劉順蘭 王 燕

(杭州電子科技大學(xué)電子信息學(xué)院 杭州 310018)

1 引 言

極化碼于2009年由Arikan[1]首次提出，是唯一可以理論上證明可達(dá)到任意二進(jìn)制離散無(wú)記憶對(duì)稱(chēng)信道容量的新型高效信道編碼技術(shù)，并且由于其較低的編、譯碼復(fù)雜度等優(yōu)勢(shì)，受到了廣泛的關(guān)注，因此，極化碼成為近年來(lái)最具吸引力的信道編碼之一[2-4]，成功入選5G標(biāo)準(zhǔn)，作為增強(qiáng)移動(dòng)寬帶場(chǎng)景中控制信道的編碼方案[5]。當(dāng)極化碼的長(zhǎng)度趨于無(wú)窮時(shí)，才能更好地達(dá)到信道容量，然而在中短碼長(zhǎng)時(shí)性能不佳。為了提高極化碼的糾錯(cuò)性能，先后提出了許多不同的譯碼方法。文獻(xiàn)[1]提出采用串行抵消(Successive Cancellation, SC)譯碼算法，由于SC譯碼算法是一種次優(yōu)的譯碼算法，在有限長(zhǎng)碼長(zhǎng)中性能有待提升，并且在譯碼時(shí)前面的信息位一旦判決出錯(cuò)，將會(huì)影響后面的譯碼結(jié)果，造成錯(cuò)誤傳播。為了解決這一問(wèn)題，文獻(xiàn)[6,7]提出了串行抵消列表(Successive Cancellation List, SCL)譯碼算法，該算法通過(guò)擴(kuò)張譯碼路徑，提高了譯碼結(jié)果的正確性，但增加了時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度，成為一套功能強(qiáng)大并在不斷改進(jìn)的一種算法[8]。文獻(xiàn)[9]引入循環(huán)冗余校驗(yàn)碼與極化碼級(jí)聯(lián)，提出CRC輔助SCL譯碼算法(Cyclic redundancy Check Aided SCL, CA-SCL)，有助于在SCL譯碼的列表中挑選出正確的譯碼結(jié)果。此后文獻(xiàn)[10]提出的奇偶校驗(yàn)碼級(jí)聯(lián)極化碼引入校驗(yàn)比特，在譯碼過(guò)程中能夠?qū)崟r(shí)校驗(yàn)譯碼路徑，即奇偶校驗(yàn)碼輔助SCL譯碼算法(Parity Check Aided Successive Cancellation List,PC-SCL)。這兩種譯碼算法雖然在性能上優(yōu)于SC譯碼和SCL譯碼，但是與SCL譯碼一樣，有著較大的復(fù)雜度。

根據(jù)極化碼極化原理可知，在碼長(zhǎng)趨于無(wú)窮時(shí)，一部分信道的信道容量趨于1，另一部分的信道容量趨于0，在信道容量趨于1的信道上傳輸信息比特，趨于0的信道上傳輸凍結(jié)比特，而對(duì)于有限碼長(zhǎng)，存在著未被完全極化的子信道，這些子信道的可靠性較低?；谏鲜龇治?，本文提出了一種基于奇偶校驗(yàn)碼級(jí)聯(lián)極化碼的低復(fù)雜度譯碼算法，即基于奇偶校驗(yàn)碼級(jí)聯(lián)極化碼的串行抵消局部列表算法(Parity Check aided Partial Successive Cancellation List, PC-PSCL)，對(duì)于可靠性較低的信息子信道進(jìn)行SCL譯碼，并加入奇偶校驗(yàn)比特輔助校驗(yàn)，其余可靠性較高的信息子信道僅采取SC譯碼算法，該算法降低了復(fù)雜度，并在性能上逼近PCSCL譯碼算法。

2 極化碼

極化碼的構(gòu)造是編碼中的一個(gè)重要步驟，根據(jù)極化碼的構(gòu)造可以進(jìn)行極化子信道的選擇。目前常用的子信道可靠性估計(jì)算法有：Arikan[1]首次提出極化碼時(shí)給出了一種只針對(duì)二進(jìn)制擦除信道的巴氏參數(shù)法；Mori等人[11]借鑒對(duì) LDPC碼的研究成果，提出了密度進(jìn)化法(Density Evolution, DE)；Trifonov[12]提出的適用于高斯信道的高斯近似法(Gaussian Approximation, GA)，目前已成為一種比較有效的度量方法；Schürch[13]揭示極化碼子信道間的偏用通序關(guān)系，華為提出了利用極化權(quán)重(Polarization Weight, PW)，并引入?yún)?shù)β擴(kuò)展，來(lái)計(jì)算AWGN信道下子信道可靠度的算法[14]。在構(gòu)造完成后，就可以根據(jù)極化碼極化原理將信息比特與凍結(jié)比特混合，即可靠性比較高的子信道傳輸信息比特，可靠性比較低的子信道傳輸凍結(jié)比特。

