趙建策　李晨曦　齊景江　王耀浥　王珩　李文博

摘 要：為了研究在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)過程中珠子的動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，本文通過珠子的拉格朗日學(xué)方程，建立了珠子的一般運(yùn)動(dòng)學(xué)方程?；谥樽拥倪\(yùn)動(dòng)學(xué)方程提出了修正摩擦力并從能量角度出發(fā)分析了珠子的角速度隨角度的變化情況，同時(shí)分析了不同摩擦系數(shù)條件下珠子角速度與平衡位置的變化。本試驗(yàn)設(shè)計(jì)了一套能夠滿足要求的裝置，結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論公式分析了二者的符合程度。結(jié)論表明：通過多組試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合，珠子的運(yùn)動(dòng)平衡情況基本與理論一致，珠子的角速度運(yùn)動(dòng)方程與試驗(yàn)數(shù)據(jù)基本吻合。摩擦系數(shù)的改變能夠在較小范圍內(nèi)引起角速度數(shù)值的變化，而珠子的平衡位置與摩擦系數(shù)的大小基本無關(guān)。

關(guān)鍵詞：多體動(dòng)力學(xué);定軸轉(zhuǎn)動(dòng);拉格朗日方程

中圖分類號(hào)：O41 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-5168（2022）1-0033-04

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2022.01.007

Study on Multi-Body Dynamics of Beads Based on Fixed Axis Rotation

ZHAO Jianze1 LI Chenxi2 QI Jingjiang1 WANG Yaoyi1 WANG Heng1 LI Wenbo1

（1. Shenyang University of Aeronautics and Astronautics， Shenyang 110136，China; 2. Beijing Normal University， Beijing 100875，China）

Abstract： In order to study the kinetic motion of the bead during the rotation of the fixed axis， the general kinematic equations of the bead are established by the Lagrangian equations of the bead. A modified friction force is proposed based on the kinematic equation of the bead and the variation of the angular velocity of the bead with the angle is analyzed from the energy point of view. The variation of the angular velocity of the bead with the equilibrium position under different conditions of friction coefficient is also analyzed. The experiment is designed to meet the requirements of a set of devices， combined with the experimental data and theoretical equations to analyze the degree of compliance between the two. The conclusion shows that the equilibrium of the beads' motion is basically consistent with the theory through the fitting of several sets of experimental data， and the equation of motion of the angular velocity of the beads is basically consistent with the experimental data. The change of friction coefficient can change the value of angular velocity in a small range， and the equilibrium position of the beads is independent of the friction coefficient.

Keywords： multi-body dynamics; fixed-axis rotation; lagrangian equation

0 引言

多體動(dòng)力學(xué)是力學(xué)問題的一個(gè)重要分支。在各個(gè)領(lǐng)域都有較為深入的研究。近年來，人們對(duì)于多體運(yùn)動(dòng)學(xué)的研究更為深入。其中在多體運(yùn)動(dòng)學(xué)領(lǐng)域?qū)τ凇爸樽觿?dòng)力學(xué)”的研究引發(fā)專家關(guān)注。“珠子動(dòng)力學(xué)”的工作原理為：將一珠子放入圓槽中，圓槽以恒定的角速度運(yùn)轉(zhuǎn)。珠子通過與圓槽之間相互作用，從而沿著圓槽弧線向上/向下運(yùn)動(dòng)。Shovan Dutta[1]通過應(yīng)用泰勒公式展開對(duì)珠子運(yùn)動(dòng)學(xué)模型進(jìn)行分析。Ryn Seng，Michael Meeks[2]以理論力學(xué)角度深入分析了珠子的整個(gè)受力情況，進(jìn)而給出了珠子運(yùn)動(dòng)模型的解釋。Lisandro A Raviola， Maximiliano E Véliz[3]設(shè)計(jì)了一個(gè)可以合理測量珠子運(yùn)動(dòng)高度的裝置，并合理分析了凹槽輪廓對(duì)于珠子的滾動(dòng)約束影響并比較了角速度的差值。

首先建立了珠子的拉格朗日方程并得到珠子的穩(wěn)定曲線，然后基于能量學(xué)方程建立了珠子的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，并提出了摩擦力修正項(xiàng)。研究在不同摩擦系數(shù)條情況下珠子的運(yùn)動(dòng)平衡情況變化。同時(shí)設(shè)計(jì)一套試驗(yàn)裝置，分析了試驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論的貼合程度，進(jìn)而驗(yàn)證結(jié)論。

1 理論模型

1.1 珠子平衡模型

將一個(gè)質(zhì)量為m、直徑為d的小球放入半徑為R的圓環(huán)內(nèi)，圓環(huán)可以繞豎直軸以一定角速度ω旋轉(zhuǎn)（見圖1）。由于小球受到圓環(huán)的作用從而產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中的任意時(shí)刻，小球的高度距離底面高度為h，夾角為θ，則在上升過程中，珠子的動(dòng)能Ek與勢能Ep公式為

