陳玉香, 陳勝垚, 冉龍瑤, 席 峰

(南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院, 江蘇 南京 210094)

0 引 言

動態(tài)超表面天線(dynamic metasurface antenna, DMA)是近年來基于超材料發(fā)展的一種新型陣列天線。與傳統(tǒng)微帶線饋電陣列天線相比,該天線將多個超材料陣元集成在一個天線上,并且共同使用一個波導(dǎo)作為饋源,使得天線結(jié)構(gòu)更加緊湊,縮小天線尺寸可以很好地滿足復(fù)雜系統(tǒng)和多任務(wù)的工作需求。得益于超材料對電磁波的特殊調(diào)控能力,與常規(guī)相控陣天線相比,DMA不需要移相器、放大器等組件,而是通過調(diào)控每個陣元的極化度來產(chǎn)生幅度和相位因子,從而控制波束,大大提高了傳統(tǒng)天線的性能指標(biāo),如提高輻射增益、改善阻抗帶寬等?；谝陨现T多優(yōu)點,DMA目前被廣泛應(yīng)用于近場計算成像、合成孔徑成像、衛(wèi)星通信、5G移動通信等諸多領(lǐng)域。

隨著新一代信息通信技術(shù)和雷達應(yīng)用的發(fā)展,毫米波頻段被用于緩解數(shù)據(jù)傳輸容量與頻譜短缺之間的矛盾。然而,與傳統(tǒng)頻段相比,毫米波信號在傳輸中散射更高、穿透損耗更大、衍射更低、路徑損耗更高,因此需要在特定角度形成波束,產(chǎn)生增益來彌補損耗。數(shù)字大規(guī)模陣列可以提供理想的波束形成權(quán)值,但是完全數(shù)字架構(gòu)要求為每根天線配備獨立的射頻(radio frequency, RF)鏈路,這導(dǎo)致系統(tǒng)的功耗和成本顯著增加。模擬-數(shù)字混合陣列結(jié)構(gòu)相對于全數(shù)字陣列結(jié)構(gòu)而言,波束形成性能有所下降,但是所需的RF鏈路數(shù)量遠小于天線個數(shù),顯著降低了系統(tǒng)的實現(xiàn)復(fù)雜度,目前已成為大規(guī)模多輸入多輸出(multiple input multiple output,MIMO)系統(tǒng)中的主流技術(shù)。模擬-數(shù)字混合波束成形(hybrid beamforming, HB)由低維度的基帶數(shù)字波束成形和高維度的RF模擬波束成形兩部分組成。在這種混合結(jié)構(gòu)中,每條RF鏈路可同時連接多根天線,其中每根天線的信號相位受到模擬相位偏移網(wǎng)絡(luò)控制,可以產(chǎn)生不同的相移,這相當(dāng)于對連接同一RF鏈路的多根天線進行了模擬波束成形處理。

