趙冬梅， 鄧建偉， 孫 直， 梅 躍

(大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連 116024)

1 引 言

非均質(zhì)材料的反演已經(jīng)在很多領(lǐng)域有重要應(yīng)用。如在臨床醫(yī)學(xué)領(lǐng)域[1]，可實(shí)現(xiàn)腫塊的診斷以及治療，因?yàn)槟[塊通常比周圍的生物組織更硬，所以通過對生物組織的材料參數(shù)反演，可對腫塊定性表征。在生物力學(xué)領(lǐng)域中，細(xì)胞內(nèi)部的不均勻材料分布能直接反映細(xì)胞的力學(xué)行為，而細(xì)胞的力學(xué)行為對于細(xì)胞的分化與遷移有著重要的影響[2]。

目前求解反問題的方法主要有兩種，一是基于優(yōu)化的有限元更新法[4,5]，通過全場測量技術(shù)獲得在某種載荷情況下的測量位移場，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)設(shè)置初始假設(shè)的材料力學(xué)參數(shù)值，利用有限元法模擬獲得模擬測量位移場，優(yōu)化離散有限元模型中每一結(jié)點(diǎn)的力學(xué)參數(shù)，并不斷迭代，直到含有全場測量位移的目標(biāo)函數(shù)最小化。二是虛場法[4,6]，利用全場測量技術(shù)獲得結(jié)構(gòu)的變形信息，將人為構(gòu)造滿足運(yùn)動(dòng)許可的虛場和測量位移場代入虛功方程，對反問題進(jìn)行求解，不需要迭代，求解十分迅速。這兩種方法可用于多種本構(gòu)，不僅可以反演線性材料參數(shù)，也可以反演非線性、超彈性[7]和各向異性材料參數(shù)?，F(xiàn)在可通過全場位移反演出正交各向異性獨(dú)立的四個(gè)材料參數(shù)[7-10]。

上述兩種方法都需要獲取結(jié)構(gòu)的變形信息，因此實(shí)際測量位移的精度會(huì)影響反問題的求解精度，實(shí)際測量位移的誤差越大，反問題的求解難度也隨之加大。全場測量技術(shù)的高速發(fā)展[11-13]為精確測量位移值提供了技術(shù)支持，從而提高了反問題求解結(jié)果的精度。上述方法依賴精確的全場測量位移，但全場位移較難獲取且結(jié)構(gòu)內(nèi)部的位移測量精度低。因此，本文提出基于邊界位移的反演方法求解反問題[14,15]，此方法僅利用結(jié)構(gòu)表面位移信息，就能夠重建結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)分布。相對于測量全場位移，邊界位移的測量精度高且測量方式豐富。

2 研究方法

2.1 有限元更新法

本文采用的主要研究方法是基于邊界位移的有限元更新法。該反演算法的主要思想是將反問題轉(zhuǎn)化為帶有約束的優(yōu)化問題來進(jìn)行求解。其優(yōu)化列式為

(1)

給定n組測量邊界位移數(shù)據(jù)場，使目標(biāo)函數(shù)最小化，求解得到剪切模量的分布。

本文采用幾種不同的優(yōu)化方法對其目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解，一是結(jié)點(diǎn)優(yōu)化，即對離散模型的每一結(jié)點(diǎn)的材料參數(shù)都進(jìn)行優(yōu)化；二是厚度方向上優(yōu)化，即已知在軸向上的材料均勻分布，優(yōu)化厚度方向上的材料參數(shù)；三是已知各層材料厚度后，優(yōu)化各層的材料參數(shù)。本文研究方法流程如圖1所示。

2.2 伴隨法

本文利用基于梯度的Limited-BFGS Method(Limited Broyden-Fletcher -Goldfarb -Shanno Method)求解約束優(yōu)化問題[16]?；谔荻鹊膬?yōu)化方法在每次迭代過程中都需要目標(biāo)函數(shù)的值及目標(biāo)函數(shù)關(guān)于未知材料參數(shù)的梯度。對于離散問題域，必須在每個(gè)結(jié)點(diǎn)處計(jì)算出目標(biāo)函數(shù)的梯度。

圖1 反演算法流程

將式(1)簡寫為

(2)

式中Reg(βm)為總變差遞減正則化(TVD)，βm為未知材料參數(shù)。求目標(biāo)函數(shù)對每一個(gè)未知材料參數(shù)的梯度,

(3)

(4)

式中K，U和F分別為整體剛度矩陣、位移矢量以及外力。直接求解目標(biāo)函數(shù)對材料參數(shù)的梯度需要對每一結(jié)點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)都進(jìn)行梯度求解，需求解大量的正問題，計(jì)算量非常大。因此，本文采用伴隨方法高效求解目標(biāo)函數(shù)的梯度。將式(4)代入式(3)得

(5)

(6)

由式(6)可得，伴隨法只需要在每次迭代時(shí)求解兩次正問題，即可得到目標(biāo)函數(shù)的梯度，計(jì)算效率顯著提高。

3 算例分析

以復(fù)合材料層合板為研究對象，選用雙層板作為分析對象，并假設(shè)每一層材料為均勻材料，且結(jié)構(gòu)為可壓縮材料，處于平面應(yīng)變狀態(tài)情況下。圖2為該結(jié)構(gòu)模型，在兩層交界面上，材料是光滑過度，上層材料的剪切模量為6 MPa，下層材料的剪切模量為1 MPa，泊松比均為0.3。該模型在水平方向有81個(gè)結(jié)點(diǎn)，豎直方向上有41個(gè)結(jié)點(diǎn)，總共采用6400個(gè)線性三角形單元。