因此，拉格朗日方程表達(dá)式為

由拉格朗日定義可知，

無摩擦條件下珠子的運(yùn)動(dòng)的一般方程為

由于實(shí)際過程中存在不可避免的摩擦力影響，加入摩擦力修正項(xiàng)[μθm]，

求解最終解得，

應(yīng)用MATLAB繪制珠子平衡位置的理論圖像如圖2所示。

1.2 珠子角速度運(yùn)動(dòng)模型

在實(shí)際過程中，珠子自身的滾動(dòng)動(dòng)能部分由于較小，基本可以忽略不計(jì)。為了更好描述模型，珠子的整體受力情況[4]示意圖如圖3所示。

依據(jù)珠子的受力模型，珠子在上升的運(yùn)動(dòng)過程中，計(jì)算珠子做功的表達(dá)式為

式中：ω1為小球角速度，F(xiàn)1為離心力，F(xiàn)f為滑動(dòng)摩擦，r為珠子的半徑。其中，離心力F1與摩擦力Ff表達(dá)式為

將圓環(huán)與珠子作為一個(gè)系統(tǒng)，根據(jù)點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)，珠子的絕對(duì)速度等于相對(duì)速度加上牽連速度矢量和。

va是絕對(duì)速度，也是鋼球相對(duì)于靜參考系運(yùn)動(dòng)的速度，其大小和方向都未知;ve是牽連速度，是圓環(huán)上與鋼球重合的那一點(diǎn)相對(duì)于靜參考系的運(yùn)動(dòng)速度;vr是牽連速度是珠子瞬時(shí)動(dòng)系上與動(dòng)點(diǎn)相重合之點(diǎn)的速度。牽連速度ve與相對(duì)速度vr表達(dá)式為

將（10）式代入（9）式矢量加和最終可得絕對(duì)速度的公式為

代入（7）式最終求得小球角速度的表達(dá)式為：

理論曲線為在圓環(huán)角速度為3.0 r/s條件下進(jìn)行，曲線中珠子的角速度先隨著角度增加而增大，然后隨著角度增加角速度減小。在垂線處為珠子的平衡位置點(diǎn)。理論曲線基本驗(yàn)證了珠子角速度與珠子上升高度關(guān)系，同時(shí)在角速度與角度的圖像上能夠找到珠子的運(yùn)動(dòng)平衡點(diǎn)。由于平衡情況，珠子是相對(duì)圓環(huán)靜止的，珠子相對(duì)于圓環(huán)速度為0。珠子的相對(duì)速度等效珠子的角速度。因此，珠子角速度為0的點(diǎn)即珠子運(yùn)動(dòng)平衡位置。圖4進(jìn)一步解釋公式（1）忽略珠子角速度動(dòng)能的原因，由于珠子的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能遠(yuǎn)小于珠子的動(dòng)能，因而可以忽略。公式（12）（13）為珠子的角速度運(yùn)動(dòng)學(xué)模型理論，珠子的角速度變化與摩擦力、轉(zhuǎn)過角度以及環(huán)半徑有關(guān)。

本節(jié)內(nèi)容主要建立珠子的平衡方程以及珠子的角速度運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并通過MATLAB軟件繪制圖像分析珠子的運(yùn)動(dòng)情況。

2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)與操作

2.1 試驗(yàn)儀器設(shè)計(jì)

將質(zhì)量約為10 g的小球放入圓槽半徑為250 mm的圓環(huán)，通過步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)。步進(jìn)電機(jī)由伺服控制器控制，角速度由步進(jìn)電機(jī)調(diào)速器調(diào)整[6～8]。試驗(yàn)設(shè)備具體如圖5所示。

為了滿足試驗(yàn)過程的參數(shù)需要，針對(duì)需要物理量如數(shù)值、材質(zhì)等進(jìn)行相關(guān)參數(shù)說明，如表1、表2所示。

將珠子放在一定高度無初速度釋放，通過攝像頭拍攝視頻，幀率為35幀。測量珠子與軌道之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)，測量過程中無外界干擾保證滑動(dòng)摩擦系數(shù)測量過程中的穩(wěn)定性與準(zhǔn)確性。摩擦系數(shù)測量結(jié)果如圖6所示。

阻尼正弦波（Damped Sine Wave）是振幅會(huì)隨時(shí)間增長而趨向零的正弦波函數(shù)。珠子由一定高度自由釋放隨時(shí)間變化，最終振幅趨于0符合阻尼正弦波。因此，擬合應(yīng)用阻尼正弦波計(jì)算珠子的阻尼系數(shù)。珠子最終摩擦系數(shù)為0.08～0.30。