目前,學(xué)者們在發(fā)射和接收端對模擬-數(shù)字HB技術(shù)均開展了諸多研究,本文主要關(guān)注發(fā)射端的HB。在大規(guī)模MIMO通信領(lǐng)域,發(fā)射波束成形通常稱為預(yù)編碼。文獻[9]研究混合預(yù)編碼對傳輸數(shù)據(jù)均方誤差的影響,提出了一種低復(fù)雜度的最小間隙迭代量化方法,將混合預(yù)編碼性能逼近于最優(yōu)全數(shù)字預(yù)編碼。文獻[10]研究毫米波MIMO通信中如何優(yōu)化混合預(yù)編碼以最大化頻譜效率,該文將混合預(yù)編碼轉(zhuǎn)化為矩陣分解問題,利用交替優(yōu)化方法分別求解模擬和數(shù)字預(yù)編碼子矩陣。文獻[11]研究DMA的收發(fā)模型和波束成形能力,以探討其在6G通信各場景中應(yīng)用的可能性。在毫米波MIMO雷達領(lǐng)域,文獻[12]研究發(fā)射HB和天線選擇聯(lián)合設(shè)計,利用softmax神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行天線選擇和波束成形權(quán)值優(yōu)化,使得合成的波束圖與期望波束圖誤差最小。在雙功能雷達-通信(dual functional radar communication, DFRC)系統(tǒng)領(lǐng)域,文獻[13]研究用于毫米波DFRC系統(tǒng)的發(fā)射HB方法,以便在多用戶通信和雷達多目標(biāo)檢測之間得到最優(yōu)的折中性能,該文提出了一種交替優(yōu)化方法,在給定發(fā)射功率的條件下,使得HB矩陣同時逼近于全數(shù)字最優(yōu)通信發(fā)射權(quán)值矩陣與最優(yōu)雷達發(fā)射權(quán)值矩陣。文獻[14]構(gòu)建了一種毫米波DFRC系統(tǒng)工作模式,并提出了基站在不同工作階段采用的發(fā)射與接收HB方法,對于發(fā)射HB,該文采用交替優(yōu)化技術(shù)設(shè)計模擬與數(shù)字權(quán)值矩陣,使得HB矩陣同時逼近于下鏈通信所需的迫零波束成形矩陣和雷達多目標(biāo)跟蹤所需的多波束成形矩陣。

應(yīng)當(dāng)指出,上述HB研究均是基于唯相混合陣列開展的,基于DMA陣列的研究工作較少。由DMA的特性可知,基于DMA陣列的HB可以進一步簡化系統(tǒng)結(jié)構(gòu),降低系統(tǒng)的復(fù)雜度。為此,本文開展了基于DMA陣列的發(fā)射HB研究。不同于唯相混合陣列中模擬權(quán)值僅相位可調(diào),DMA中模擬權(quán)值的幅度和相位均可調(diào),只是二者之間存在耦合,因此DMA可能會提供更多的自由度。本文首先根據(jù)DMA的特征建立DMA陣列發(fā)射HB模型,然后利用交替優(yōu)化思想提出一種基于交替方向乘子法(alternating direction multiplier method, ADMM)的模擬與數(shù)字權(quán)值聯(lián)合求解方法。該方法通過引入輔助變量簡化問題描述,然后通過交替優(yōu)化求解輔助變量、數(shù)字權(quán)值和模擬權(quán)值。其中,輔助變量可獲得閉式解,數(shù)字權(quán)值和模擬權(quán)值則利用ADMM分別進行求解。仿真結(jié)果證實了所提方法的有效性和DMA陣列在發(fā)射HB方面的性能優(yōu)勢。

1 問題模型

考慮由個一維DMA構(gòu)成的一維均勻線性陣列,其中每個超表面天線由集成在一個波導(dǎo)上的個超材料陣元組成,如圖1所示。在每個DMA上,超材料陣元是均勻線性排列的,陣元間距為;個DMA則以間距均勻線性排列,其中=。一般而言,可以將每個超材料陣元等效為一個點偶極子。為了簡便分析,通常假設(shè)超材料陣元之間是弱耦合的,即可以忽略波導(dǎo)內(nèi)陣元之間的耦合。

圖1 一維DMA組成的均勻線性陣列Fig.1 Uniform linear array composed of one-dimensional DMA

在一個DMA內(nèi),個超材料陣元在方向處形成的導(dǎo)向矢量為

()=[1,e-j( sin +),e-j( sin +)2,…,e-j( sin+)(-1)]∈×1

(1)

式中:=2π是自由空間的波數(shù);()=2πc是沿波導(dǎo)的導(dǎo)波衰減率,表示波導(dǎo)指數(shù),c表示光速。在中心頻率為的窄帶情況下,()近似為常數(shù)(),簡記為。組成陣列的個DMA在方向處的導(dǎo)向矢量為

()=[1,e-j sin ,e-j2 sin ,…,e-j(-1) sin ]∈×1

(2)

則整個DMA陣列的綜合導(dǎo)向矢量為

()=()?()∈×1

(3)