對(duì)于給定的碼長(zhǎng)N，極化碼的編碼方式為

SCL 譯碼算法通過(guò)對(duì)信息位進(jìn)行路徑擴(kuò)展，相對(duì)于 SC 譯碼算法提高了譯碼的可靠性，PC-SCL譯碼算法在SCL譯碼算法的基礎(chǔ)上添加了PC校驗(yàn)比特，輔助路徑篩選，進(jìn)一步提高了譯碼算法的性能，但與SCL譯碼算法一樣，L倍路徑的增加帶來(lái)了較大的復(fù)雜度。本文提出的PC-PSCL譯碼算法在保持與PC-SCL譯碼算法相近性能的情況下，復(fù)雜度有了較大的下降，如下文所述。

3 PC-PSCL譯碼算法

3.1 理論分析

圖1 PC-Polar級(jí)聯(lián)方案

3.2 外碼構(gòu)造

本文提出的PC-PSCL譯碼算法，在極化碼編碼前，需構(gòu)造外碼塊，包括在傳輸信息比特的子信道中選擇相對(duì)較不可靠信息子信道以及奇偶校驗(yàn)位。構(gòu)造算法如下：

步驟1 根據(jù)高斯近似，子信道錯(cuò)誤概率小于目標(biāo)概率的子信道傳輸信息比特，在傳輸這些信息比特中的子信道仍存在有些信道相對(duì)而言較不可靠，用其索引下標(biāo)值構(gòu)成集合B，B ?A，在B中選擇M ?1個(gè)可靠性最高的信息子信道放置奇偶校驗(yàn)位，則B集合以奇偶校驗(yàn)比特為限，被分成M個(gè)外碼塊，第M位奇偶校驗(yàn)位取B中的最后一位索引，保證檢驗(yàn)B中所有的信息比特。如圖2所示，pj ∈B, j=1,2,...,M表示第j個(gè)奇偶校驗(yàn)位的索引，因此B集合被劃分為M個(gè)外碼塊，表示為T(mén)j ?B,j=1,2,...,M。

圖2 PC-PSCL譯碼算法外碼構(gòu)造示意圖

例如，在碼長(zhǎng)N=256，信噪比(Signal to Noise Ratio, SNR)等于1.5 dB時(shí)，經(jīng)過(guò)高斯近似得到的子信道錯(cuò)誤概率如圖4所示。子信道錯(cuò)誤概率越接近0，說(shuō)明該信道越可靠，反之，子信道錯(cuò)誤概率越接近0.45，說(shuō)明該信道越不可靠，而子信道錯(cuò)誤概率處于0到0.45之間的信道稱(chēng)為未完全極化信道。假設(shè)碼率R=1/2，選定目標(biāo)概率0.0425，子信道錯(cuò)誤概率低于0.0425的信道傳輸信息比特，反之傳輸凍結(jié)比特。在信息比特中選擇較不可靠信息位，取信息比特總數(shù)的50%，此時(shí)b=50%，集合B為子信道錯(cuò)誤概率低于0.0425的64個(gè)信道，取奇偶校驗(yàn)比特個(gè)數(shù)M為5，按照上述的步驟1選取奇偶校驗(yàn)比特集合P，P中前4個(gè)奇偶校驗(yàn)位選擇集合B中子信道錯(cuò)誤概率較低的信道，第5位取集合B中的最后一個(gè)比特，則P={64,119,159,217,233}，因此外碼塊T={T1,T2,...,TM}的取值如表1所示。

3.3 PC-PSCL譯碼具體實(shí)現(xiàn)

由上述構(gòu)造算法可知，本文提出的級(jí)聯(lián)極化碼包含多個(gè)外碼塊，以一個(gè)外碼塊為例闡述譯碼過(guò)程，具體算法流程圖如圖5所示，多個(gè)譯碼塊類(lèi)似。假設(shè)外碼塊為T(mén)={t1,t2,...,tm}，i表示譯碼比特索引值。

當(dāng)1≤i

當(dāng)t1≤i ≤tm時(shí)，該段主要有兩種情況：

圖3 含有外碼塊碼長(zhǎng)為N的極化碼示意圖

圖4 N = 256信道極化示意圖

表1 外碼塊T的取值

圖5 PC-PSCL譯碼算法流程圖

(1)i ∈T。說(shuō)明第i位是外碼塊中的比特，此時(shí)有兩種情況，一是被選取的較不可靠的信息位，將該信息位進(jìn)行路徑擴(kuò)展，同時(shí)保留0和1兩條路徑，并記錄路徑度量值。假設(shè)此時(shí)擴(kuò)展路徑一共有l(wèi)條，當(dāng)l大于設(shè)定的最大保留路徑數(shù)Lmax時(shí)，選擇路徑度量較小的Lmax條路徑保留；二是第i位是奇偶校驗(yàn)位，根據(jù)式(23)奇偶校驗(yàn)方程得到奇偶校驗(yàn)估計(jì)值，保留一條或多條通過(guò)奇偶校驗(yàn)的路徑，路徑數(shù)記為L(zhǎng)p，若奇偶校驗(yàn)均未通過(guò)，則選擇路徑度量最小的Lp條路徑作為外碼塊區(qū)間內(nèi)的估計(jì)序列。

