。

上述關(guān)于非飽和地基的動(dòng)力響應(yīng)研究中，學(xué)者們都將地基考慮為單層非飽和介質(zhì)，而實(shí)際自然界中的地基由于地下水的存在，地基底部土體往往是完全飽和的，只有頂部一定深度范圍內(nèi)受到環(huán)境氣候的影響表現(xiàn)為非飽和狀態(tài)。因此，對(duì)地基進(jìn)行更精確的理論分析時(shí)，應(yīng)將地基考慮為由下層飽和土和上層非飽和土層疊而成的半空間。

基于以上分析，文中將地基考慮為飽和土和非飽和土層疊而成的半空間模型，利用三重Fourier 變換和降階法對(duì)飽和土和非飽和土的控制方程進(jìn)行耦合求解，推導(dǎo)出地基在矩形移動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)解。通過算例分析，對(duì)模型驗(yàn)證計(jì)算并給出了地表位移峰值沿上層非飽和土體飽和度和土層厚度的變化規(guī)律曲線，同時(shí)也給出了矩形移動(dòng)荷載作用下地表(z= 0) 豎向位移的空間分布及豎向振動(dòng)峰值與速度的關(guān)系曲線。

1 問題模型

如圖1 所示，由非飽和土和飽和土層疊而成的半空間表面作用一矩形移動(dòng)荷載Q，荷載移動(dòng)速度為c，荷載分布長(zhǎng)、寬分別為2a和2b。上層非飽和土厚度為H，下層飽和土為無限厚度。圖中，λ?,μ?為飽和土對(duì)應(yīng)的Lamb 常數(shù)，其表達(dá)式分別為

圖1 計(jì)算模型Fig.1 Computational model

式中，ρs，ρw和ρa(bǔ)分別為非飽和土中固體、水和氣體的質(zhì)量密度。

2 非飽和土控制方程及求解

2.1 運(yùn)動(dòng)方程

根據(jù)混合物理論，考慮固-液-氣之間的慣性耦合及毛細(xì)管壓力，非飽和土的運(yùn)動(dòng)方程寫為[12-13]

式中，u為非飽和土體中固體骨架的位移矢量(ui，i=x，y，z)；w，v分別為孔隙中水相和氣相相對(duì)于固體骨架的相對(duì)位移矢量；θ為固體骨架的體應(yīng)變。“(·)”、“(··)” 表示對(duì)時(shí)間t的一、二階導(dǎo)數(shù)。pw，pa分別為孔隙水壓力和孔隙氣壓力；α為Biot 系數(shù)，α= 1-Ksf/Ks，其中Ksf和Ks是土骨架和土顆粒的體積模量，λ+ 2μ/3 =Ksf；χ為有效應(yīng)力參數(shù)，取值與有效飽和度Se相同，Se的表達(dá)式為：Se= (Sr-Sw0)/(1-Sw0)，其中Sw0為束縛水飽和度 (或殘余飽和度)；g為重力加速度。?和?2分別為Hamilton 算子和Laplace 算子，即：?=?/x+?/y+?/z，?2=?2/x2+?2/y2+?2/z2。對(duì)于非飽和土的總孔隙壓力p，有

2.2 本構(gòu)方程

根據(jù)有效應(yīng)力原理，非飽和土本構(gòu)關(guān)系寫為[13]

式中，σij(i,j=x,y,z)為總應(yīng)力，εij是應(yīng)變張量，δij為Kronecker 符號(hào)。

2.3 質(zhì)量守恒方程

式中，A11～A14,A21～A24見參考文獻(xiàn)[13]。

2.4 非飽和土控制方程求解

對(duì)于Hamilton 算子?，有如下散度計(jì)算式

式中，θw和θa分別為孔隙水和氣體的體應(yīng)變。

對(duì)空間坐標(biāo)x，y和時(shí)間坐標(biāo)t引入三重Fourier變換，其變換關(guān)系為

利用式(10) 對(duì)式(2)～式(9) 進(jìn)行三重Fourier變換和算子運(yùn)算，并通過降階法求解常微分方程組得到非飽和土的位移、孔壓及應(yīng)力通解，詳細(xì)解法參見文獻(xiàn)[11-12，14-15]。

式中，Θ為特征向量矩陣；±γ1，±γ2，...，±γ5為矩陣Θ對(duì)應(yīng)的特征根；D1～D10為積分常數(shù)，通過邊界條件確定。

3 飽和土控制方程及求解

3.1 飽和土控制方程

由Biot 波動(dòng)理論，飽和土動(dòng)力控制方程為[16]

(1) 運(yùn)動(dòng)方程

式中各參數(shù)定義參見文獻(xiàn)[16]，其中上標(biāo)“*” 表示飽和土對(duì)應(yīng)的物理量。

3.2 飽和土控制方程求解

采用與非飽和土相同的求解方法，同樣利用Fourier 變換和散度運(yùn)算求解飽和土控制方程，再采用降階法求解常微分方程組可得出飽和土的通解。此處，直接給出飽和土在變換域中的位移、孔隙壓力和應(yīng)力通解。

4 邊界問題

4.1 矩形移動(dòng)荷載的數(shù)學(xué)描述

對(duì)于半空間頂面作用的移動(dòng)矩形分布荷載Q，利用Heaviside 階躍函數(shù)將其寫為

式中，δ( ) 表示Dirac-delta 函數(shù)。

4.2 邊界條件

地表為透水、透氣邊界，則半空間表面(z= 0)處的邊界條件為

4.3 邊界方程求解

通過邊界條件和連續(xù)條件組成的14 個(gè)方程可確定出積分常數(shù)D1～D14。對(duì)式(20) 和式(21) 做三重Fourier 變換，再將飽和土和非飽和土的位移、應(yīng)力和孔壓的通解代入，并分別取z=0，z=H，得到關(guān)于D1～D14的線性方程組