采用該DMA陣列進行發(fā)射波束成形,其等效模型如圖2所示。

圖2 一維DMA陣列發(fā)射波束成形等效模型Fig.2 Equivalent model of one-dimensional DMA array transmit beamforming

其中,三角形符號描述每個超材料陣元在方向處產(chǎn)生的相移,可根據(jù)式(3)確定。定義第個DMA上第個陣元的模擬權(quán)值為,,其中=1,2,…,,=1,2,…,,則所有個超材料陣元的模擬權(quán)值組成的向量為

=[,,…,1,,…,,1,,,2,…,,]∈×1

(4)

與常規(guī)相控陣采用移相器實現(xiàn)模擬權(quán)值不同,DMA通過控制PIN二極管的工作狀態(tài)來調(diào)控模擬權(quán)值。因此,DMA模擬權(quán)值的幅度和相位均是可調(diào)的,只是二者之間存在一定的約束關(guān)系,不是獨立可調(diào)的。典型的DMA模擬權(quán)值約束形式有:唯幅度約束、二值幅度約束和洛倫茲相位約束。本文主要研究洛倫茲相位約束的情況,即模擬權(quán)值需滿足|,-j2|=12(=1,2,…,;=1,2,…,)。定義第個DMA輸出端的數(shù)字權(quán)值為,其中=1,2,…,,則所有個DMA上數(shù)字權(quán)值組成的向量為

=[,,…,]∈×1

(5)

根據(jù)DMA陣列的結(jié)構(gòu),其等效混合發(fā)射權(quán)值向量為

(,)=(?)⊙∈×1

(6)

式中:=[1,1,…,1]∈×1。

在該模型下,遠場方向處的窄帶發(fā)射波束圖為

()=|()(,)|

(7)

需要設(shè)計混合權(quán)值向量(,),簡記為,使得()滿足指定的發(fā)射波束圖要求。將空間方位角[0°,180°]網(wǎng)格化,等間距劃分成個離散點。通過最小化期望波束圖和實際合成波束圖()之間的偏差,=1,2,…,,可將發(fā)射波束圖合成轉(zhuǎn)化為如下優(yōu)化問題:

(8)

式中:∈表示不同方位角上的預(yù)加權(quán)因子,用于旁瓣控制。

為了簡化描述,將問題表示為如下形式:

(9)

式中:

=[,,…,]∈×1

=[(),(),…,()]∈×

2 混合發(fā)射波束成形權(quán)值求解

問題是一個非凸優(yōu)化問題,且待求變量和之間存在耦合。為了有效求解該問題,本文將基于交替優(yōu)化的思想,提出一種基于ADMM的問題求解算法。算法的基本原理如下:首先通過引入輔助變量簡化問題描述;然后通過交替優(yōu)化求解和{,},其中可以獲得閉式表達式,和的求解則利用ADMM實現(xiàn)。下面對該方法做詳細闡述。

為了去除問題中目標(biāo)函數(shù)的取模運算||,引入一個輔助變量∈×1,表示期望波束形成的相位矢量。于是,問題變?yōu)?/p>

(10)

式中:=diag{}∈×。通過交替更新求解和{,},目標(biāo)函數(shù)可收斂到一個有限值。文獻[17-18]已經(jīng)證明了交替迭代求解的有效性。

當(dāng){,}固定,求解時,該子問題可表示為

(11)

顯然,在式(11)中,當(dāng)與中每個元素的相位均相同時,目標(biāo)函數(shù)可達到最小值。由于是一個實矩陣,可看作為相位因子向量,因此式(11)的最優(yōu)解為

∠()=∠()

(12)

當(dāng)固定,求解{,}時,該子問題可表示為

(13)

求解問題時存在模擬權(quán)值和數(shù)字權(quán)值耦合。通過解耦合,利用ADMM方法交替求解和,最終可得。

固定求解,混合發(fā)射權(quán)值向量的一種表示形式為

=⊙(?)=diag()(?)=

(14)