(2)i∈/T。表明第i位是凍結(jié)位或者較可靠的信息位，若該位是信息位則進(jìn)行SC譯碼判決，記錄對(duì)數(shù)似然比，若是凍結(jié)位直接判為0。

當(dāng)tm

由上述的譯碼過(guò)程分析可知，PC-PSCL譯碼算法只對(duì)外碼塊中的信息比特分支擴(kuò)展、奇偶校驗(yàn)，其余比特均只進(jìn)行SC譯碼。本文的譯碼算法利用了SC譯碼具有較低復(fù)雜度這一優(yōu)點(diǎn)，在外碼塊中引入SCL譯碼和奇偶校驗(yàn)，彌補(bǔ)了SC譯碼性能不佳的問(wèn)題，相對(duì)于PC-SCL譯碼算法既降低了復(fù)雜度，又保持了較好的性能。

3.4 PC-PSCL譯碼算法復(fù)雜度分析

4 仿真結(jié)果和分析

本文在加性高斯白噪聲信道下對(duì)比了幾種不同譯碼算法的誤幀率(Frame Error Rate, FER)，仿真次數(shù)為15000次。

圖6 在不同譯碼算法下存儲(chǔ)空間占用情況

表2 3種譯碼算法復(fù)雜度對(duì)比

圖7 不同碼長(zhǎng)、不同L p情況下譯碼算法的性能

圖7是不同碼長(zhǎng)，碼率為1/2，Lmax=8，奇偶校驗(yàn)比特?cái)?shù)M為5，b=50%的仿真結(jié)果，其中Lp取值分別為1, 2, 4。如圖7(a)中N=512，由圖7(a)可知：在PC-PSCL譯碼算法中，當(dāng)Lp逐漸增大時(shí)，性能越來(lái)越好，但復(fù)雜度也增加，具體復(fù)雜度情況如表3所示。在Lp=2時(shí)，PC-PSCL譯碼算法性能已經(jīng)優(yōu)于SCL譯碼算法，與PC-SCL譯碼算法有著較小的差距，但空間復(fù)雜度節(jié)省了近63.09%；Lp=4時(shí)，PC-PSCL譯碼算法性能逼近PC-SCL譯碼算法，比SCL譯碼算法獲得了0.5 dB的增益，但較PC-SCL譯碼算法空間復(fù)雜度節(jié)省了近38.09%，時(shí)間復(fù)雜度節(jié)省了近15.63%。若考慮到性能和復(fù)雜度的折中，以犧牲較小的性能為代價(jià)，Lp=2也不失為一個(gè)較好的選擇。圖7(b)考慮N=128和N=1024的情況，由圖7(b)可以看到碼長(zhǎng)越長(zhǎng)，譯碼性能越好，在Lp=4時(shí)PC-PSCL譯碼算法的性能與PC-SCL譯碼算法的性能相近，可以推斷出在Lp=4時(shí)，PC-PSCL譯碼算法中經(jīng)過(guò)奇偶校驗(yàn)保留的路徑已經(jīng)較為準(zhǔn)確。

圖8是碼長(zhǎng)為256，碼率為1/2，Lmax=8，奇偶校驗(yàn)比特?cái)?shù)M為5，Lp=4，選取的較不可靠信息比特占比b分別為20%, 30%, 50%的仿真結(jié)果。由圖8可以看出：在b=20%和30%的時(shí)候，PCPSCL譯碼算法的性能較PC-SCL譯碼算法有著一定的差距，但b增大至50%時(shí)，PC-PSCL譯碼算法的性能逼近PC-SCL譯碼算法。因此，隨著b的增大，擴(kuò)展信息比特變多，PC-PSCL譯碼算法性能逐漸變好，同時(shí)復(fù)雜度也增大，如表4所示。

表3 N = 512時(shí)兩種譯碼算法復(fù)雜度對(duì)比

圖8 N = 256時(shí)不同b譯碼算法的性能

表4 N = 256時(shí)兩種譯碼算法復(fù)雜度對(duì)比

5 結(jié)束語(yǔ)

基于PC碼輔助的SCL譯碼算法，本文提出了一種低復(fù)雜度譯碼算法-PC-PSCL譯碼算法，對(duì)選取的局部信息比特進(jìn)行奇偶校驗(yàn)和SCL譯碼。仿真結(jié)果顯示，本文提出的譯碼算法在奇偶校驗(yàn)后保留合適的路徑情況下有著和PC-SCL譯碼算法相近的性能，但是復(fù)雜度大大降低。