至此，為了實(shí)現(xiàn)研究的目標(biāo)，珠子相關(guān)參數(shù)與物理量基本設(shè)計(jì)完成。

2.2 試驗(yàn)測量

在文獻(xiàn)[1]中為了測量珠子的平衡高度，通過攝像頭拍攝試驗(yàn)視頻，幀數(shù)為30。但針對(duì)于文獻(xiàn)[1]攝像頭在上方，采取俯視圖讀數(shù)不利于角度的讀取，在讀數(shù)上誤差較大。本試驗(yàn)設(shè)計(jì)思路與文獻(xiàn)[3]類似，采取正視圖讀取數(shù)據(jù)，這樣能夠避免人為讀數(shù)誤差，且更加直觀。進(jìn)行多次試驗(yàn)減小誤差并應(yīng)用tracker軟件對(duì)試驗(yàn)視頻進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。通過tracker軟件對(duì)試驗(yàn)過程中珠子進(jìn)行定標(biāo)處理。

通過多組試驗(yàn)進(jìn)行平衡數(shù)據(jù)采集，同時(shí)試驗(yàn)過程排除外界因素干擾。理論曲線與實(shí)際曲線變化趨勢基本符合（見圖7），但在一定程度上減小了誤差。試驗(yàn)過程中由于受拍攝視頻幀數(shù)的誤差影響，模型較為精確，基本驗(yàn)證了公式（5）（6）。

通過公式（12）（13）改變摩擦系數(shù)研究對(duì)于珠子的角速度、珠子平衡位置的影響，如圖8所示。結(jié)果表明，對(duì)于珠子的角速度產(chǎn)生了較小的變化，且對(duì)于珠子的平衡位置幾乎沒有影響。

3 結(jié)論

研究定軸轉(zhuǎn)動(dòng)過程中珠子的動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，建立了珠子的平衡方程以及角速度方程。同時(shí)，對(duì)于平衡方程提出了摩擦力修正項(xiàng)。從珠子的拉格朗日學(xué)方程分析了珠子的平衡變化趨勢。應(yīng)用阻尼正弦波擬合計(jì)算無初速度在一定高度釋放的摩擦系數(shù)?；谀芰糠匠谭治隽酥樽咏撬俣鹊淖兓?。結(jié)合多組試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析，珠子的運(yùn)動(dòng)平衡情況基本與理論一致，珠子的角速度運(yùn)動(dòng)方程與試驗(yàn)數(shù)據(jù)基本吻合。同時(shí)，分析了不同摩擦系數(shù)與平衡位置的關(guān)系，摩擦系數(shù)的改變能夠在較小范圍內(nèi)改變角速度的數(shù)值，珠子的平衡位置與摩擦系數(shù)無關(guān)。

參考文獻(xiàn)：

[1] DUTTA S，RAY S. Bead on a rotating circular hoop： a simple yet feature-rich dynamical system[J]. physics， 2011.

[2] SENG R，MEEKS M. A Bead on a Rotating hoop.ResearchGate：Find and share research[Z].2008.

[3]LISANDRO A R， MAXIMILIANO E V，HORACIO D S. The bead on a rotating hoop revisited： an unexpected resonance[J].IOPscience， 2017.

[4] 哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)（I）[M].8版.北京：高等教育出版社，2016.

[5] 王燕玲.多體動(dòng)力學(xué)在機(jī)械工程領(lǐng)域的應(yīng)用[J].江西電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)，2021，34（1）：12-14.

[6] 李華柏，謝永超，胡揚(yáng).雙饋風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)中變槳距線性自抗擾控制系統(tǒng)研究[J].河南科學(xué)，2021，39（2）：190-195.

[7] 溫國偉.多體運(yùn)動(dòng)學(xué)在機(jī)械工程領(lǐng)域的應(yīng)用分析[J].科技視界，2017（13）：89.

[8] 李道力，于珈懿，高粼澤，等.多體動(dòng)力學(xué)在機(jī)械工程領(lǐng)域的應(yīng)用[J].湖北農(nóng)機(jī)化，2019（12）：33.

收稿日期：2021-11-05

基金項(xiàng)目：國家自然基金項(xiàng)目“基于消除光柵衰減的高性能光致聚合全息存儲(chǔ)材料研究”（No.11604223）;遼寧省教育廳科研項(xiàng)目“適于體全息存儲(chǔ)的新型光致聚合物材料研制及其光動(dòng)力學(xué)研究”（No.JYT19047）;遼寧省自然科學(xué)基金項(xiàng)目“高性能光致聚合信息存儲(chǔ)材料應(yīng)用研究”（No.2019-ZD-0222）;國家級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目“基于Ansys有限元分析無人機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與分析”（No.202110143007）。

作者簡介：趙建策（2002—），男，本科生，研究方向：飛行器設(shè)計(jì)。

通信作者：王珩（1982—），男，博士，副教授，研究方向：材料。

3226500338272