式中:

=diag(),=[0,0,…,0]∈×1。問題的子問題可以表示為

(15)

利用最小二乘求得

=()()

(16)

固定求解,混合發(fā)射權(quán)值向量另一種表示形式如下:

=(?)⊙=∈×1

(17)

式中:=diag(?)∈×。問題的子問題可以表示為

(18)

在式(18)中引入輔助變量,并令=,從而將約束與目標(biāo)函數(shù)中的變量分離。于是,式(18)轉(zhuǎn)換為如下的優(yōu)化問題:

(19)

定義增廣拉格朗日函數(shù)為

(20)

式中:∈×1是拉格朗日乘子或稱為對偶變量;>0是懲罰參數(shù)。

利用ADMM算法迭代求解、和的具體過程如下。

(1) 在已知((),())的情況下更新

(21)

令()=()-(),則問題可以變成個子問題,其中第個子問題如下:

(22)

(23)

(24)

最終求得

(25)

(2) 在已知((+1),())的情況下更新

(26)

對式(26)最小二乘,求得

(+1)=(2+ρ)×[2+((+1)+())]

(27)

(3) 更新對偶變量

(+1)=()+(+1)-(+1)

(28)

定義原始殘差(+1)=(+1)-(+1)和對偶殘差(+1)=((+1)-()),設(shè)定算法迭代停止的準(zhǔn)則為

(29)

式中:和是預(yù)設(shè)的殘差容限。

本文算法求解問題的算法流程如下。

已知常量和,初始變量,,,,懲罰參數(shù),收斂參數(shù)和,求解問題的解,,。

=1。

根據(jù)式(12)更新(+1)。

根據(jù)式(16)更新(+1)。

根據(jù)式(23)～式(25)更新(+1)。

根據(jù)式(27)更新(+1)。

根據(jù)式(28)更新(+1)。

根據(jù)式(6)更新(+1)。

設(shè)=+1。

3 仿真與分析

為了驗證本文所提方法的有效性,下面進行不同情況下的發(fā)射波束成形仿真實驗。為了更好展示DMA陣列的性能,將與全數(shù)字陣列、唯相混合陣列和文獻[20]模型進行比較。

對于全數(shù)字陣列,其發(fā)射波束成形可表示為無約束優(yōu)化問題如下:

(30)

對于唯相混合陣列,其模擬部分由相控陣實現(xiàn),發(fā)射波束成形可表示為約束優(yōu)化問題如下:

(31)

對于文獻[20]唯相陣列,其約束優(yōu)化問題為

(32)

3.1 單波束成形

假定在0°方向合成單個主瓣,期望的波束圖為

(33)

單波束成形結(jié)果如圖3所示?？梢钥闯?與期望的波束圖相比,DMA混合、唯相混合和全數(shù)字3種方法都可以在主瓣0°方向很好地合成期望的主瓣,文獻[20]的主瓣峰值低于期望主瓣峰值0.97 dB。從主瓣的局部放大圖可見,全數(shù)字陣列的主瓣峰值為35.73 dB,DMA陣列合成的主瓣峰值為35.62 dB,而唯相混合陣列合成的主瓣峰值為35.56 dB。全數(shù)字陣列、DMA陣列、唯相混合陣列和文獻[20]陣列的峰值旁瓣比(peak-to-sidelobe ratio, PSR)分別為18.24 dB、17.21 dB、15.46 dB和15.21 dB。全數(shù)字陣列由于具有更大的自由度,相比于兩種混合陣列而言具有明顯的性能優(yōu)勢。而本文提出的DMA陣列的主瓣峰值和PSR性能均優(yōu)于唯相混合陣列。文獻[20]模型在常規(guī)波束形成下能達到比較好的性能。

圖3 單波束成形Fig.3 Single beamforming

3.2 零陷成形

雷達系統(tǒng)通常需要在干擾方向上形成深零陷以實現(xiàn)干擾抑制。因此,接下來考慮零陷成形問題。假定在0°附近合成主波,在[-35°,-30°]方向上形成深零陷,則期望波束為