至此，系統(tǒng)中所有參數(shù)均已確定。將D1～D14回代到式(11)、式(12) 和式(16)、式(17)，即可計(jì)算出非飽和土層和飽和土層中的位移、應(yīng)力和孔隙壓力。對(duì)計(jì)算結(jié)果做Fourier 逆變換，可得到時(shí)間-空間域中各場(chǎng)量的計(jì)算結(jié)果。

5 驗(yàn)證與分析

5.1 算法驗(yàn)證

對(duì)前文推導(dǎo)結(jié)果進(jìn)行編程計(jì)算，關(guān)于式(11)、式(12)和式(16)、式(17)的Fourier 逆變換可通過數(shù)值積分或離散Fourier 逆變換實(shí)現(xiàn)，本文中采用計(jì)算效率較高的離散Fourier 逆變換實(shí)現(xiàn)。引入移動(dòng)坐標(biāo)軸Xt，Xt=x-ct，使計(jì)算結(jié)果能以振源為中心分布。取上層非飽和土的飽和度Sr= 1，則半空間地基退化為單一飽和半空間，此時(shí)，有效應(yīng)力參數(shù)χ= 1。則上、下層土體的特性參數(shù)值相同，土體參數(shù)取值與文獻(xiàn)[16] 相同，按文獻(xiàn)[16] 給定計(jì)算參數(shù)進(jìn)行取值計(jì)算，其中主要參數(shù)的取值有：Lamb 常數(shù)μ取30 MPa，n取0.3；非飽和土中固體和水的質(zhì)量密度ρs和ρw的取值分別為2700 kg/m3和1000 kg/m3。圖2 為本文退化解與單層飽和半空間模型[16] 的結(jié)果對(duì)比，圖中顯示，退化解與文獻(xiàn)解能夠很好地吻合。(圖中ˉuz為無量綱豎向位移，ˉuz=uzμ?/(aq0)。)

圖2 退化計(jì)算及結(jié)果對(duì)比(q0 =60 kN/m2，a=2 m，b=1 m)Fig.2 Calculation of degradation and comparison of results(q0 =60 kN/m2，a=2 m，b=1 m)

5.2 算例分析

圖3 為移動(dòng)荷載作用下地表(z= 0) 豎向位移的空間分布。圖4 為地表位移峰值沿上層非飽和土體飽和度和土層厚度的變化規(guī)律曲線。圖4(a)顯示：當(dāng)非飽和土層飽和度小于0.15 時(shí)，地表位移峰值隨飽和度的增大而急速減小，當(dāng)非飽和土層飽和度大于0.15 時(shí)則隨之增大，當(dāng)非飽和土層飽和度接近0.9 時(shí)(趨于完全飽和) 則再次急速減小，曲線的拐點(diǎn)位置隨非飽和土層的厚度發(fā)生變化。圖4(b) 顯示：當(dāng)非飽和土層的厚度小于0.5 m 時(shí)，地表振動(dòng)位移發(fā)生劇烈波動(dòng)。當(dāng)非飽和土層的厚度大于0.5 m 時(shí)，隨著非飽和土層的厚度增大，地表位移也隨之增大。但當(dāng)非飽和土層達(dá)到一定厚度后，振動(dòng)位移將收斂于恒定值，該收斂值與單層非飽和地基的結(jié)果一致，說明地基完全體現(xiàn)為單層非飽和土地基，不再受下部飽和土層的影響，該臨界厚度與土體飽和度相關(guān)，還能看出當(dāng)?shù)鼗蠈油馏w為中度飽和時(shí)，層狀土對(duì)地表位移峰值的影響較小。

圖3 地表豎向位移空間分布(z =0)Fig.3 Spatial distribution of vertical ground displacement (z =0)

圖4 地表位移峰值沿上層非飽和土體飽和度和土層厚度的變化Fig.4 Variation of peak surface displacement along upper unsaturated soil saturation and soil thickness

6 結(jié)論

將地基考慮為飽和-非飽和土雙層半空間，利用Dirac-delta 函數(shù)和Heaviside 階躍函數(shù)將矩形移動(dòng)荷載描述為時(shí)間和空間坐標(biāo)的解析函數(shù)，采用三重Fourier 變換和降階法推導(dǎo)出矩形移動(dòng)荷載作用下飽和-非飽和土雙層地基中各場(chǎng)量的解析解。通過算例分析，總結(jié)出以下結(jié)論。

圖5 豎向振動(dòng)峰值與速度的關(guān)系曲線Fig.5 Curve of relationship between peak value of vertical vibration and velocity

(1)隨著上層非飽和土厚度的增大，地表振動(dòng)位移也隨之增大，層厚處于0～0.5 m 時(shí)，地表振動(dòng)位移發(fā)生劇烈波動(dòng)。

(2)地基上層土體為中度飽和時(shí)，層狀土的影響將減小。

(3)當(dāng)荷載移動(dòng)速度小于瑞利波速時(shí)，豎向振動(dòng)峰值很小，振幅隨速度的增大發(fā)生小幅增漲，但當(dāng)荷載速度達(dá)到瑞利波速時(shí)，豎向振動(dòng)發(fā)生激增；隨著速度進(jìn)一步增大，豎向位移多次出現(xiàn)峰點(diǎn)。

附錄