圖2 目標(biāo)剪切模量分布及施加載荷位置

圖2分別采用了5個(gè)、10個(gè)和15個(gè)不同的邊界位移組；圖中SM為剪切模量，單位為MPa。本文通過有限元法求解正問題獲取模擬的測量位移數(shù)據(jù)。在求解正問題時(shí)，模型底部左端為固定鉸支，右端為可移動(dòng)鉸支；在模型頂部施加力載荷，一個(gè)箭頭代表一個(gè)工況，即求解一次正問題可獲取一組邊界位移場。

考慮在實(shí)際情況下，測量位移不可避免地存在噪聲。為了更好地模擬實(shí)際情況，在本文求解正問題所得的位移場數(shù)據(jù)中分別加入0.1%，1%以及5%的高斯白噪聲，噪聲水平的定義為

(7)

本文分別利用5組、10組和15組邊界位移場進(jìn)行反問題求解。圖3是對每一結(jié)點(diǎn)優(yōu)化，非均質(zhì)剪切模量分布的重建結(jié)果。圖4顯示在已知軸向上的材料均勻分布，在厚度方向上優(yōu)化反演的剪切模量分布。圖5是已知材料厚度后，材料剪切模量的重建結(jié)果。圖3～圖5中，第1行～第4行分別為無噪聲、0.1%，1%和5%噪聲水平的重建結(jié)果。

利用式(8)定義剪切模量的相對誤差為

(8)

表1～表3分別為圖3～圖5的誤差分析。

表1 結(jié)點(diǎn)優(yōu)化的重建剪切模量相對誤差 (單位：%)

從圖3和表1可以看出，在同一位移場下，隨著噪聲水平的增加，反演的剪切模量值遠(yuǎn)離目標(biāo)剪切模量分布，反演的分層界面處也越來越不光滑。在沒有噪聲的情況下，隨著位移場數(shù)的增加，反演剪切模量值與目標(biāo)值相差不大，材料交界處趨于目標(biāo)分布。在5%噪聲水平情況下，5組位移場下反演結(jié)果分層并不明顯，10組和15組位移場下的反演結(jié)果分層情況更為明顯，但整體的反演剪切模量值都偏大，這可能是噪聲過大造成的。

圖3 結(jié)點(diǎn)優(yōu)化的剪切模量重建結(jié)果

圖4中，在無噪聲和0.1%噪聲水平情況下，整體來看，分層情況與目標(biāo)分層非常接近，反演剪切模量值也比較接近目標(biāo)的剪切模量分布。在1%和5%噪聲水平情況下，反演結(jié)果的層數(shù)可得到是兩層，但每層材料的厚度反演結(jié)果惡化。從表2誤差分析可以看出，厚度方向上優(yōu)化較結(jié)點(diǎn)優(yōu)化誤差值明顯降低。

圖4 厚度方向上優(yōu)化的剪切模量重建結(jié)果

表2 厚度方向上優(yōu)化的重建剪切模量相對誤差 (單位：%)

圖5中，在1%和5%噪聲水平情況下，反演剪切模量的最大值與目標(biāo)值有微小差異。但在所有噪聲水平情況下，整體來看分層情況與目標(biāo)分層非常接近，反演剪切模量值也比較接近目標(biāo)的剪切模量分布。由表3可知，所有噪聲水平下的誤差明顯降低很多。

從圖3～圖5可以看出，反演結(jié)果均出現(xiàn)了分層現(xiàn)象，圖3的分層不如圖4和圖5明顯；并且在 圖3 左右兩端邊界位置反演的分層情況較差，反演的剪切模量值也存在較大誤差；圖5的反演結(jié)果分層情況是最接近目標(biāo)分布的。在已知材料厚度的情況下，反演的剪切模量值和分層情況最為精確。在同一噪聲水平下，隨著位移場數(shù)的增加，重建的剪切模量值愈接近目標(biāo)值；隨著噪聲水平的增大，反演結(jié)果中的材料界面分層處變得越來越不光滑，重建的剪切模量值遠(yuǎn)離目標(biāo)值。

圖5 已知各層材料厚度的剪切模量重建結(jié)果

表3 已知各層材料厚度的重建剪切模量相對誤差 (單位：%)

4 結(jié) 論

首先，本文僅利用邊界位移場即可較為精確地反演復(fù)合材料的非均質(zhì)材料參數(shù)分布，且隨著位移場數(shù)的增加，反演結(jié)果會(huì)越來越接近目標(biāo)值。其次，在分析的三種情況下，結(jié)點(diǎn)優(yōu)化的誤差整體最大；已知材料各層厚度的優(yōu)化方法誤差最小。綜上，本文方法可以在結(jié)構(gòu)全場位移難以測得時(shí)為復(fù)合層合板材料參數(shù)識別提供新的參考方法。

基于復(fù)合材料的力學(xué)參數(shù)識別，可進(jìn)一步對其進(jìn)行損傷識別及結(jié)構(gòu)安全性評價(jià)。本文的研究結(jié)果對復(fù)合材料的無損檢測以及損傷識別提供了新的思路。未來將通過實(shí)驗(yàn)測得的邊界位移場數(shù)據(jù)對算法進(jìn)一步測試。