(34)

根據(jù)文獻[20],零陷區(qū)域的預(yù)加權(quán)設(shè)為=50,其余角度的預(yù)加權(quán)設(shè)為=1。

零陷成形結(jié)果如圖4所示,4種陣列結(jié)構(gòu)均可以在0°方向上形成深零陷。實現(xiàn)零陷成形需要消耗發(fā)射權(quán)值的自由度,不可避免會對主瓣成形的性能產(chǎn)生影響。根據(jù)局部放大圖可見,全數(shù)字陣列的主瓣基本與期望主瓣重合,峰值僅下降0.4 dB;DMA陣列的主瓣下降0.39 dB;唯相混合陣列的主瓣下降1.93 dB,文獻[20]的主瓣下降2.43 dB。在非零陷方向上,DMA陣列、唯相混合陣列和文獻[20]陣列的PSR分別為15.56 dB、13.98 dB和10.86 dB。DMA性能優(yōu)于后兩者。

圖4 零陷成形Fig.4 Null forming

3.3 多波束成形

多波束合成廣泛應(yīng)用于通信和雷達系統(tǒng)中,例如,基站需要發(fā)射多波束進行多用戶通信,雷達需要發(fā)射多波束來跟蹤位于不同方向上的多個目標(biāo)。因此,下面考慮多波束成形的情況。

假定在-30°和30°方向上合成兩個主瓣,期望的波束圖定義為

(35)

多波束成形結(jié)果如圖5所示,4種陣列均可以合成出期望的兩個主瓣。30°主瓣波束成形的局部放大如圖6所示,在30°方向附近,DMA陣列的主瓣峰值相比期望主瓣峰值下降了0.4 dB,PSR為17.58 dB;唯相混合陣列相對期望主瓣峰值下降了0.42 dB,PSR為14 dB;文獻[20]模型相對期望主瓣峰值下降了3.47 dB,PSR為13.7 dB。-30°主瓣波束成形的局部放大如圖7所示,在-30°附近,DMA陣列的主瓣峰值下降了0.44 dB,PSR為17.59 dB;唯相混合陣列的主瓣峰值下降了0.42 dB,PSR為13.87 dB;文獻[20]模型相對期望主瓣峰值下降了3.53 dB,PSR為13.71 dB?？梢钥闯?DMA陣列主瓣峰值衰減小且可以獲得較大的PSR。

圖5 多波束成形Fig.5 Multi-beamforming

圖6 30°主瓣區(qū)域局部放大圖Fig.6 Partial enlarged view of 30° main lobe area

圖7 -30°主瓣區(qū)域局部放大圖Fig.7 Partial enlarged view of -30° main lobe area

4 結(jié) 論

本文利用DMA構(gòu)建了一種新型模擬-數(shù)字混合陣列結(jié)構(gòu),并研究了基于DMA陣列的模擬-數(shù)字混合發(fā)射波束成形技術(shù)。不同于唯相混合陣列,DMA陣列的模擬波束成形由DMA直接實現(xiàn),有利于簡化大規(guī)模MIMO系統(tǒng)和大規(guī)模天線DFRC系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。本文基于DMA的特征,將DMA陣列混合發(fā)射波束成形建模為一個非凸約束優(yōu)化問題,并利用交替優(yōu)化對問題模型進行分解和簡化,提出了一種基于ADMM的模擬與數(shù)字權(quán)值聯(lián)合優(yōu)化方法。該方法也可用于唯相混合陣列等其他混合陣列結(jié)構(gòu)。試驗結(jié)果表明,DMA陣列在單波束成形、零陷成形和多波束成形方面的性能均優(yōu)于唯相混合陣列和恒模約束的唯相陣列,是一種有效的混合陣列結(jié)構(gòu)。在未來研究中,將進一步開展DMA陣列接收波束成形和發(fā)射-接收聯(lián)合波束成形方面的工作。